2020-2021学年高一数学单元知识梳理：一元二次函数、方程和不等式

2020-2021学年高一数学单元知识梳理：一元二次函数、方程和不等式

2020-2021 学年高一数学单元知识梳理：一元二次函数、方程和不等式 1．比较数(式)的大小 依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知 的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证 结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式． 3．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即：①x，y 都是正数． ②积 xy(或和 x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)． ③x 与 y 必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 4．解一元二次不等式的步骤 当 a＞0 时，解形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的 一般步骤如下： (1)确定对应方程 ax2＋bx＋c＝0 的解； (2)画出对应函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的简图； (3)由图象写出不等式的解集． 特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不 等关系及 Δ＝0 时的特殊情况． (2)当 a＜0 时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时 图象开口向下)；②两边同乘以－1，把 a 转变为－a 再进行求解． 5．一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、 最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题 的一般步骤是： (1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式． (5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出 问题的答案． 一、常数代换法 【典例 1】已知正数 x，y 满足 x+y＝1，则1 푥 + 4 1+푦的最小值为（ ） A．5 B．14 3 C．9 2 D．2 【答案】C 【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2， 则 2(1 푥 + 4 1+푦) = [푥 + (1 + 푦)](1 푥 + 4 1+푦) = 4푥 1+푦 + 1+푦 푥 + 5 ≥ 2√ 4푥 1+푦 ⋅ 1+푦 푥 + 5 = 9， 所以，1 푥 + 4 1+푦 ≥ 9 2， 当且仅当{ 4푥 1+푦 = 1+푦 푥 푥 + 푦 = 1 ，即当{ 푥 = 2 3 푦 = 1 3 时，等号成立， 因此，1 푥 + 4 1+푦的最小值为9 2，故选：C． 二、消元法 【典例 2】设 x，y，z 为正实数，满足 x﹣2y+3z＝0，则푦2 푥푧的最小值是 ． 【答案】3 【解析】∵x﹣2y+3z＝0，∴푦 = 푥+3푧 2 ， ∴푦2 푥푧 = 푥2+9푧2+6푥푧 4푥푧 ≥ 6푥푧+6푥푧 4푥푧 = 3，当且仅当 x＝3z 时取“＝”． 故答案为 3． 三、配凑法 1．从和或积为定值的角度入手配凑 某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这 些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等 常规运算和技巧． 【典例 3】设 x>0，y>0，x2＋ 2 2y ＝1，求 21 yx  的最大值． 【解析】∵x>0，y>0，x2 与 的和为定值， ∴ ＝ )1( 22 yx  ＝ 4 23 2 2 1 22 12 2 2 2 2    yxyx ，当且仅当 2 1 2 2 yx  ， 即 2 2,2 3  yx 时取等号，即 的最大值为 4 23 . 【典例 4】已知 x，y，z 为正数，且满足 xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值． 【解析】由条件得 x＋y＋z＝ xyz 1 ，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝ y· ＋xz＝ xz 1 ＋xz≥2，当且仅当 ＝xz，即 xz＝1 时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小 值为 2. 【典例 5】设 a1，a2，a3，…，an 均为正实数，求证： 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n   ≥a1＋a2 ＋a3＋…＋an. 【解析】为了约去 1 2 k k a a 中的分母，可考虑配上一项 ak＋1，于是有 2 2 1 a a ＋a2≥2a1， 3 2 2 a a ＋ a3≥2a2，… n n a a 2 1 ＋an≥2an－1， 1 2 a a n ＋a1≥2an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时取等号．以 上不等式相加，化简，可得原不等式成立． 2．从取等号的条件入手配凑 在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． 【典例 6】设 a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求 131313  cba 的最大值． 【解析】 2 33 2 132132  aaa ， 2 33132,2 33132  ccbb . 以 上 三 式 相 加 ， 并 利 用 a ＋ b＋ c ＝ 1 ，得 2 ( )≤6 ，故 131313  cba 的最大值为 3 2 . 四、判别式法在“三个二次”问题中的应用 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次” 问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中 的重要性． 1．求变量的取值范围 【典例 7】不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值 范围． 【解析】(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0 对任意 x∈R 恒成立． ①若 m2－2m－3＝0，则 m＝－1 或 m＝3. 当 m＝－1 时，不符合题意；当 m＝3 时，符合题意． ②若 m2－2m－3≠0，设 y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0 对任意 x∈R 恒成立． 则 m2－2m－3<0，Δ＝b2－4ac＝5m2－14m－3<0， 解得－ 5 1 0 恒成立． 【解析】不等式可变形为y2＋2xy＋2x2－4x＋5>0，将不等式左边看作关于y的二次函数， 令 z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，则关于 y 的一元二次方程 y2＋2xy＋2x2－4x＋5＝0 的根的 判别式 Δ＝4x2－4(2x2－4x＋5)＝－4(x－2)2－4<0，即 Δ<0.则对于二次函数 z＝y2＋2xy＋ 2x2－4x＋5，其图象开口向上，且在 x 轴上方，所以 z>0 恒成立，即 2x2＋2xy＋y2－4x ＋5>0 恒成立． 五、含变量的不等式恒成立问题 【典例 10】对于满足 0≤p≤4 的一切实数，不等式 x2＋px＞4x＋p－3 恒成立，试求 x 的取值范围． 【解析】原不等式可化为 x2＋px－4x－p＋3＞0， 令 y＝x2＋px－4x－p＋3 ＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)． 题设得      )4(034)1(4 )0(034 2 2 pxxx pxx 解得 x＞3 或 x＜－1. 故 x 的取值范围是 x<－1 或 x>3.