2021年中考数学专题复习 专题37 二次函数问题（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题37 二次函数问题（教师版含解析）

专题 37 二次函数问题 1.二次函数的概念： 一般地，自变量 x 和 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c 为常数)，则称 y 为 x 的二次函 数。抛物线 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， 叫做二次函数的一般式。 2.二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质 (1)对称轴： 2 bx a   (2)顶点坐标： 24( , )2 4 b ac b a a  (3)与 y 轴交点坐标(0，c) (4)增减性： 当 a>0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大； 当 a<0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而增大；对称轴右边，y 随 x 增大而减小。 3.二次函数的解析式三种形式 (1)一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式. y xO (2)顶点式 2( )y a x h k   2 2 4( )2 4 b ac by a x a a    . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 (3)交点式 1 2( )( )y a x x x x   .已知图像与 x 轴的交点坐标 1x 、 2x ，通常选用交点式。 4．根据图像判断 a,b,c 的符号 (1)a 确定开口方向 ：当 a>0 时，抛物线的开口向上；当 a<0 时，抛物线的开口向下。 (2)b ——对称轴与 a 左同右异。 (3)抛物线与 y 轴交点坐标(0，c) 5．二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴交点的横坐标 x1, x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)的根。 抛物线 y=ax2 +bx+c，当 y=0 时，抛物线便转化为一元二次方程 ax2 +bx+c=0 2 4b ac >0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有两个交点； 2 4b ac =0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有一个交点； 2 4b ac <0 时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与 x 轴没有交点。 6．函数平移规律：左加右减、上加下减. 【例题 1】(2020 贵州黔西南)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于 另一点 B，交 x 轴于 C，D 两点(点 C 在点 D 右边)，对称轴为直线 x＝ 5 2 ，连接 AC，AD，BC．若点 B 关于直 线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是( ) A. 点 B 坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ 1 6  D. OC•OD＝16 【答案】D 【解析】由抛物线 y=ax2+bx+4 交 y 轴于点 A，可得点 A 的坐标，然后由抛物线的对称性可得点 B 的坐标， 由点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ ACB，从而可知 AB=AD；过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，由勾股定理可得 EC 的长，则点 C 坐标可得，然后由对称 性可得点 D 的坐标，则 OC•OD 的值可计算；由勾股定理可得 AD 的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据 以上计算或推理，对各个选项作出分析即可． 解：因为抛物线 y＝ax2＋bx＋4 交 y 轴于点 A，所以 A(0，4)．因为对称轴为直线 x＝ 5 2 ，AB∥x 轴，所以 B(5，4)，选项 A 正确，不符合题意．如答图，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则 BE＝4，AB＝5．因为 AB∥x 轴， 所以∠BAC＝∠ACO．因为点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝ ∠ACB，所以 BC＝AB＝5．在 Rt△BCE 中，由勾股定理得 EC＝3，所以 C(8，0)，因为对称轴为直线 x＝ 5 2 ， 所以 D(－3，0)．在 Rt△ADO 中，OA＝4，OD＝3，所以 AD＝5，所以 AB＝AD，选项 B 正确，不符合题意．设 y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将 A(0，4)代入得 4＝a(0＋3)(0－8)，解得 a＝ 1 6  ，选项 C 正确，不符 合题意．因为 OC＝8，OD＝3，所以 OC•OD＝24，选项 D 错误，符合题意，因此本题选 D． 【点拨】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性 质并数形结合是解题的关键． 【对点练习】(2020 湖北天门模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为(﹣ 1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【点拨】根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴： bx 02a >  。 ①∵它与 x 轴的两个交点分别为(﹣1，0)，(3，0)，∴对称轴是 x=1， ∴ b =12a  。∴b+2a=0。故命题①错误。 ②∵a＞0， b 02a > ，∴b＜0。 又 c＞0，∴abc＜0。故命题②正确。 ③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。 ∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a。 ∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。故命题③正确。 ④根据图示知，当 x=4 时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。 由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。故命题④正确。 ∴正确的命题为：①②③三个。故选 A。 【点拨】二次函数图象与系数的关系。 【例题 2】(2020•无锡)二次函数 y＝ax2﹣3ax+3 的图象过点 A(6，0)，且与 y 轴交于点 B，点 M 在该抛物线 的对称轴上，若△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点 M 的坐标为 ． 【答案】( ，﹣9)或( ，6)． 【分析】把点 A(6，0)代入 y＝ax2﹣3ax+3 得，0＝36a﹣18a+3，得到 y R x2 x+3，求得 B(0，3)，抛物 线的对称轴为 x R R ，设点 M 的坐标为：( ，m)，当∠ABM＝90°，过 B 作 BD⊥对称轴于 D， 当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】把点 A(6，0)代入 y＝ax2﹣3ax+3 得，0＝36a﹣18a+3， 解得：a R ， ∴y R x2 x+3， ∴B(0，3)，抛物线的对称轴为 x R R ， 设点 M 的坐标为：( ，m)， 当∠ABM＝90°， 过 B 作 BD⊥对称轴于 D， 则∠1＝∠2＝∠3， ∴tan∠2＝tan∠1 2， ∴ 2， ∴DM＝3，∴M( ，6)， 当∠M′AB＝90°，∴tan∠3 tan∠1 2， ∴M′N＝9，∴M′( ，﹣9)， 综上所述，点 M 的坐标为( ，﹣9)或( ，6)． 【对点练习】已知抛物线 y=ax2﹣3x+c(a≠0)经过点(﹣2，4)，则 4a+c﹣1= ． 【答案】-3 【解析】二次函数图象上点的坐标特征．将点(﹣2，4)代入 y=ax2﹣3x+c(a≠0)，即可求得 4a+c 的值，进一 步求得 4a+c﹣1 的值． 把点(﹣2，4)代入 y=ax2﹣3x+c，得 4a+6+c=4， ∴4a+c=﹣2， ∴4a+c﹣1=﹣3， 故答案为﹣3． 【例题 3】(2020•河南)如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA＝ OB，点 G 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标； (2)点 M，N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度， 点 Q 为抛物线上点 M，N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围． 【答案】见解析。 【分析】(1)先求出点 B，点 A 坐标，代入解析式可求 c 的值，即可求解； (2)先求出点 M，点 N 坐标，即可求解． 【解析】(1)∵抛物线 y＝﹣x2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点 B， ∴点 B(0，c)， ∵OA＝OB＝c，∴点 A(c，0)，∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3 或 0(舍去)， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4， ∴顶点 G 为(1，4)； (2)∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4， ∴对称轴为直线 x＝1， ∵点 M，N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度， ∴点 M 的横坐标为﹣2 或 4，点 N 的横坐标为 6， ∴点 M 坐标为(﹣2，﹣5)或(4，﹣5)，点 N 坐标(6，﹣21)， ∵点 Q 为抛物线上点 M，N 之间(含点 M，N)的一个动点， ∴﹣21≤yQ≤4． 【对点练习】如图，抛物线 y=x2﹣bx+c 交 x 轴于点 A(1，0)，交 y 轴于点 B，对称轴 是 x=2． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使 △ PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由． 【答案】见解析。 【解析】(1)由题意得， ， 解得 b=4，c=3， ∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3； (2)∵点 A 与点 C 关于 x=2 对称， ∴连接 BC 与 x=2 交于点 P，则点 P 即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点 C 的坐标为(3，0)， y=x2﹣4x+3 与 y 轴的交点为(0，3)， ∴设直线 BC 的解析式为：y=kx+b， ， 解得，k=﹣1，b=3， ∴直线 BC 的解析式为：y=﹣x+3， 则直线 BC 与 x=2 的交点坐标为：(2，1) ∴点 P 的交点坐标为：(2，1)． 【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般 步骤和轴对称的性质是解题的关键． 一、选择题 1．(2020•鄂州)如图，抛物线 y＝ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(﹣1，0)和 B，与 y 轴交于点 C．下列结论： ① abc＜0， ② 2a+b＜0， ③ 4a﹣2b+c＞0， ④ 3a+c＞0，其中正确的结论个数为( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称 轴求出 2a 与 b 的关系． 【解析】 ① ∵由抛物线的开口向上知 a＞0， ∵对称轴位于 y 轴的右侧， ∴b＜0． ∵抛物线与 y 轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0； 故错误； ② 对称轴为 x R ＜1，得 2a＞﹣b，即 2a+b＞0， 故错误； ③ 如图，当 x＝﹣2 时，y＞0，4a﹣2b+c＞0， 故正确； ④ ∵当 x＝﹣1 时，y＝0， ∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即 3a+c＞0． 故正确． 综上所述，有 2 个结论正确． 2．(2020•株洲)二次函数 y＝ax2+bx+c，若 ab＜0，a﹣b2＞0，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在该二次函数的图象上， 其中 x1＜x2，x1+x2＝0，则( ) A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1、y2 的大小无法确定 【答案】B 【分析】首先分析出 a，b，x1 的取值范围，然后用含有代数式表示 y1，y2，再作差法比较 y1，y2 的大小． 【解析】∵a﹣b2＞0，b2≥0， ∴a＞0． 又∵ab＜0， ∴b＜0， ∵x1＜x2，x1+x2＝0， ∴x2＝﹣x1，x1＜0． ∵点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在该二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象上， ∴ ， R ． ∴y1﹣y2＝2bx1＞0． ∴y1＞y2． 3．(2020•襄阳)二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ① ac＜0； ② 3a+c＝0； ③ 4ac﹣b2＜0； ④ 当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确的有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可． 【解析】 ① ∵抛物线开口向上，且与 y 轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0，结论 ① 正确； ② ∵抛物线对称轴为直线 x＝1， ∴ R 1， ∴b＝﹣2a， ∵抛物线经过点(﹣1，0)， ∴a﹣b+c＝0， ∴a+2a+c＝0，即 3a+c＝0，结论 ② 正确； ③ ∵抛物线与 x 轴由两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即 4ac﹣b2＜0，结论 ③ 正确； ④ ∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线 x＝1， ∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，结论 ④ 错误； 4．(2020•广东)把函数 y＝(x﹣1)2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式为( ) A．y＝x2+2 B．y＝(x﹣1)2+1 C．y＝(x﹣2)2+2 D．y＝(x﹣1)2﹣3 【答案】C 【分析】先求出 y＝(x﹣1)2+2 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐 标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【解析】二次函数 y＝(x﹣1)2+2 的图象的顶点坐标为(1，2)， ∴向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2，2)， ∴所得的图象解析式为 y＝(x﹣2)2+2． 5．(2020•菏泽)一次函数 y＝acx+b 与二次函数 y＝ax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由二二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 y＝acx+b 的图象相比较 看是否一致． 【解析】A.由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则 ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误； B.由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则 ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确； C.由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则 ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误； D.由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则 ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误． 6．(2020•天津)已知抛物线 y＝ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0，c＞1)经过点(2，0)，其对称轴是直线 x ．有 下列结论： ① abc＞0； ② 关于 x 的方程 ax2+bx+c＝a 有两个不等的实数根； ③ a＜ R ． 其中，正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴 R ，b＝﹣a，判断 a，b 与 0 的关系，得到 abc＜0， 即可判断 ① ； 根据题意得到抛物线开口向下，顶点在 x 轴上方，即可判断 ② ； 根据抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点(2，0)以及 b＝﹣a，得到 4a﹣2a+c＝0，即可判断 ③ ． 【解析】∵抛物线的对称轴为直线 x ， 而点(2，0)关于直线 x 的对称点的坐标为(﹣1，0)， ∵c＞1， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线 x ， ∴ R ， ∴b＝﹣a＞0， ∴abc＜0，故 ① 错误； ∵抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点， ∴顶点在 x 轴的上方， ∵a＜0， ∴抛物线与直线 y＝a 有两个交点， ∴关于 x 的方程 ax2+bx+c＝a 有两个不等的实数根；故 ② 正确； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点(2，0)， ∴4a+2b+c＝0， ∵b＝﹣a， ∴4a﹣2a+c＝0，即 2a+c＝0， ∴﹣2a＝c， ∵c＞1， ∴﹣2a＞1， ∴a＜ R ，故 ③ 正确， 7．(2020•陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿 y 轴向下平移 3 个单位．则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的 象限即可． 【解析】∵y＝x2﹣(m﹣1)x+m＝(x R R )2+m R R ， ∴该抛物线顶点坐标是( R ，m R R )， ∴将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是( R ，m R R R 3)， ∵m＞1， ∴m﹣1＞0， ∴ R ＞0， ∵m R R R 3 RRR RRR R R R 1＜0， ∴点( R ，m R R R 3)在第四象限； 8.(2019 哈尔滨)将抛物线 22xy  向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线 为( ) A． 3)2(2 2  xy B． 3)2(2 2  xy C． 3)2(2 2  xy D． 3)2(2 2  xy 【答案】B 【解析】将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y ＝2(x﹣2)2+3，故选 B． 9.(2019 年陕西省)已知抛物线 2 ( 1)y x m x m    ，当 1x  时， 0y  ，且当 2x   时， y 的值随 x 值 的增大而减小，则 m 的取值范围是( )． A． 1m   B． 3m  C． 1 3m   D．3 4m  【答案】C 【解析】根据“当 1x  时， 0y  ”，得到一个关于 m 不等式，在根据抛物线 2 ( 1)y x m x m    ，可知 抛物线开口向上，再在根据“当 2x   时，y 的值随 x 值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线 2x   的右侧或者是直线 2x   ，从而列出第二个关于 m 的不等式，两个不等式联立，即可解得答案． 因为抛物线 2 ( 1)y x m x m    ， 所以抛物线开口向上． 因为当 1x  时， 0y  ， 所以 21 ( 1) 1 0m m     ①， 因为当 2x   时， y 的值随 x 值的增大而减小， 所以可知抛物线的对称轴在直线 2x   的右侧或者是直线 2x   ， 所以 1 22 1 m   ②， 联立不等式①，②，解得 1 3m   ． 10.(2019 广西梧州)已知 0m  ，关于 x 的一元二次方程 ( 1)( 2) 0x x m    的解为 1x ， 2 1 2( )x x x ，则下列 结论正确的是 ( ) A． 1 21 2x x    B． 1 21 2x x    C． 1 21 2x x    D． 1 21 2x x    【答案】A 【解析】关于 x 的一元二次方程 ( 1)( 2) 0x x m    的解为 1x ， 2x ，可以看作二次函数 ( 1)( 2)m x x   与 x 轴交点的横坐标， 二次函数 ( 1)( 2)m x x   与 x 轴交点坐标为 ( 1,0) ， (2,0) ，如图： 当 0m  时，就是抛物线位于 x 轴上方的部分，此时 1x   ，或 2x  ； 又 1 2x x 1 1x   ， 2 2x  ； 1 21 2x x     ， 故选：A． 二、填空题 11．(2020•南京)下列关于二次函数 y＝﹣(x﹣m)2+m2+1(m 为常数)的结论： ① 该函数的图象与函数 y＝﹣x2 的图象形状相同； ② 该函数的图象一定经过点(0，1)； ③ 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小； ④ 该函数的图 象的顶点在函数 y＝x2+1 的图象上．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】 ①②④ ． 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可． 【解析】 ① ∵二次函数 y＝﹣(x﹣m)2+m+1(m 为常数)与函数 y＝﹣x2 的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数 y＝﹣x2 的图象形状相同，故结论 ① 正确； ② ∵在函数 y＝﹣(x﹣m)2+m2+1 中，令 x＝0，则 y＝﹣m2+m2+1＝1， ∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论 ② 正确； ③ ∵y＝﹣(x﹣m)2+m2+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝m，当 x＞m 时，y 随 x 的增大而减小，故结论 ③ 错误； ④ ∵抛物线开口向下，当 x＝m 时，函数 y 有最大值 m2+1， ∴该函数的图象的顶点在函数 y＝x2+1 的图象上．故结论 ④ 正确. 12．(2020•连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x(单位：min)满足函数表达式 y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min． 【答案】3.75． 【分析】根据二次函数的性质可得． 【解析】根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2， 当 x R th R䁣t 3.75 时，y 取得最大值， 则最佳加工时间为 3.75min． 13．(2020•泰安)已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)的 y 与 x 的部分对应值如下表： x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y 6 0 ﹣6 ﹣4 6 下列结论： ① a＞0； ② 当 x＝﹣2 时，函数最小值为﹣6； ③ 若点(﹣8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则 y1＜y2； ④ 方程 ax2+bx+c＝﹣5 有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是 ．(把所有正确结论的序号都填上) 【答案】 ①③④ ． 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系 进行判断即可． 【解析】将(﹣4，0)(0，﹣4)(2，6)代入 y＝ax2+bx+c 得， R 䁣 R ，解得， R ， ∴抛物线的关系式为 y＝x2+3x﹣4， a＝1＞0，因此 ① 正确； 对称轴为 x R ，即当 x R 时，函数的值最小，因此 ② 不正确； 把(﹣8，y1)(8，y2)代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此 ③ 正确； 方程 ax2+bx+c＝﹣5，也就是 x2+3x﹣4＝﹣5，即方 x2+3x+1＝0，由 b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0 可得 x2+3x+1＝0 有两个不相等的实数根，因此 ④ 正确； 正确的结论有： ①③④ 14．(2020•哈尔滨)抛物线 y＝3(x﹣1)2+8 的顶点坐标为 ． 【答案】(1，8)． 【分析】已知抛物线顶点式 y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)． 【解析】∵抛物线 y＝3(x﹣1)2+8 是顶点式， ∴顶点坐标是(1，8)． 15．(2020•无锡)请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 y 轴： ． 【答案】y＝x2(答案不唯一)． 【分析】根据形如 y＝ax2 的二次函数的性质直接写出即可． 【解析】∵图象的对称轴是 y 轴， ∴函数表达式 y＝x2(答案不唯一)， 故答案为：y＝x2(答案不唯一)． 16．(2020•上海)如果将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】y＝x2+3． 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解． 【解析】抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位得到 y＝x2+3． 17．(2020•黔东南州)抛物线 y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为(﹣3，0)， 对称轴为 x＝﹣1，则当 y＜0 时，x 的取值范围是 ． 【答案】﹣3＜x＜1． 【分析】根据物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交点，再 根据抛物线的增减性可求当 y＜0 时，x 的取值范围． 【解析】∵物线 y＝ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，对称轴为 x＝﹣1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(1，0)， 由图象可知，当 y＜0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1． 18．(2020•灌南县一模)二次函数 y＝﹣x2﹣2x+3 的图象的顶点坐标为 ． 【答案】(﹣1，4)． 【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【解析】∵y＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣(x2+2x+1﹣1)+3 ＝﹣(x+1)2+4， ∴顶点坐标为(﹣1，4)． 19.(2019 黑龙江哈尔滨)二次函数 8)6( 2  xy 的最大值是 ． 【答案】8 【解析】∵a＝﹣1＜0，∴y 有最大值， 当 x＝6 时，y 有最大值 8．故答案为 8． 20.(2019 江苏镇江)已知抛物线 y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点 A(m，3)，B(n，3)两点，若线段 AB 的长不大 于 4，则代数式 a2＋a＋1 的最小值是 ． 【答案】 7 4 ． 【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段 AB 的长不大于 4，求出 a 的取值范围，再利 用二次函数的增减性求代数式 a2＋a＋1 的最小值． ∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1， ∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线 x＝－2． ∵抛物线过点 A(m，3)，B(n，3)两点， ∴当 y＝3 时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝ 2 a ，当 a＞0 时，x＝－2± 2 a ． ∴A(－2－ 2 a ，3)，B(－2＋ 2 a ，3)． ∴AB＝2 2 a ． ∵线段 AB 的长不大于 4， ∴2 2 a ≤4． ∴a≥ 1 2 ． ∵a2＋a＋1＝(a＋ 1 2 )2＋ 3 4 ， ∴当 a＝ 1 2 ，(a2＋a＋1)min＝(a＋ 1 2 )2＋ 3 4 ＝ 7 4 ． 21.(2019 内蒙古赤峰)二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论： ① b＞0； ② a﹣b+c＝0； ③一元二次方程 ax2+bx+c+1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； ④ 当 x＜﹣1 或 x＞3 时，y＞0．上述结论中正 确的是 ．(填上所有正确结论的序号) 【答案】 ②③④ 【解析】由图可知，对称轴 x＝1，与 x 轴的一个交点为(3，0)， ∴b＝﹣2a，与 x 轴另一个交点(﹣1，0)， ① ∵a＞0， ∴b＜0； ∴ ① 错误； ② 当 x＝﹣1 时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0； ② 正确； ③ 一元二次方程 ax2+bx+c+1＝0 可以看作函数 y＝ax2+bx+c 与 y＝﹣1 的交点， 由图象可知函数 y＝ax2+bx+c 与 y＝﹣1 有两个不同的交点， ∴一元二次方程 ax2+bx+c+1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； ∴ ③ 正确； ④ 由图象可知，y＞0 时，x＜﹣1 或 x＞3 ∴ ④ 正确； 故答案为 ②③④ ． 三、解答题 22．(2020•陕西)如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过点(3，12)和(﹣2，﹣3)，与两坐标轴的交点分别为 A，B，C， 它的对称轴为直线 l． (1)求该抛物线的表达式； (2)P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点．要使以 P、D、E 为顶点的三角形 与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标． 【答案】见解析。 【分析】(1)将点(3，12)和(﹣2，﹣3)代入抛物线表达式，即可求解； (2)由题意得：PD＝DE＝3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，分点 P 在抛物线对称轴右侧、 点 P 在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可． 【解析】(1)将点(3，12)和(﹣2，﹣3)代入抛物线表达式得 ൌ R R ，解得 R ， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； (2)抛物线的对称轴为 x＝﹣1，令 y＝0，则 x＝﹣3 或 1，令 x＝0，则 y＝﹣3， 故点 A、B 的坐标分别为(﹣3，0)、(1，0)；点 C(0，﹣3)， 故 OA＝OC＝3， ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当 PD＝DE＝3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等， 设点 P(m，n)，当点 P 在抛物线对称轴右侧时，m﹣(﹣1)＝3，解得：m＝2， 故 n＝22+2×2﹣5＝5，故点 P(2，5)， 故点 E(﹣1，2)或(﹣1，8)； 当点 P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P(﹣4，5)，此时点 E 坐标同上， 综上，点 P 的坐标为(2，5)或(﹣4，5)；点 E 的坐标为(﹣1，2)或(﹣1，8)． 23．(2020•凉山州)如图，二次函数 y＝ax2+bx+x 的图象过 O(0，0)、A(1，0)、B( ， )三点． (1)求二次函数的解析式； (2)若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交于点 D，求直线 CD 的解析式； (3)在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P 作 PQ⊥x 轴，交直线 CD 于 Q，当线段 PQ 的 长最大时，求点 P 的坐标． 【答案】见解析。 【分析】(1)将点 O、A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)由点 B 的坐标知，直线 BO 的倾斜角为 30°，则 OB 中垂线(CD)与 x 负半轴的夹角为 60°，故设 CD 的 表达式为：y R x+b，而 OB 中点的坐标为( ， )，将该点坐标代入 CD 表达式，即可求解； (3)过点 P 作 y 轴额平行线交 CD 于点 H，PH R x R x2 R x) R x2 R x ，即可求解． 【解析】(1)将点 O、A、B 的坐标代入抛物线表达式得 䁣 䁣 ൌ ，解得 R R 䁣 ， 故抛物线的表达式为：y x2 R x； (2)由点 B 的坐标知，直线 BO 的倾斜角为 30°，则 OB 中垂线(CD)与 x 负半轴的夹角为 60°， 故设 CD 的表达式为：y R x+b，而 OB 中点的坐标为( ， )， 将该点坐标代入 CD 表达式并解得：b ， 故直线 CD 的表达式为：y R x ； (3)设点 P(x， x2 R x)，则点 Q(x， R x )， 则 PQ R x R x2 R x) R x2 R x ， ∵ R ＜0，故 PQ 有最大值，此时点 P 的坐标为( R ， )． 24．(2020•黑龙江)如图，已知二次函数 y＝﹣x2+(a+1)x﹣a 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 位于点 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 C，已知△BAC 的面积是 6． (1)求 a 的值； (2)在抛物线上是否存在一点 P，使 S△ABP＝S△ABC．若存在请求出 P 坐标，若不存在请说明理由． 【答案】见解析。 【分析】(1)由 y＝﹣x2+(a+1)x﹣a，令 y＝0，即﹣x2+(a+1)x﹣a＝0，可求出 A、B 坐标结合三角形的面积， 解出 a＝﹣3； (2)根据题意 P 的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得 P 的坐标． 【解析】(1)∵y＝﹣x2+(a+1)x﹣a， 令 x＝0，则 y＝﹣a， ∴C(0，﹣a)， 令 y＝0，即﹣x2+(a+1)x﹣a＝0 解得 x1＝a，x2＝1 由图象知：a＜0 ∴A(a，0)，B(1，0) ∵S△ABC＝6 ∴ (1﹣a)(﹣a)＝6 解得：a＝﹣3，(a＝4 舍去)； (2)∵a＝﹣3， ∴C(0，3)， ∵S△ABP＝S△ABC． ∴P 点的纵坐标为±3， 把 y＝3 代入 y＝﹣x2﹣2x+3 得﹣x2﹣2x+3＝3，解得 x＝0 或 x＝﹣2， 把 y＝﹣3 代入 y＝﹣x2﹣2x+3 得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得 x＝﹣1 或 x＝﹣1 R ， ∴P 点的坐标为(﹣2，3)或(﹣1 ，﹣3)或(﹣1 R ，﹣3)． 25．(2020•衡阳)在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 y＝x2+px+q 的图象过点(﹣1，0)，(2，0)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当﹣2≤x≤1 时，y 的最大值与最小值的差； (3)一次函数 y＝(2﹣m)x+2﹣m 的图象与二次函数 y＝x2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a＜3＜ b，求 m 的取值范围． 【答案】见解析。 【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式； (2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当 x＝﹣2，函数有最大值 4；当 x 是函数有最小值 R ൌ ，进而 求得它们的差； (3)由题意得 x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0，因为 a＜2＜b，a≠b，△＝(m﹣3)2﹣ 4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0，把 x＝3 代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得 m＜ R ． 【解析】(1)由二次函数 y＝x2+px+q 的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点， ∴ R 䁣 䁣 ，解得 R R ， ∴此二次函数的表达式 y＝x2﹣x﹣2； (2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x R ， ∴在﹣2≤x≤1 范围内，当 x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当 x 是函数有最小值：y R R 2 R ൌ ， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣( R ൌ h ； (3)∵y＝(2﹣m)x+2﹣m 与二次函数 y＝x2﹣x﹣2 图象交点的横坐标为 a 和 b， ∴x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0 ∵a＜3＜b ∴a≠b ∴△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0 ∴m≠5 ∵a＜3＜b 当 x＝3 时，(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2， 把 x＝3 代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得 m＜ R ∴m 的取值范围为 m＜ R ． 26．(2020•甘孜州)某商品的进价为每件 40 元，在销售过程中发现，每周的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之 间的关系可以近似看作一次函数 y＝kx+b，且当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价定为 70 元/ 件时，每周销售 10 件． (1)求 k，b 的值； (2)求销售该商品每周的利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最 大利润． 【答案】见解析。 【分析】(1)利用待定系数法可求解析式； (2)由销售该商品每周的利润 w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解． 【解析】(1)由题意可得： 䁣 h䁣ͷ 䁣 䁣ͷ ， ∴ ͷ R 㔶䁣 ， 答：k＝﹣1，b＝80； (2)∵w＝(x﹣40)y＝(x﹣40)(﹣x+80)＝﹣(x﹣60)2+400， ∴当 x＝60 时，w 有最大值为 400 元， 答：销售该商品每周可获得的最大利润为 400 元． 27．(2020•安徽)在平面直角坐标系中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线 y＝x+m 经过点 A，抛物线 y＝ax2+bx+1 恰好经过 A，B，C 三点中的两点． (1)判断点 B 是否在直线 y＝x+m 上，并说明理由； (2)求 a，b 的值； (3)平移抛物线 y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线 y＝x+m 上，求平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大 值． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点 B(2，3)在直线 y＝x+m 上； (2)因为直线经过 A、B 和点(0，1)，所以经过点(0，1)的抛物线不同时经过 A、B 点，即可判断抛物线只能 经过 A、C 两点，根据待定系数法即可求得 a、b； (3)设平移后的抛物线为 y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为( ， q)，根据题意得出 q 1，由抛物线 y ＝﹣x+px+q 与 y 轴交点的纵坐标为 q，即可得出 q R R 1 R (p﹣1)2 h ，从而得出 q 的最大值． 【解析】(1)点 B 是在直线 y＝x+m 上，理由如下： ∵直线 y＝x+m 经过点 A(1，2)， ∴2＝1+m，解得 m＝1， ∴直线为 y＝x+1， 把 x＝2 代入 y＝x+1 得 y＝3， ∴点 B(2，3)在直线 y＝x+m 上； (2)∵直线 y＝x+1 与抛物线 y＝ax2+bx+1 都经过点(0，1)，且 B、C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过 A、C 两点， 把 A(1，2)，C(2，1)代入 y＝ax2+bx+1 得 ， 解得 a＝﹣1，b＝2； (3)由(2)知，抛物线为 y＝﹣x2+2x+1， 设平移后的抛物线为 y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为( ， q)， ∵顶点仍在直线 y＝x+1 上， ∴ q 1， ∴q R R 1， ∵抛物线 y＝﹣x+px+q 与 y 轴的交点的纵坐标为 q， ∴q R R 1 R (p﹣1)2 h ， ∴当 p＝1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为 h ． 28．(2020•上海)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y R x+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B(如图)．抛物线 y ＝ax2+bx(a≠0)经过点 A． (1)求线段 AB 的长； (2)如果抛物线 y＝ax2+bx 经过线段 AB 上的另一点 C，且 BC h ，求这条抛物线的表达式； (3)如果抛物线 y＝ax2+bx 的顶点 D 位于△AOB 内，求 a 的取值范围． 【答案】见解析。 【分析】(1)先求出 A，B 坐标，即可得出结论； (2)设点 C(m， R m+5)，则 BC h |m，进而求出点 C(2，4)，最后将点 A，C 代入抛物线解析式中，即可得 出结论； (3)将点 A 坐标代入抛物线解析式中得出 b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点 D 坐标为(5，﹣25a)，即 可得出结论． 【解析】(1)针对于直线 y R x+5， 令 x＝0，y＝5，∴B(0，5)， 令 y＝0，则 R x+5＝0，∴x＝10， ∴A(10，0)， ∴AB h 䁣 5 h ； (2)设点 C(m， R m+5)， ∵B(0，5)， ∴BC R h R h h |m|， ∵BC h ， ∴ h |m| h ，∴m＝±2， ∵点 C 在线段 AB 上，∴m＝2，∴C(2，4)， 将点 A(10，0)，C(2，4)代入抛物线 y＝ax2+bx(a≠0)中，得 䁣䁣 䁣 䁣 ， ∴ R h ， ∴抛物线 y R x2 h x； (3)∵点 A(10，0)在抛物线 y＝ax2+bx 中，得 100a+10b＝0， ∴b＝﹣10a， ∴抛物线的解析式为 y＝ax2﹣10ax＝a(x﹣5)2﹣25a， ∴抛物线的顶点 D 坐标为(5，﹣25a)， 将 x＝5 代入 y R x+5 中，得 y R 5+5 h ， ∵顶点 D 位于△AOB 内， ∴0＜﹣25a＜ h ， ∴ R 䁣 ＜a＜0； 29．(2020•苏州)如图，二次函数 y＝x2+bx 的图象与 x 轴正半轴交于点 A，平行于 x 轴的直线 l 与该抛物线 交于 B、C 两点(点 B 位于点 C 左侧)，与抛物线对称轴交于点 D(2，﹣3)． (1)求 b 的值； (2)设 P、Q 是 x 轴上的点(点 P 位于点 Q 左侧)，四边形 PBCQ 为平行四边形．过点 P、Q 分别作 x 轴的垂线， 与抛物线交于点 P'(x1，y1)、Q'(x2，y2)．若|y1﹣y2|＝2，求 x1、x2 的值． 【答案】见解析。 【分析】(1)抛物线的对称轴为 x＝2，即 b＝2，解得：b＝﹣4，即可求解； (2)求出点 B、C 的坐标分别为(1，﹣3)、(3，﹣3)，则 BC＝2，而四边形 PBCQ 为平行四边形，则 PQ＝BC ＝2，故 x2﹣x1＝2，即可求解． 【解析】(1)直线与抛物线的对称轴交于点 D(2，﹣3)， 故抛物线的对称轴为 x＝2，即 b＝2，解得：b＝﹣4， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x； (2)把 y＝﹣3 代入 y＝x2﹣4x 并解得 x＝1 或 3， 故点 B、C 的坐标分别为(1，﹣3)、(3，﹣3)，则 BC＝2， ∵四边形 PBCQ 为平行四边形， ∴PQ＝BC＝2，故 x2﹣x1＝2， 又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2， 故|(x12﹣4x1)﹣(x22﹣4x2)＝2，|x1+x2﹣4|＝1． ∴x1+x2＝5 或 x1+x2＝﹣3， 由 R h ，解得 ； 由 R ，解得 h ． 30．(2020•台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图 1)． 科学原理：如图 2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为 h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm) 与 h 的关系式为 s2＝4h(H﹣h)． 应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满 水，在离水面竖直距离 hcm 处开一个小孔． (1)写出 s2 与 h 的关系式；并求出当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是多少？ (2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的射程相同，求 a，b 之间的关系式； (3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【答案】见解析。 【分析】(1)将 s2＝4h(20﹣h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出 s2 的最大值，再求 s2 的算术平方根即可； (2)设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则 4a(20﹣a)＝4b(20﹣b)，利用因式分解变形即可得出答案； (3)设垫高的高度为 m，写出此时 s2 关于 h 的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【解析】(1)∵s2＝4h(H﹣h)， ∴当 H＝20cm 时，s2＝4h(20﹣h)＝﹣4(h﹣10)2+400， ∴当 h＝10cm 时，s2 有最大值 400， ∴当 h＝10cm 时，s 有最大值 20cm． ∴当 h 为 10cm 时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm； (2)∵s2＝4h(20﹣h)， 设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20﹣a)＝4b(20﹣b)， ∴20a﹣a2＝20b﹣b2， ∴a2﹣b2＝20a﹣20b， ∴(a+b)(a﹣b)＝20(a﹣b)， ∴(a﹣b)(a+b﹣20)＝0， ∴a﹣b＝0，或 a+b﹣20＝0， ∴a＝b 或 a+b＝20； (3)设垫高的高度为 m，则 s2＝4h(20+m﹣h)＝﹣4 R R 䁣 (20+m)2， ∴当 h 䁣 cm 时，smax＝20+m＝20+16， ∴m＝16cm，此时 h 䁣 18cm． ∴垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm． 31．(2020•滨州)某水果商店销售一种进价为 40 元/千克的优质水果，若售价为 50 元/千克，则一个月可售出 500 千克；若售价在 50 元/千克的基础上每涨价 1 元，则月销售量就减少 10 千克． (1)当售价为 55 元/千克时，每月销售水果多少千克？ (2)当月利润为 8750 元时，每千克水果售价为多少元？ (3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】见解析。 【分析】(1)由月销售量＝500﹣(销售单价﹣50)×10，可求解； (2)设每千克水果售价为 x 元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解； (3)设每千克水果售价为 m 元，获得的月利润为 y 元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得 y 与 x 的 关系式，有二次函数的性质可求解． 【解析】(1)当售价为 55 元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×(55﹣50)＝450 千克； (2)设每千克水果售价为 x 元， 由题意可得：8750＝(x﹣40)[500﹣10(x﹣50)]， 解得：x1＝65，x2＝75， 答：每千克水果售价为 65 元或 75 元； (3)设每千克水果售价为 m 元，获得的月利润为 y 元， 由题意可得：y＝(m﹣40)[500﹣10(m﹣50)]＝﹣10(m﹣70)2+9000， ∴当 m＝70 时，y 有最大值为 9000 元， 答：当每千克水果售价为 70 元时，获得的月利润最大值为 9000 元． 32．(2019 贵州贵阳)如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关于直 线 x＝1 对称，点 A 的坐标为(﹣1，0)． (1)求二次函数的表达式； (2)连接 BC，若点 P 在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15°，求线段 CP 的长度； (3)当 a≤x≤a+1 时，二次函数 y＝x2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值． 【答案】见解析。 【解析】(1)∵点 A(﹣1，0)与点 B 关于直线 x＝1 对称， ∴点 B 的坐标为(3，0)， 代入 y＝x2+bx+c，得： ， 解得 ， 所以二次函数的表达式为 y＝x2﹣2x﹣3； (2)如图所示： 由抛物线解析式知 C(0，﹣3)， 则 OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°， 若点 P 在点 C 上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°， ∴OP＝OBtan∠OBP＝3× ＝ ， ∴CP＝3﹣ ； 若点 P 在点 C 下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°， ∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3× ＝3 ， ∴CP＝3 ﹣3； 综上，CP 的长为 3﹣ 或 3 ﹣3； (3)若 a+1＜1，即 a＜0， 则函数的最小值为(a+1)2﹣2(a+1)﹣3＝2a， 解得 a＝1﹣ (正值舍去)； 若 a＜1＜a+1，即 0＜a＜1， 则函数的最小值为 1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2(舍去)； 若 a＞1， 则函数的最小值为 a2﹣2a﹣3＝2a， 解得 a＝2+ (负值舍去)； 综上，a 的值为 1﹣ 或 2+ ． 【点拨】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二 次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．