2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练48 椭圆

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练48 椭圆

课时规范练48　椭圆 基础巩固组 ‎1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x‎2‎‎169‎‎+‎y‎2‎‎144‎=1 B.x‎2‎‎144‎‎+‎y‎2‎‎169‎=1‎ C.x‎2‎‎169‎‎+‎y‎2‎‎25‎=1 D.x‎2‎‎144‎‎+‎y‎2‎‎25‎=1‎ ‎2.(2017河南洛阳三模,理2)已知集合M=xx‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎,N=yx‎3‎‎+y‎2‎=1‎,M∩N=(　　)‎ A.⌀ B.{(3,0),(0,2)}‎ C.[-2,2] D.[-3,3]‎ ‎3.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为‎3‎‎3‎,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4‎3‎,则C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1 B.x‎2‎‎3‎+y2=1‎ C.x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎8‎=1 D.x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1‎ ‎4.(2017安徽黄山二模,理4)在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:‎ 条　　件 方　　程 ‎①△ABC周长为10‎ C1:y2=25‎ ‎②△ABC面积为10‎ C2:x2+y2=4(y≠0)‎ ‎③△ABC中,∠A=90°‎ C3:x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎5‎=1(y≠0)‎ 则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为(　　)‎ A.C3,C1,C2 B.C1,C2,C3‎ C.C3,C2,C1 D.C1,C3,C2〚导学号21500759〛‎ ‎5.(2017广东、江西、福建十校联考)已知F1,F2是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A.‎5‎‎5‎‎,1‎ B.‎‎2‎‎2‎‎,1‎ C.‎0,‎‎5‎‎5‎ D.‎‎0,‎‎2‎‎2‎ ‎6.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为　. ‎ ‎7.(2017湖北八校联考)设F1,F2为椭圆x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎5‎=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则‎|PF‎2‎|‎‎|PF‎1‎|‎的值为　　　　　. ‎ ‎8.‎ ‎(2017河北衡水中学三调,理20)如图,椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F1F2|=2‎3‎.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求k‎1‎k‎2‎的取值范围.‎ ‎〚导学号21500760〛‎ 综合提升组 ‎9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为‎1‎‎2‎,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎10.(2017河南郑州三模,理10)椭圆x‎2‎‎5‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是(　　)‎ A.‎5‎‎5‎ B.‎6‎‎5‎‎5‎ C.‎8‎‎5‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎‎5‎ ‎11.(2017安徽安庆二模,理15)已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-‎1‎‎4‎,则点P到直线QM的距离为　　　　　.〚导学号21500761〛 ‎ ‎12.‎ ‎(2017湖南邵阳一模,理20)如图所示,已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),F1,F2分别为其左,右焦点,点P是椭圆C上一点,PO⊥F2M,且F‎1‎M=λMP.‎ ‎(1)当a=2‎2‎,b=2,且PF2⊥F1F2时,求λ的值;‎ ‎(2)若λ=2,试求椭圆C离心率e的范围.‎ 创新应用组 ‎13.(2017河南南阳、信阳等六市一模,理16)椭圆C:x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1斜率的取值范围是　　　　　. ‎ ‎14.(2017北京东城区二模,理19)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的短轴长为2‎3‎,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E,证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.‎ ‎〚导学号21500762〛‎ 参考答案 课时规范练48　椭圆 ‎1.A　由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为x‎2‎‎169‎‎+‎y‎2‎‎144‎=1.‎ ‎2.D　集合M=xx‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎=[-3,3],N=yx‎3‎‎+y‎2‎=1‎=R,则M∩N=[-3,3],故选D.‎ ‎3.A　由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=4‎3‎,即a=‎3‎,又由e=ca‎=‎‎3‎‎3‎,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,故选A.‎ ‎4.A　①△ABC的周长为10,即AB+AC+BC=10.∵BC=4,∴AB+AC=6>BC,故动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;‎ ‎②△ABC的面积为10,∴‎1‎‎2‎BC·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;‎ ‎③∵∠A=90°,∴AB‎·‎AC=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.‎ ‎5.B　∵F1,F2是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左右两个焦点,‎ ‎∴离心率0|C1C2|,‎ 即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,‎ 得点P的轨迹方程为x‎2‎‎25‎‎+‎y‎2‎‎16‎=1.‎ ‎7.‎5‎‎13‎　由题意知a=3,b=‎5‎.‎ 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.‎ 在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,‎ 由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=b‎2‎a‎=‎‎5‎‎3‎,‎ 所以|PF1|=6-|PF2|=‎13‎‎3‎,‎ 所以‎|PF‎2‎|‎‎|PF‎1‎|‎‎=‎‎5‎‎13‎.‎ ‎8.解 (1)因为2a=4,2c=2‎3‎,‎ 所以a=2,c=‎3‎,所以b=1.‎ 所以椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.‎ 设D(x1,y1),C(x2,y2),‎ 则x1+x2=-‎8mk‎4k‎2‎+1‎,x1x2=‎4m‎2‎-4‎‎4k‎2‎+1‎,‎ 又M‎-mk,0‎,N(0,m),‎ 由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN,‎ 所以-‎8mk‎4k‎2‎+1‎=-mk,‎ 所以k=‎1‎‎2‎(k>0).‎ 所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.‎ 所以-‎3‎≤-2m≤‎3‎且m≠0,‎ 所以k‎1‎k‎2‎‎2‎‎=‎y‎1‎‎(x‎2‎-2)‎y‎2‎‎(x‎1‎+2)‎‎2‎ ‎=‎‎(2-x‎1‎)(2-x‎2‎)‎‎(2+x‎2‎)(2+x‎1‎)‎ ‎=‎‎4-2(x‎1‎+x‎2‎)+‎x‎1‎x‎2‎‎4+2(x‎1‎+x‎2‎)+‎x‎1‎x‎2‎ ‎=‎‎4-2·(-2m)+2m‎2‎-2‎‎4+2·(-2m)+2m‎2‎-2‎ ‎=‎(m+1‎‎)‎‎2‎‎(m-1‎‎)‎‎2‎,‎ 所以k‎1‎k‎2‎‎=‎‎1+m‎1-m=-1-‎2‎m-1‎.‎ 又因为k‎1‎k‎2‎=-1-‎2‎m-1‎在‎-‎3‎‎2‎,0‎∪‎‎0,‎‎3‎‎2‎上是增加的,‎ 所以7-4‎3‎‎=‎1-‎‎3‎‎2‎‎1+‎‎3‎‎2‎≤‎1+m‎1-m≤‎‎1+‎‎3‎‎2‎‎1-‎‎3‎‎2‎=7+4‎3‎,且‎1+m‎1-m≠1,‎ 即7-4‎3‎‎≤‎k‎1‎k‎2‎≤7+4‎3‎,且k‎1‎k‎2‎≠1,所以k‎1‎k‎2‎∈[7-4‎3‎,1)∪(1,7+4‎3‎].‎ ‎9.B　∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).‎ 设椭圆E的方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),则c=2.‎ ‎∵ca‎=‎‎1‎‎2‎,∴a=4.‎ ‎∴b2=a2-c2=12.‎ 于是椭圆方程为x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎12‎=1.‎ ‎∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.‎ ‎10.C　设右焦点为F',连接MF',NF',△FMN的周长=|FM|+|FN|+|MN|≤|FM|+|FN|+|MF'|+|NF'|=4a=4‎5‎.‎ ‎∵|MF'|+|NF'|≥|MN|,∴当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.‎ 把c=1代入椭圆标准方程可得‎1‎‎5‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1,解得y=±‎4‎‎5‎‎5‎.‎ ‎∴此时△FMN的面积S=‎1‎‎2‎×2×2×‎4‎‎5‎‎5‎‎=‎‎8‎‎5‎‎5‎.‎ 故选C.‎ ‎11.‎4‎5‎b‎5‎　根据题意可得P(0,b),Q(0,-b),设A(x,y),B(-x,-y),由直线PA,PB的斜率之积为-‎1‎‎4‎,‎ 则kPA·kPB=y-bx‎·‎-y-b‎-x=‎y‎2‎‎-‎b‎2‎x‎2‎=-‎1‎‎4‎,‎ 由点A在椭圆上可得x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1,‎ 则y‎2‎‎-‎b‎2‎x‎2‎=-b‎2‎a‎2‎,‎ ‎∴b‎2‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎,即a=2b.‎ ‎△PMQ的面积S=‎1‎‎2‎·|PQ|·|OM|=‎1‎‎2‎×2b·a=2b2,‎ 设点P到直线MQ的距离为d,‎ 则S=‎1‎‎2‎·|MQ|·d=‎1‎‎2‎‎×‎a‎2‎‎+‎b‎2‎·d=‎5‎‎2‎b·d=2b2,‎ 解得d=‎4‎‎5‎‎5‎b,∴点P到直线QM的距离为‎4‎5‎b‎5‎.‎ ‎12.解 (1)当a=2‎2‎,b=2时,椭圆C为x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1,F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎∵PF2⊥F1F2,‎ ‎∴P(2,‎2‎)或P(2,-‎2‎),‎ 当P(2,‎2‎)时,kOP=‎2‎‎2‎‎,‎kF‎2‎M=-‎2‎‎,kF‎1‎M=‎‎2‎‎4‎,‎ 直线F2M:y=-‎2‎(x-2),①‎ 直线F1M:y=‎2‎‎4‎(x+2),②‎ 联立①②解得xM=‎6‎‎5‎,‎ ‎∴λ=xM‎-‎xF‎1‎xP‎-‎xM=4.‎ 同理可得当P(2,-‎2‎)时,λ=4.‎ 综上所述,λ=4.‎ ‎(2)设P(x0,y0),M(xM,yM).‎ ‎∵F‎1‎M=2MP,∴F‎1‎M‎=‎‎2‎‎3‎(x0+c,y0)=(xM+c,yM),‎ ‎∴M‎2‎‎3‎x‎0‎‎-‎1‎‎3‎c,‎‎2‎‎3‎y‎0‎‎,F‎2‎M=‎‎2‎‎3‎x‎0‎‎-‎4‎‎3‎c,‎‎2‎‎3‎y‎0‎.‎ ‎∵PO‎⊥F‎2‎M,‎OP=(x0,y0),‎ ‎∴‎2‎‎3‎x‎0‎‎-‎4‎‎3‎cx0+‎2‎‎3‎y‎0‎‎2‎=0,‎ 即x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎=2cx0.③‎ 又x‎0‎‎2‎a‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎b‎2‎=1,④‎ 联立③④解得x0=a+cc(舍去)或x0=a(a-c)‎c(∵x0∈(-a,a)),‎ ‎∴x0=a(a-c)‎c∈(0,a),‎ 即0‎1‎‎2‎.‎ 又0

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