数学（理）卷·2018届河南省平顶山市高二下学期期末调研考试（2017-07）

数学（理）卷·2018届河南省平顶山市高二下学期期末调研考试（2017-07）

‎ 2017学年度高二数学下期期未质量检测 理科数学 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.若，其中为虚数单位，则复数 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.对任意实数，在下列命题中，真命题是 ‎ A. 是的必要条件 B. 是的必要条件 C. 是的充分条件 D. 是的充分条件 ‎3.若实数满足，则的最小值是 ‎ A. 18 B. ‎6 C. D.‎ ‎4.在中，，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知是抛物线的焦点，A,B是该抛物线上的两点，,则线段的中点到轴的距离为 ‎ A. B. ‎1 C. D.‎ ‎6. 已知各项均为正数的等比数列中，，则 ‎ A. B. ‎7 C. 6 D.‎ ‎7.设满足约束条件，则的最大值为 ‎ A. 10 B. ‎2 C. 3 D. 8‎ ‎8.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是 ‎ A. 1 B. C.2 D.‎ ‎9.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题中为假命题的是 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.设函数，则 ‎ A.是函数的极大值点 B. 是函数的极小值点 ‎ C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点 ‎11.甲组有5名男同学，3名女同学，乙组有6名男同学，2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有 ‎ A. 150种 B. 180种 C. 300种 D.345种 ‎12.已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A,B两点，若，则 ‎ A. 1 B. C. D.2‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎14.已知随机变量服从正态分布，且，则 .‎ ‎15.的二项展开式中的系数是 .（用数字作答）‎ ‎16.若规定的子集为的第个子集，其中，则E的第211个子集是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分10分）已知为等差数列，且 ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（本题满分12分）甲乙两个篮球运动员互不影响的同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为 ‎ （1）求乙投球的命中率；‎ ‎ （2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎ 如图，四边形为正方形，平面，‎ ‎ （1）证明：平面平面；‎ ‎ （2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，短轴上的两个顶点为A,B（A在B的上方），且四边形的面积为8.‎ ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）设动直线与椭圆C交于不同的两点M,N，直线与直线交于点，求证：三点共线.‎ ‎21.（本题满分12分）设函数，其中 ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）设的最小值为，证明：.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 ‎ 以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）将直线（为参数）化为极坐标方程；‎ ‎（2）设P是（1）中直线上的动点，定点，B是曲线上的动点，求的最小值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设对任意的成立，求的最大值及相应的.‎ ‎2017学年度高二数学下期期未质量检测 理科数学答案 一．选择题：‎ ‎(1)A (2)B (3)B (4)C (5)C (6)A (7)D (8)A (9)C (10)D (11)D (12)B ‎ 二．填空题：‎ ‎(13) (14) (15) 40 (16) ‎ 三．解答题：‎ ‎(17)（本小题满分12分）‎ 解：（I）由已知条件可得， ……………3分 解之得，， ……………4分 所以，． ……………6分 ‎（Ⅱ）由可得，，设数列的前项和为.‎ 则， ……………7分 ‎∴ ， ……………9分 以上二式相减得 ‎ ， ……………11分 所以，. ……………12分 ‎(18)（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，‎ ‎ 由题意得， ……………3分 ‎ 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为． ……………5分 ‎（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，，，．‎ X可能的取值为0，1，2，3． ……………6分 又， ……………7分 ‎，‎ ‎ ……………8分 ‎， ……………9分 ‎． ……………10分 X的分布列为：‎ X ‎ ……………11分 X的数学期望． ……………12分 ‎(19)（本小题满分12分）‎ 解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴 建立空间直角坐标系D—xyz． ……………1分 ‎ （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）．‎ ‎ ……………2分 则 所以 ……………3分 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC．故PQ⊥平面DCQ． ……………5分 又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ． …………6分 ‎（注：按传统解法，每给出一个线面垂直得2分，直到给出面面垂直得6分）‎ ‎ （II）依题意有B（1，0，1），，‎ 设是平面PBC的法向量，则 即因此可取 ……………8分 设m是平面PBQ的法向量，则 同理可取 ……………9分 所以 ……………11分 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 ‎(20)（本小题满分12分）‎ 解：（I）∵椭圆C的离心率，∴，因此四边形AF1BF2是正方形．……2分 ‎ ∴，． ……………4分 ‎∴椭圆C的方程为． ……………5分 ‎（II）将已知直线代入椭圆方程化简得：， ……………6分 ‎，解得：． 由韦达定理得：①，，② ……………7分 设，，，‎ 方程为：，则， ……………8分 ‎，， ……………9分 欲证三点共线，只需证，共线，‎ 即成立，化简得：，‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证． ……………12分 ‎(21)（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知可得函数的定义域为，而． ……2分 ‎∵，，∴当时，，当时，．…4分 ‎∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是． ………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的最小值为，． 6分 要证明，只须证明成立． ………7分 设，． ………8分 则 ，‎ ‎∴在区间上是增函数，∴，即．‎ 取得到成立． ……………10分 设，，同理可证．‎ 取得到成立．因此，． ……………12分 ‎(22)（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程 解：（Ⅰ）消去参数t得， 即，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为．‎ ‎（答案也可以化为） ……5分 ‎（Ⅱ）∵的直角坐标为，曲线是圆：（C为圆心）．∴．‎ ‎∴的最小值为（这时P是直线l与直线AC的交点）……10分 ‎(23)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当x<0时，原不等式可化为，解得，又∵，∴不存在；‎ 当时，原不等式可化为，解得，又∵，∴‎ ‎；‎ 当时，原不等式可化为，解得，又∵，∴；‎ 综上，原不等式的解为． …… 5分 ‎（Ⅱ）由得，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最大值为，此时相应的，． ……10分