江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

理数 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1．设集合,,则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎3．若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）‎ A．35 B．36 C．45 D．54‎ ‎5．若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知随机变量，，则（ ）‎ A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.68‎ ‎7．已知为实数，则“”是“关于x的不等式有解“的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递减；③在有个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．①②④ B．①④ C．①③ D．②④‎ ‎11．已知双曲线的左焦点在圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知实数满足约束条件,则最小值为 .‎ ‎14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.‎ ‎15．若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为k，则二项式的展开式中含项的系数为　　 ．‎ ‎16．已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为　　 ‎ 三、解答题(17题10分，其余各题均为12分，共70分)‎ ‎17．（12分）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18.（12分）在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；‎ ‎（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．‎ ‎19．（12分）“互联网”是“智慧城市”的重要内士，市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费．为了解免费在市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了 人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：‎ 经常使用免费WiFi 偶尔或不用免费WiFi 合计 ‎45岁及以下 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎45岁以上 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ ‎（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关；‎ ‎（2）将频率视为概率，现从该市岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次．记被抽取的人中“偶尔或不用免费”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．‎ 附：，其中．‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若 ‎，求四边形面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数 (e为自然对数的底数)在处的切线方程为 ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若存在不相等的实数使得求证:x1+x2>0‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：＝．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于不同的两点、，若，求的值．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设，‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式满足对任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 DBDCB DADCA CB ‎-5 ‎ ‎17.由，其中，得，，则，.由 ‎，解得，即…………………..2分 ‎（1）若解得，若为真，则同时为真，‎ 即，解得，∴实数的取值范围…………………………6分 ‎（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，‎ ‎∴，即，解得………………………………………12分 ‎18.（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，‎ ‎,为中点 AE//BC，且AE=BC 四边形ABCE为平行四边形 O为AC中点 又F为AD中点 ‎，‎ ‎，‎ ‎//平面………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由BCDE为正方形可得 由ABCE为平行四边形可得//‎ 为即 ‎，‎ 侧面底面侧面底面平面 ‎，‎ ‎，‎ ‎.………………………………………7分 ‎（Ⅲ）取中点，连，‎ ‎，，‎ 平面，‎ 的平面角，‎ 又，‎ ‎，‎ 所以二面角的余弦值为．………………………………………12分 ‎19.（1）由列联表可知，‎ 因为，所以没有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关．………………………………………4分 ‎（2）由题意可知，的所有可能取值为，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎，………………………………………12分 ‎20.（1）依题意，，‎ 因为，所以，所以椭圆方程为；………………………………………4分 ‎（2）设 ，则由，可得，‎ 即，，，‎ 又因为，所以四边形是平行四边形，‎ 设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.………………………………………12分 ‎21.解：因为f(x)=,所以f '(x)=.‎ ‎(1)因为函数f(x)在x=-1处的切线方程为ex-y+e=0,所以,所以,‎ 解得 ………………………………………5分 ‎(2)由(1)可知,f '(x)=-.‎ 当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,+∞)‎ f '(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 单调递增 ‎1‎ 单调递减 不妨设x10. ‎ 记g(x)=f(-x)-f(x),即g(x)=(1-x)ex-,所以g'(x)=-ex+(1-x)ex+=-xex+.………………………………………9分 ‎ 当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,+∞)‎ g'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ g(x)‎ 单调递减 ‎0‎ 单调递减 所以g(x1)>g(0)=0,故f(-x1)>f(x1).所以f(-x1)>f(x2). ‎ 因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以-x10.………………………………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）直线l普通方程为，‎ 曲线C的极坐标方程为，则，‎ ‎∵，即为曲线C的普通方程. ………………………………………5分 ‎（Ⅱ）将(为参数，)代入曲线C：‎ ‎∴ ‎ ‎，则 ………………………………………10分 ‎23.解：（1）根据题意可得，‎ 当时，，解得，所以；‎ 当时，，解得，所以；‎ 当时，，解得，所以；‎ 综上，不等式的解集为．………………………………………5分 ‎（2）不等式等价于，‎ 因为，‎ 当且仅当时取等号，因为，所以，‎ 解得或，故实数的取值范围为．………………………………………10分