数学卷·2018届河北省邯郸市北外附属学校高二上学期第二次月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届河北省邯郸市北外附属学校高二上学期第二次月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年河北省邯郸市北外附属学校高二（上）第二次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎2．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则•的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．15 D．﹣15‎ ‎3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，那么﹣13是此数列的第（　　）项．‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎4．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 ‎5．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎6．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（　　）‎ A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．‎ ‎7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（　　）‎ A． B．2 C．或2 D．2‎ ‎8．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）‎ A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015‎ ‎9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎10．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）‎ A．a=8，b=16，A=30°，有两解 B．b=18，c=20，B=60°，有一解 C．a=5，c=2，A=90°，无解 D．a=30，b=25，A=150°，有一解 ‎11．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对 ‎12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（　　）‎ A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）‎ ‎13．三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则这个三角形的面积是　　cm2．‎ ‎14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+2n﹣1，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　．‎ ‎16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=‎ ‎（Ⅰ）若b=4，求sinA的值； ‎ ‎（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．‎ ‎18．已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）若Sn=242，求项数n．‎ ‎19．在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y ‎（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；‎ ‎（2）求y的最大值．‎ ‎20．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．‎ ‎（1）求a1的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b ‎（1）求证：a、b、c成等差数列；‎ ‎（2）若B=，S=4 求b．‎ ‎22．已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn=（an+2）2．‎ ‎（1）求证：{an}是等差数列；‎ ‎（2）若bn=an﹣30，求数列{bn}的前n项和的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市北外附属学校高二（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】等差数列．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得 ‎，即，‎ 解得d=﹣，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则•的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．15 D．﹣15‎ ‎【考点】余弦定理；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】求出B，代入数量积公式即可．‎ ‎【解答】解：cosB==．‎ ‎∴=AB•BC•cosB=5．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，那么﹣13是此数列的第（　　）项．‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可知第2项的平方等于第1，第3项的积，列出关于x的方程，求出方程的解，经检验得到满足题意x的值，然后根据x的值求出等比数列的首项和公比，写出等比数列的通项公式，令通项公式等于﹣13列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．‎ ‎【解答】解：由等比数列的前三项依次为x，2x+2，3x+3，‎ 得到（2x+2）2=x（3x+3），即（x+1）（x+4）=0，‎ 解得x=﹣1或x=﹣4，当x=﹣1时，等比数列的前三项依次为﹣1，0，0不合题意舍去，‎ 所以x=﹣4，等比数列的前三项依次为﹣4，﹣6，﹣9，‎ 则等比数列的首项为﹣4，公比q==，‎ 令an=﹣4=﹣13，解得n=4．‎ 故选B ‎　‎ ‎4．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos（A+B）＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．‎ ‎【解答】解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，‎ ‎∴C为钝角 故选C ‎　‎ ‎5．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2‎ ‎﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，‎ ‎∴可得A=60°，sinA=，‎ ‎∵bc=4，‎ ‎∴S△ABC=bcsinA==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（　　）‎ A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，‎ 即a42=（a4﹣4）（a4+8），‎ 解得a4=8，‎ ‎∴a1=a4﹣3×2=2，‎ ‎∴Sn=na1+d，‎ ‎=2n+×2=n（n+1），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（　　）‎ A． B．2 C．或2 D．2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可得a2﹣3a+6=0，进而即可解得a的值．‎ ‎【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，‎ ‎∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3，整理可得：a2﹣3a+6=0，‎ ‎∴解得：a=或2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）‎ A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】由已知条件推导出a1007＞0，a1008＜0，由此能求出使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}，首项a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，‎ ‎∴a1007＞0，a1008＜0．‎ 如若不然，a1007＜0＜a1008，则d＞0，‎ 而a1＞0，得a1007=a1+1006d＞0，矛盾，故不可能．‎ ‎∴使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n为2014．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）‎ A．a=8，b=16，A=30°，有两解 B．b=18，c=20，B=60°，有一解 C．a=5，c=2，A=90°，无解 D．a=30，b=25，A=150°，有一解 ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】利用正弦定理分别对A，B，C，D选项进行验证．‎ ‎【解答】解：A项中sinB=•sinA=1，‎ ‎∴B=，故三角形一个解，A项说法错误．‎ B项中sinC=sinB=，‎ ‎∵0＜C＜π，故C有锐角和钝角两种解．‎ C项中b==，故有解．‎ D项中sinB=•sinA=，∵A=150°，‎ ‎∴B一定为锐角，有一个解．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对 ‎【考点】函数的零点；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据所给的等比数列的两项和方程根与系数的关系，求出a4的平方，根据条件中所给的三项都是偶数项，得出第四项是一个正数，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵a2，a6时方程x2﹣34x+64=0的两根，a2•a6=64，‎ ‎∴a42=a2•a6=64‎ ‎∴a4=±8‎ ‎∵a4与a2，a6的符号相同，‎ ‎∴a4=8‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（　　）‎ A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得=，代入可求MN，进一步利用速度公式即可．‎ ‎【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，‎ ‎∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°‎ ‎∴SNM=105°‎ ‎∴∠MSN=30°，‎ ‎△MNS中利用正弦定理可得， =．‎ MN==10（）n mile，‎ ‎∴货轮航行的速度v==20（） n mile/h．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）‎ ‎13．三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则这个三角形的面积是　6　cm2．‎ ‎【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】解方程5x2﹣7x﹣6=0可得cosθ=﹣，利用同角三角函数的基本关系可得sinθ=，代入三角形的面积公式，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：解方程5x2﹣7x﹣6=0可得此方程的根为2或﹣，故夹角的余弦cosθ=﹣，∴sinθ=．‎ 则这个三角形的面积是 =6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+2n﹣1，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用Sn+1﹣Sn可知an+1=6（n+1）﹣1，通过n=1可知首项，进而可得结论．‎ ‎【解答】解：∵Sn=3n2+2n﹣1，‎ ‎∴Sn+1=3（n+1）2+2（n+1）﹣1，‎ 两式相减得：an+1=Sn+1﹣Sn ‎=[3（n+1）2+2（n+1）﹣1]﹣（3n2+2n﹣1）‎ ‎=6n+5‎ ‎=6（n+1）﹣1，‎ 又∵a1=S1=3+2﹣1=4，‎ ‎∴an=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．‎ ‎【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，‎ ‎∴a=‎ ‎∵b+c=2a，‎ ‎∴c=‎ ‎∴cosC==﹣‎ ‎∵C∈（0，π）‎ ‎∴C=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则=　9　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，‎ S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，‎ ‎∴‎ 故答案为9‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=‎ ‎（Ⅰ）若b=4，求sinA的值； ‎ ‎（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值； ‎ ‎（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=‎ ‎∴sinB=，‎ ‎∵a=2，b=4，‎ ‎∴sinA===；‎ ‎（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，‎ ‎∴b==．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）若Sn=242，求项数n．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，求出首项和公差，即得等差数列{an} 的通项公式．‎ ‎（2）由Sn =242，可得 242=12n+n（n﹣1）•2，解方程求得项数n 的值．‎ ‎【解答】解：（1）a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，‎ 解得 a1=12，d=2．‎ ‎∴an=a1 +（n﹣1）d=2n+10．…‎ ‎（2）∵Sn =na1+n（n﹣1）d，‎ ‎∴242=12n+n（n﹣1）•2，解得 n=11，或 n=﹣22 （舍去），‎ 故取n=11． …‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y ‎（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；‎ ‎（2）求y的最大值．‎ ‎【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．‎ ‎（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，‎ 由得 ‎．‎ 应用正弦定理，知 ‎，‎ ‎．‎ 因为y=AB+BC+AC，‎ 所以，‎ ‎（2）∵‎ ‎=，‎ 所以，当，‎ 即时，‎ y取得最大值．‎ ‎　‎ ‎20．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．‎ ‎（1）求a1的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；‎ ‎（2）把已知递推式因式分解，求出Sn，由an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，得 ‎，即，‎ 解得：a1=﹣3（舍）或a1=2；‎ ‎（2）由﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，‎ 得（Sn+3）（）=0，‎ 即．‎ 当n=1时，a1=2．‎ 当n≥2时，．‎ 验证n=1时上式成立，‎ ‎∴an=2n．‎ ‎　‎ ‎21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b ‎（1）求证：a、b、c成等差数列；‎ ‎（2）若B=，S=4 求b．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；‎ ‎（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，‎ 即sinA•+sinC•=sinB，‎ ‎∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，‎ ‎∵sin（A+C）=sinB，‎ ‎∴sinA+sinC=2sinB，‎ 由正弦定理化简得：a+c=2b，‎ ‎∴a，b，c成等差数列；‎ ‎（2）∵S=acsinB=ac=4，‎ ‎∴ac=16，‎ 又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，‎ 由（1）得：a+c=2b，‎ ‎∴b2=4b2﹣48，即b2=16，‎ 解得：b=4．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn=（an+2）2．‎ ‎（1）求证：{an}是等差数列；‎ ‎（2）若bn=an﹣30，求数列{bn}的前n项和的最小值．‎ ‎【考点】等差关系的确定；数列的求和．‎ ‎【分析】本题考查数列的通项与其前n项和的关系、等差数列的证明、数列的求和等综合性问题．‎ ‎（1）根据an+1=Sn+1﹣Sn及前n项和Sn=（an+2）2，可以得到（an+1+an）（an+1﹣an﹣4）=0，从而问题得证．‎ ‎（2）由（1）可得数列{an}的通项公式，进而由bn=an﹣30得到数列{bn}的通项公式，然后可求数列{bn}的前n项和，再由此求其最小值，最小值有两种求法，其一是转化为二次函数的最值，其二是找出正负转折的项．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵an+1‎ ‎=Sn+1﹣Sn ‎=（an+1+2）2﹣（an+2）2，‎ ‎∴8an+1=（an+1+2）2﹣（an+2）2，‎ ‎∴（an+1﹣2）2﹣（an+2）2=0，（an+1+an）（an+1﹣an﹣4）=0．‎ ‎∵an∈N*，∴an+1+an≠0，‎ ‎∴an+1﹣an﹣4=0．‎ 即an+1﹣an=4，∴数列{an}是等差数列．‎ ‎（2）由（1）知a1=S1=（a1+2）2，解得a1=2．∴an=4n﹣2，‎ bn=an﹣30=2n﹣31，（以下用两种方法求解）‎ 法一：‎ 由bn=2n﹣31可得：首项b1=﹣29，公差d=2‎ ‎∴数列{bn}的前n项和sn=n2﹣30n=（n﹣15）2﹣225‎ ‎∴当n=15时，sn=﹣225为最小；‎ 法二：‎ 由得 ‎≤n≤．∵n∈N*，∴n=15，‎ ‎∴{an}前15项为负值，以后各项均为正值．‎ ‎∴S15最小．又b1=﹣29，‎ ‎∴S15==﹣225‎