2017-2018学年重庆市彭水一中高二下学期第三次月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年重庆市彭水一中高二下学期第三次月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 重庆市彭水一中2017-2018学年高二下学期第三次月考数学（理）试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的有关概念进行计算即可 ‎【详解】‎ 由 |4+3i|= ，得（3-4i）z=5，‎ 故 ，故z的虚部为,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 复数的模，解答与复数相关概念有关的问题时，通常需要先把所给的复数化简为a+bi （a，b∈R）的形式，再根据题意求解.‎ ‎2．曲线与直线相切，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求曲线f（x）与直线的切点坐标，根据切点坐标也在直线上，求出a的值.‎ ‎【详解】‎ 由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，‎ 已知f（x）=xlnx与y=x+a相切，设切点为（x0，y0），则lnx0+1=1，解得x0=1，‎ 则y0=f（x0）=0‎ 即切点坐标（1,0），则0=1+a，解得a=-1 ,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 已知切线方程（或斜率），求参数值的关键是，列出函数的导数等于切线斜率的方程。已知切线（或斜率），求切点的一般思路是，先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，进而求出切点的纵坐标。‎ ‎3．有一段演绎推理：“对数函数是减函数；已知是对数函数，‎ 所以是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（ ）‎ A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D． 非以上错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对数函数的底数a的取值范围不同，函数的增减性不同，当a＞1时，对数函数是一个增函数，当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，根据演绎推理的三段论，可知大前提错误.‎ ‎【详解】‎ ‎：∵当a＞1时，函数y=logax（a＞0且a≠1）是一个增函数，‎ 当0＜a＜1时，此函数是一个减函数 ‎∴y=logax是减函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误，故选：A ‎【点睛】‎ 演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，包括：大前提（已知的一般原理），小前提（已知的一般原理）和结论，本题考查演绎推理的一般模式，根据对数函数的单调情况，分析出大前提是错误的。‎ ‎4．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数为z=a+bi的形式，得到其在复平面内对应的点（a,b）,根据点在第四象限，解不等式组，得m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ z=m（2i+1）2-2m+1=1-5m+4mi,在复平面内对应的点为（1-5m，4m），‎ 已知复数z所对应的点位于第四象限，即 ,解得m<0,故选D ‎【点睛】‎ 解答与复数有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi （a，b∈R）的形式，再根据题意求解,复数z=a+bi（a,b∈R）在复平面的对应点坐标是（a，b）。‎ ‎5．学校突然停电了，寝室里面漆黑一片，有3个同学的校服（同一型号）都混乱地丢在了一个人的床上，则他们中至少有一人摸到自己的校服的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 随机摸到校服，基本事件总数n=，他们拿到的校服都不是自己的包含的基本事件个数m=，由此能求出他们拿到的校服都不是自己的概率，进而可求得至少一人摸到自己校服的概率.‎ ‎【详解】‎ 三个同学随机各摸到一件校服，基本事件总数n= ,‎ 他们摸到的校服都不是自己的包含的基本事件个数m ，‎ 故他们都没有摸到自己的校服的概率P= ，则至少一人摸到自己校服的概率为 ‎ ，故选A ‎【点睛】‎ 常见求基本事件总数和事件A包含的基本事件数的方法有：列举法，列表法，树状图法和排列组合法。对于涉及“至多”、“至少”的排列组合问题，既可以考虑反面情形求解，也可以直接分类研究进行求解。当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先求其对立事件的概率，再运用公式计算。‎ ‎6．已知随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件中所给的随机变量的分布列，可以写出变量的期望E(X)，进而求出方差D(X),根据方差的性质：D（aX+b）=a2D（X），得到结果 ‎【详解】‎ E(X)= ‎ D(X)= ,‎ D(2X+3)=4 D(X)= ，故选C ‎【点睛】‎ 已知离散型随机变量X的分布列，求D（aX+b）的步骤：先由期望（均值）的定义求E(X), 再由方差的定义求D(X), 然后根据随机变量方差的性质：D（ax+b）=a2D（x），求D（ax+b）。‎ ‎7．现有6个人排成一排照相，由于甲乙性格不合，所以要求甲乙不相邻，丙最高，要求丙站在最中间的两个位置中的一个位置上，则不同的站法有（ ）种.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两类情况讨论：‎ 若甲乙在丙的两侧：首先丙从中间两个位置任意挑一个，有种站法，然后甲从丙的一侧，随机挑一个位置，同时乙从甲的另一侧挑一个位置，有种站法，最后剩下的三人，随机排列即可，有种站法；‎ 若甲乙在丙的同侧：首先丙从中间两个位置任意挑一个，有种站法，然后甲、乙不相邻，只有种站法，最后剩余三人，随机排列即可，有种站法；‎ ‎【详解】‎ 已知丙在中间两个位置上选一个，若甲、乙在丙的两边，则有站法：‎ 种 若甲、乙在丙的同侧，且不相邻，则有站法： 种 则不同站法有144+24=168种，故选C ‎【点睛】‎ 解决受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法），分类时标准应统一，避免重复或遗漏。‎ ‎8．在的展开式中，项的系数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析中含x2，x（不含）的项，以及常数项，再分析中含x2的项的系数.‎ ‎【详解】‎ ‎ 的通项公式为 r=0,1,2,…,6‎ 其含有x2项和常数项分别， ,‎ 则的展开式中含有x2的项的系数为,故选A ‎【点睛】‎ 求两个因式之积的特定项的系数，实质是考查通项公式的特点，分析得到特定项有几种情况，再分别求出对应项的系数，进而得解。‎ ‎9．若正实数满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的最小值，实际上是求的最小值，根据指数函数单调性，只需求出x+3y的最小值，代入计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ 即当x+3y最小时，取最小值，‎ 正实数x，y 满足，当且仅当x=3y时成立，‎ 已知3x+9y=12xy - 4 ，将x=3y代入得 9y+9y=36y2-4，‎ 解得，则x=3y=2，‎ 即当x=2，y=时，x+3y有最小值4，‎ 故 的最小值是24=16，故选B ‎【点睛】‎ 应用基本不等式求最值，若题目中条件满足基本不等式的条件，可直接用基本不等式，基本不等式取等号时，必须符合题目中所设置的取值范围或其条件。‎ ‎10．已知A学校有15个数学老师，其中9个男老师，6个女老师，B学校有10个数学老师，其中3个男老师，7个女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一个数学老师到B学校，然后从B学校任意抽取一个数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 注意B学校任意抽取一个老师时，学校数学老师人数，已经增加了一人，若A校调过来的是男老师，则B校有3+1个男数学老师。‎ ‎【详解】‎ A学校任意抽取一个数学老师到B学校，抽到男老师的的概率是 ，‎ 然后从B学校任意抽取一个老师，抽到男老师的的概率是 ‎ 两个事件同时发生的概率是： ，故选B ‎【点睛】‎ 对于任何两个事件A和B,在已知A 发生的条件下，事件B发生的概率 ,则AB同时发生的概率即为 .‎ ‎11．一同学在电脑中打出若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2012个圈中的●的个数是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，每组只有一个实心圆，且每一组圆的个数等于2，3，4，…, 这是一个等差数列．根据等差数列的求和公式可以算出第2012个圆在之前有多少个整组，即可得答案 ‎【详解】‎ 根据题意，将圆分组：‎ 第一组：○●，有2个圆；‎ 第二组：○○●，有3个圆；‎ 第三组：○○○●，有4个圆；‎ ‎…‎ 每组的最后为一个实心圆；‎ 每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为sn=2+3+4+…+（n+1）= ‎ ‎ ‎ 易得 ，则在前2012个圈中包含了61个整组，‎ 即有61个黑圆，故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理的应用，解题的关键是找出图形的规律，构造等差数列，然后利用等差数列的求和公式计算 ‎12．设函数在R上存在导数，有 ，在上，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：令为奇函数 .‎ 时，减，由导函数存在及对称性知：在上单减 .‎ ‎ ，解得： .故选B．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ 作为选择题可以采取特殊值法，即构造特殊函数，令 ，符合题意，代入求解可得.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在的展开式中，二项式系数最大的项为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据展开式中间项的二项式系数最大，得出第4项的二项式系数最大 ‎【详解】‎ n=6，故展开式的第4项的二项式系数最大，‎ 根据通项公式，得 ‎【点睛】‎ 二项式系数最大项的确定方法：若n是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大，若n是奇数，则中间两项（第项与第项）的二项式系数最大。‎ ‎14．已知某次数学考试中，学生的成绩服从正态分布，即，则这次考试中，学生成绩落在区间之内的概率为____________.‎ ‎（注：，，）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知X~N（ ，σ2），则正态曲线关于x=85对称.根据[],[][] 与所求区间的关系，和已知概率求解.‎ ‎【详解】‎ ‎：∵学生的成绩服从正态分布X~N（85，225）‎ 即=85，=15 ‎ ‎∴P(700, g（π）=f（π）-a>0.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当x∈时，，所以在上递减，‎ 当x∈时，，所以在上递增.‎ ‎（2）由（1）知，在上递减，在上递增，‎ 所以，‎ 而，，‎ 所以的范围是.‎ ‎【点睛】‎ 研究函数零点或方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值等，并可借助函数的大致图象，判断函数的零点或方程的根的情况。‎ ‎18．下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据，其中表示产量（单位：吨），表示生产中消耗的煤的数量（单位：吨）.‎ ‎（1）试在给出的坐标系下作出散点图，根据散点图判断，在与中，哪一个方程更适合作为变量关于的回归方程模型？（给出判断即可，不需要说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的结果以及表中数据，建立变量关于的回归方程.并估计生产吨产品需要准备多少吨煤.参考公式：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）吨 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给数据，画散点图即可，根据散点图知更适合作为变量关于的回归方程模型；‎ ‎（2）计算回归系数，写出回归方程，代入回归方程，即可估算.‎ ‎【详解】‎ 散点图 ‎ 更适合作为变量关于的回归方程模型.‎ ‎（2），， ‎ ‎，‎ 所以，回归方程为.‎ 估计生产100吨产品需要吨煤炭.‎ ‎【点睛】‎ 在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，可通过线性回归方程来估计预测，且线性回归方程恒过点 。‎ ‎19．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．‎ ‎（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；‎ ‎（2）规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．‎ 附表及公式：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同一组数据用该区间中点值作代表，计算男女生各自的成绩平均数，即可得出结论； （2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ＝ ‎ ‎ ＝ ‎ 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．‎ ‎（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：‎ 可得K2＝ ≈1.79，‎ 因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验的应用，解题的关键是正确计算出观测值，理解临界值对应的概率的意义；用K2的值可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，若K2值较大，就拒绝H0，即拒绝事件A与事件B无关；换一种说法：计算随机变量的观测值k越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大 ‎20．有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收.‎ ‎（1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；‎ ‎（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，根据对立事件的性质，能求出掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率．‎ ‎（2）试玩游戏，设获利ξ元，则ξ的可能取值为m，2m，3m，-m，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ= ＜0，建议大家不要尝试 ‎【详解】‎ ‎（1）根据对立事件的性质，所求概率为.‎ ‎（2）试玩游戏，设获利元，则的可能取值为，且 所以.‎ 显然，因此建议大家不要尝试.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；可利用相互独立事件的概率公式求解，也可从其对立事件入手计算。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)判断函数的单调性；‎ ‎(2)若,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）对函数求导来利用，得出函数的单调区间，这里注意对的讨论；（2）要让恒成立，应猜想函数在上单调递增或递减，而或恒成立；所以下面要做的是看，或恒成立，然后再看在上单调性.‎ 试题解析：（1），则．‎ 当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；‎ 当时，由，得，由，得，‎ 此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当时，函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为．‎ ‎（2）易知当时，，故当．‎ 先分析证明：．‎ 要证，只需证，即证，‎ 构造函数，则，‎ 故函数在上单调递增，所以，则成立．‎ 当时，由（1）知，在上单调递增，则在上恒成立；‎ 当是地，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ 故当时，，所以，则不满足题意．‎ 所以满足题意的实数的取值范围是 考点：1、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值；2、不等式的恒成立问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立问题，属于难题．利用导数研究函数的单调性一般的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.‎ ‎22．已知过点且斜率为1的直线与曲线（为参数）交于两点，设的中点为，求：‎ ‎（1）线段的长度；‎ ‎（2）在曲线上求一点，使得点到直线的距离最大.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线转化为参数方程，将曲线参数方程转化为普通方程，将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，根据参数的几何意义解题；‎ ‎（2）设点H ，根据点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，根据三角函数的性质，求最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的方程为：，对应的参数方程为：（为参数）……① ‎ 曲线的普通方程为：……②，将①式代入②式得：.‎ 设，有，由参数的几何意义知.‎ ‎（2）设，点到直线的距离为，‎ 化简得，其中，，‎ 由三角函数性质知，当且仅当时取得“”，‎ 即，解得，所以 ‎【点睛】‎ 经过点M0（x0,y0）,倾斜角为的直线的参数方程为，参数t的几何意义：表示t对应的点M到定点M0的距离，利用这一几何意义，可以求线段的长。 ‎ 在直线与圆锥曲线有关的题目中，参数方程的使用会使问题解决事半功倍，尤其是求取值范围或最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解；‎ 也可将参数方程都转化为普通方程，利用直线和圆锥曲线的位置关系解决问题。‎ ‎23．已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ 当时，由得解得；‎ 当时，；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 ‎【考点】绝对值不等式，不等式的证明 ‎ ‎【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：‎ ‎（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．‎ ‎（2）图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．‎