2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 广西南宁市第三中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合M={x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（　　）‎ A. {﹣1，0，2，3} B. {﹣1，0，1，2} C. {0，1，2} D. {0，1，2，3}‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B.‎ ‎2．已知复数z满足，则z的虚部为（ ）‎ A、i B、－1 C、1 D、－i ‎【答案】C ‎【解析】由已知，1＋z＝（1－z）i，则z＝＝i，虚部为1‎ 考点：复数的概念，复数的代数运算 ‎3．设，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由条件利用二倍角公式求得各个选项中式子的值，从而得出结论．‎ 详解：‎ 所以 故选：D 点睛：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．‎ ‎4．如图，已知正方形的面积为，向正方形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由古典概型概率公式概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为，因为正方形的面积为，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎5．下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．‎ 详解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，且故排除A；‎ ‎∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故排除B；‎ ‎∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；‎ ‎∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，符合题意，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查诱导公式、二倍角公式、三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．‎ ‎6．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体如图, 侧面积是 ,选B 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎7．已知函数对任意，都有，当 时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用条件得到函数的周期性为，从而，再结合已知条件即可得到结果.‎ 详解：由可知周期为，‎ 所以，又当 时，，‎ 所以 故选：C 点睛：本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，属于基础题．‎ ‎8．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：圆的圆心为，半径，点关于直线的对称点为，即对称圆的圆心为，所以圆的方程为 考点：圆的方程及点的对称 ‎9．函数的图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用函数的单调性即可做出正确判断.‎ 详解：当x时，是增函数，‎ 从而可排除A，C，D，‎ 故选:B ‎ 点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎10．双曲线（a）0，b>0）的右焦点为F，直线与两条渐近线分别交于两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：联立方程得到两点坐标，利用是直角三角形，建立关于a，b的方程从而得到双曲线的离心率.‎ 详解：由题意可得F，渐近线方程为 联立可得：，同理可得Q 又是直角三角形 所以，即 所以双曲线的离心率为 故选：A 点睛：求离心率的常用方法有以下两种：‎ ‎（1）求得的值，直接代入公式求解；‎ ‎（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于 的方程(或不等式)求解．‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝，△ABC的面积S△ABC＝，则△ABC的周长为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 4＋2‎ ‎【答案】A ‎【解析】在△ABC中，∵△ABC的面积S△ABC==ab⋅sinC=ab⋅‎ ‎∴ab=4.‎ 再由余弦定理c2=4=a2+b2−2ab⋅cosC=a2+b2−4，‎ ‎∴a2+b2=8，‎ ‎∴a+b==4，‎ 故△ABC的周长为a+b+c=4+2=6，‎ 故选A.‎ ‎12．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，‎ ‎，则该球体积V的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.‎ 考点：球及其性质.‎ 视频 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量=（，2），=（3，），若，则=___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：利用数量积与垂直的关系即可得出．‎ 详解：由题意可得：‎ ‎∵，‎ ‎∴﹣1×4+2=0，‎ 解得．‎ 故答案为．‎ 点睛：本题考查了向量垂直的坐标运算，熟练掌握数量积与垂直的关系是解题的关键．‎ ‎14．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成. 通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________．‎ ‎【答案】31‎ ‎【解析】分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可．‎ 详解：第1个图形中有根火柴棒；‎ 第2个图形中有 根火柴棒；‎ 第3个图形中有 根火柴棒；‎ ‎ ‎ 第10个图形中有 根火柴棒．‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在的基础上增加几个的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎15．已知满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意作出可行域：目标函数则可以理解为可行域中的点与的斜率的最大值，由图可知最大斜率为： ‎ ‎16．设函数，则使成立的的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.‎ 详解：因为函数，所以时， ,可得在单调递减，，所以函数为偶函数，所以在单调递增，又因为，，，，，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.‎ 将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知是等差数列，是等比数列，且，，.‎ ‎（1）数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以．解得d=3．又因为，所以，即可以得出数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．因此，由等差数列，等比数列的前n项和即可得出数列前n项和.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以．解得d=3．又因为，所以．所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 因此 数列前n项和为．‎ 数列的前n项和为．‎ 所以，数列前n项和为．‎ ‎18．某校进行理科、文科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下.‎ 分组 频数 频率 分组 频数 频率 ‎[135,150]‎ ‎8‎ ‎0.08‎ ‎[135,150]‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎[120,135）‎ ‎17‎ ‎0.17‎ ‎[120,135）‎ ‎18‎ ‎0.18‎ ‎[105,120）‎ ‎40‎ ‎0.4‎ ‎[105,120）‎ ‎37‎ ‎0.37‎ ‎[90,105）‎ ‎21‎ ‎0.21‎ ‎[90,105）‎ ‎31‎ ‎0.31‎ ‎[75,90）‎ ‎12‎ ‎0. 12‎ ‎[75,90）‎ ‎7‎ ‎0.07‎ ‎[60,75）‎ ‎2‎ ‎0.02‎ ‎[60,75）‎ ‎3‎ ‎0.03‎ 总计 ‎100‎ ‎1‎ 总计 ‎100‎ ‎1‎ ‎ 理科 文科 ‎（Ⅰ）根据数学成绩的频率分布表，求文科数学成绩的中位数的估计值；（精确到0.01）‎ ‎（Ⅱ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关：‎ 数学成绩120分 数学成绩<120分 合计 理科 文科 合计 ‎200‎ 参考公式与临界值表： ‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(Ⅰ)108.65分(Ⅱ)没有90%的把握认为数学成绩与文理科有关 ‎【解析】分析：（Ⅰ）由图表求出理科数学成绩的频率分布表中成绩小于105分的频率和成绩大于120分的频率，由得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．‎ 详解：（Ⅰ）文科数学成绩的频率分布表中，成绩小于105分的频率为0.41<0.5，‎ 成绩小于120分的频率为0.78>0.5，‎ 故文科数学成绩的中位数的估计值为分．‎ ‎（Ⅱ）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：‎ 数学成绩分 数学成绩分 合计 理科 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 文科 ‎22‎ ‎78‎ ‎100‎ 合计 ‎47‎ ‎153‎ ‎200‎ ‎，故没有90%的把握认为数学成绩与文理科有关．‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III） 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）‎ ‎19．如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在的平面，为的中点，为 的重心.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据已知条件先证明平面，又平面，可得平面平面.‎ ‎（2）易知，先证明平面，求出的长度，再由体积公式计算出.‎ 试题解析：（1）如图，延长交于，‎ ‎∵为的重心，∴为的中点，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ ‎∵是圆的直径，∴，∴，‎ ‎∵平面平面，∴，‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）由（1）知平面，‎ 所以就是点到平面的距离，‎ 由已知可得，，∴为正三角形，∴.‎ 所以.‎ ‎20．设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2）6‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，结合椭圆的定义可得a的值，由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）以及AB的方程，将AB的方程与椭圆联立，分析可得3（my+1）2+4y2=12，借助根与系数的关系可以将四边形AMBF1面积用k表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案．‎ 详解：（1）依题意，，‎ 因为，所以，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设 ，则由，可得，‎ 即，，，‎ 又因为，所以四边形是平行四边形，‎ 设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.‎ 点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎ ‎21．已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，证明时， .‎ ‎【答案】(1) ;函数的单调递减区间为，单调递增区间为函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）得 根据由，整理得，‎ 设，转化为函数的最值，即可作出证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题得，函数的定义域为， ，‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以解得.‎ 令，得，‎ 当时， ， 在区间内单调递减；‎ 当时， ， 在区间内单调递增.‎ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）由（1）得， .‎ 由，得，即.‎ 要证，需证，即证，‎ 设，则要证，等价于证： .‎ 令，则，‎ ‎∴在区间内单调递增， ,‎ 即，故.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (其中 为参数）.现以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点坐标为，直线交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到.‎ 解析：‎ ‎（1）由消去参数，得直线的普通方程为 又由得，‎ 由得曲线的直角坐标方程为 ‎（2）其代入得，‎ 则 所以.‎ ‎23．设函数=‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若存在使得成立,求实数的最小值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)先去掉绝对值,化成=,‎ 再解不等式即可.‎ ‎(2)存在使得成立,即 ,求出即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1) =,‎ ‎,‎ 即或或 ‎(2)由(1)知,函数= =‎ 存在使得成立,‎ ‎，‎ ‎.‎