云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

峨山一中2019-2020学年下学期期中考试 高二数学（文科）试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.‎ ‎1.若，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集定义求解．‎ ‎【详解】∵，，∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．‎ ‎2.函数的定义域是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出方程组，解方程组即可.‎ ‎【详解】由题知：.‎ 故函数定义域为：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查对数函数定义域，同时考查了根式的定义域，属于简单题.‎ ‎3.若函数f（x）=sin（ωx+θ）的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图象可得：T==4（+），解得，由于点（–，0）在函数图象上，解得即可求解 ‎【详解】由函数图象可得：T==4（+），解得，由于点（–，0）在函数图象上，‎ 且为五点作图法的第一个点，可得=0+2kπ，k∈Z，解得θ=+2kπ，k∈Z．‎ 当k=0时，可得，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的性质，熟记性质准确计算是关键，是基础题 ‎4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．‎ ‎【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．‎ ‎5.已知数列满足：，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给递推公式，构造等比数列，即可由等比数列通项公式求得数列的通项公式，进而求得.‎ ‎【详解】数列满足，‎ 则，即，‎ 则，而，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列，‎ 则，‎ 所以，‎ 因而，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了构造数列法求通项公式的应用，等比数列通项公式的求法，属于中档题.‎ ‎6.设命题，，则为（ ）.‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据存在量词命题的否定，即可得解.‎ ‎【详解】命题，，‎ 由存在量词命题的否定可知为，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，注意各部分变化的形式，属于基础题.‎ ‎7.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据变量与负相关，可知线性回归方程中一次项系数为负，结合线性回归方程经过样本平均数中心点，即可检验得解.‎ ‎【详解】由题意，变量与负相关，可知线性回归方程中一次项系数为负，可排除A、C；‎ 又因为线性回归方程经过样本平均数中心点，将，分别代入B、D，‎ 可知B正确，D错误，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的性质及简单应用，属于基础题.‎ ‎8.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线标准方程，可得焦点坐标，结合直线斜率即可知直线方程；联立直线方程与抛物线方程，结合线段的中点纵坐标及韦达定理即可求得的值，进而得抛物线的标准方程.‎ ‎【详解】抛物线，‎ 则焦点坐标为，‎ 过焦点且斜率为1的直线方程为，即，‎ 所以，化简可得，‎ 直线交抛物线于、两点，线段的中点纵坐标为2，‎ 则，而，‎ 解得，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系的简单应用，根据中点弦的坐标求抛物线标准方程，属于基础题.‎ ‎9.已知点F，A分别为双曲线C：的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意判断出FB⊥AB，利用勾股定理求得a和c关系，整理成关于e的方程求得双曲线的离心率．‎ ‎【详解】∵•0，‎ ‎∴FB⊥AB ‎∴|FB|2+|AB|2＝|FA|2，‎ 即c2+b2+a2+b2＝（a+c）2，整理得c2﹣a2﹣ac＝0，等式除以a2得e2﹣e﹣1＝0‎ 求得e（舍负）‎ ‎∴e 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a和c的关系，属于基础题.‎ ‎10.若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. 且 C. D. 且 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与椭圆有两个交点，联立方程后可知，且椭圆方程中满足且，即可得的取值范围.‎ ‎【详解】椭圆，则且，‎ 而直线与椭圆有两个公共点，‎ 则，化简可得，‎ 所以 ‎，‎ 可得或，‎ 又因为且，‎ 可得且，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系的简单应用，由直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎11.函数的导数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由即可的解.‎ 详解：函数，‎ 求导得：.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查了两函数乘积的求导运算，属于基础题.‎ ‎12.设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得曲线的导函数，由导函数几何意义及直线方程可求得切点坐标，再代入直线方程即可求得的值.‎ ‎【详解】直线是曲线的一条切线，‎ 则，‎ 根据导数的几何意义可知，‎ 解得，‎ 代入曲线可得，‎ 因而切点坐标为，‎ 将切点坐标代入直线方程可得，‎ 解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义及简单应用，属于基础题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎14.如图，正六边形的边长为1，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正六边形及三角形性质可分别求得及的大小，进而由平面向量数量积定义即可求得.‎ ‎【详解】正六边形中作，如下图：‎ 则，‎ 所以，则，‎ 由正六边形性质可知，，‎ 而与的夹角为的补角，‎ 所以由平面向量数量积定义可知 ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的简单应用，注意向量的夹角与三角形关系，属于基础题.‎ ‎15.若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以 的最小值为．‎ ‎【考点】简单线性规划 ‎【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎（1）在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后直线，从而确定最优解；‎ ‎（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎16.已知命题p：|x2－x|≠6，q：x∈N，且p且q与¬q都是假命题，则x的值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由且与都是假命题，知假真,即.‎ ‎【详解】由且与都是假命题，知假真，得,解得.‎ ‎【点睛】本题解题的关键在于判断命题的真假.‎ 三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.‎ 已知数列的首项，通项，且 成等差数列，求：‎ ‎（Ⅰ）p,q的值；‎ ‎(Ⅱ) 数列前n项和的公式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）p=1,q=1 (Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由 又，且，得解得p=1,q=1‎ ‎(Ⅱ)解：‎ ‎18.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，面积为2，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.‎ 试题解析：（1），∴，∵，‎ ‎∴，∴，∴；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎19.如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是，，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点C到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，，利用三角形中位线的性质和线面平行的判定定理即可得证；‎ ‎（2）过C作的垂线，垂足为H，利用线面垂直的判定定理和性质定理可证平面，即的长即为C到平面的距离，在中利用三角形面积相等求出即可.‎ ‎【详解】（1）证明：如图所示：连结，，因为M，E分别为，的中点，‎ 所以，且，又因为N为的中点，所以.‎ 由题设知，可得，故，即四边形为平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）过C作的垂线，垂足为H，由已知可得，，‎ 所以平面，故，因为，，‎ 所以平面，故的长即为C到平面的距离，‎ 由已知可得，，所以，‎ 故，所以点C到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用线面垂直的判定定理和性质定理求点到面的距离；考查逻辑推理能力和空间想象能力；熟练掌握线面垂直的判定与性质是求解本题的关键；属于中档题.‎ ‎20.如图，直线与抛物线相切于点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程，即可求得的值；‎ ‎（2）将（1）中所得的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程.‎ ‎【详解】（1）直线与抛物线相切于点.‎ 则，得，（*）‎ 因直线与抛物线相切，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1）可知，故方程（*）即为，‎ 解得，代入，得.‎ 故点，‎ 因为圆与抛物线的准线相切，‎ 所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，‎ 即，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.‎ ‎21.若函数,当时,函数有极值为.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若有个解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过 有三个不等的实数解，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 由时，函数有极值，‎ 得，即，解得 所以；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ 所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，有极大值；‎ 当时，有极小值，‎ 因为关于的方程有三个不等实根，‎ 所以函数的图象与直线有三个交点，‎ 则的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.‎ ‎22.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎5‎ 女性 ‎10‎ 总计 ‎50‎ 已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）求该公司男、女员工各多少人；‎ ‎（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由.‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】（1）填表见解析；（2）男员工人数为人，女员工有325人（3）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而补全列联表.‎ ‎（2）根据公司男员工人数所占的比例即可求解.‎ ‎（3）根据列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可判断.‎ ‎【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，‎ 所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女性 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）该公司男员工人数为（人），则女员工有325人.‎ ‎（3）的观测值，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想、补全列联表，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.‎