湖北省孝感市孝南区孝感高级中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

湖北省孝感市孝南区孝感高级中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

高二年级九月调研考试 数学试题 一：选择题。‎ ‎1.不论为何值，直线恒过定点 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m的值。‎ ‎【详解】恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.‎ ‎【点睛】本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键。‎ ‎2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；‎ 且，此时或，可知错误；‎ ‎，，，此时或，可知错误；‎ 两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.‎ ‎3.圆和圆的公切线条数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.‎ ‎【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.‎ 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.‎ 圆心距为，由于，即，‎ 所以，两圆相交，公切线的条数为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下：‎ ‎①两圆相离条公切线；②两圆外切条公切线；③两圆相交条公切线；‎ ‎④两圆内切条公切线；⑤两圆内含没有公切线.‎ ‎4.已知数列满足，，且，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件判断数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可．‎ ‎【详解】因为，所以，所以数列是以2为公差的等差数列，所以，故 ．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式，等差数列的判断以及等差数列的性质的应用，考查计算能力．‎ ‎5.如图所示，已知平面平面，且平面，则的形状为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过证明平面，由此证得，从而得到三角形为直角三角形.‎ ‎【详解】过作于，则平面，，又平面，，又，平面，,为直角三角形.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线垂直、线面垂直间的相互转换，考查三角形形状的判断，属于基础题.‎ ‎6.已知数列的前项和为，，且满足，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.‎ 详解】由得：‎ 数列为等差数列，设其公差为 ‎， ，解得：‎ ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.‎ ‎7.已知等差数列的前n项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干得到等差数列的项是先负后正，，进而得到结果.‎ ‎【详解】等差数列的前n项和有最大值，可知等差数列的项是先负后正，又因为可知故得到，‎ 结合等差数列的和的性质得到，故得到结果为：11.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用，以及前n项和的性质的应用，属于基础题.‎ ‎8.已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为（ ）‎ A. 或 B. 或 ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出线段的方程，得出，在直线的方程中得到，将代入的表达式，利用不等式的性质求出的取值范围。‎ ‎【详解】易求得线段的方程为，得，‎ 由直线的方程得 ‎，‎ 当时，，此时，；‎ 当时，，此时，。‎ 因此，实数的取值范围是或，故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎9.等差数列的前n项和为，己知，，则　　‎ A. 110 B. 200 C. 210 D. 260‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质得，，成等差数列，根据等差中项公式，列出方程，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】由题意，等差数列的前n项和为，，，‎ 由等差数列的性质得，，成等差数列，‎ 即，，成等差数列，‎ 所以，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中根据等差数列的性质，得到，，成等差数列，利用等差中项公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎10.边长为的两个等边所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：过和中心作据平面的垂线，其交点就是四面体外接球球心．‎ 详解：如图，设分别是和的外心，是中点，连接，则平面与平面和平面都垂直，过作，过作平，两垂线交点为O，则O是四面体外接球球心，由于，则，，，．‎ 故选C．‎ 点睛：多面体外接球问题，关键是作出外接球球心，由外接球定义，只要过各面（三角形）的外心作此面的垂线，垂线交点就是外接球球心，‎ ‎11.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质以及前项和公式，逆向构造得，从而求出其比值.‎ ‎【详解】因为,‎ 故答案选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质应用，以及前项和公式的应用，属于中档题.‎ ‎12.已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最大，必须最大，最小.‎ 详解】如图：‎ 依题意得点在直线上，‎ 点关于直线对称的点,‎ 点在圆关于直线对称的圆上，‎ 则，设圆的圆心为，‎ 因为，，‎ 所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.‎ 因此，的最大值为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.‎ 二、填空题：（请将答案填在答题卡上）‎ ‎13.已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 如图所示，CE⊥AB,CD⊥β,所以CD⊥AB，所以AB⊥平面CDE,所以DE⊥AB，则∠CED是二面角的平面角，即∠CED =θ，在Rt△CED中，CE=4，CD=3，所以DE=，所以==.‎ 考点：二面角.‎ ‎14.已知圆上到直线（是实数）的距离为的点有 且仅有个，则直线斜率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，圆心到直线的距离大于2，则需，解得 ，故填. ‎ ‎15.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，则满足的点的轨迹的圆心为____________，面积为____________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由阿波罗尼斯圆求出点的轨迹的圆的方程，就可以得到圆心坐标和圆面积 ‎【详解】设 ‎，‎ 即 化简可得 故圆心坐标为 面积为 ‎【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆，即一动点到两定点的距离之比是个常数时其轨迹是圆，运用两点间的距离公式就可以求出圆的标准方程，从而得到结果 ‎16.已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列Bn＝T2n﹣Tn，判断数列的单调性，即可求出 ‎【详解】∵3Sn＝（n+m）an，‎ ‎∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，‎ ‎∴3Sn＝（n+2）an，①，‎ 当n≥2时，3Sn﹣1＝（n+1）an﹣1，②，‎ 由①﹣②可得3an＝（n+2）an﹣（n+1）an﹣1，‎ 即（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，，…，，，‎ 累乘可得an＝n（n+1），‎ 经检验a1＝2符合题意，‎ ‎∴an＝n（n+1），n∈N*，‎ ‎∵anbn＝n，‎ ‎∴bn，‎ 令Bn＝T2n﹣Tn，‎ 则Bn+1﹣Bn0，‎ ‎∴数列{Bn}为递增数列，‎ ‎∴Bn≥B1，‎ ‎∵存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，‎ ‎∴λ≥B1，‎ 故实数λ的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知圆心的坐标为（1，1），圆与轴和轴都相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）求与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎【答案】（1）圆的方程为；‎ ‎（2）与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的直线方程为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意知圆的半径为1，圆心坐标为（1,1），故圆C的方程为：；‎ ‎（2）根据题意可以设所求直线方程截距式为，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故，求出，所以直线方程为．‎ 试题解析：（1）根据题意和图易知圆的半径为1，有圆心坐标为（1,1）‎ 故圆C的方程为：；‎ ‎（2）根据题意可以设所求直线方程截距式为 整理得，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故，‎ 可得，所以直线方程为．‎ 考点：1、圆的方程；2、点到直线的距离；3、直线方程的求法．‎ ‎18.单调递增数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）aｎ＝2n；（2）4-（n+2）()n-1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）考察的公式得到，，整理得到，为等差数列，求通项；（2），利用错位相减法的基本方法，，从而解出。‎ 试题解析： ‎ ‎(1)，，‎ 当时，；‎ 当时，，即，又单调递增，‎ ‎ ，又也满足，‎ ‎（2），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得：‎ ‎，‎ 点睛：本题考察数列的基本方法，为基础题型。（1）需要掌握公式的应用，同时学会式子的化简；（2）需要学生对错位相减法非常熟悉，属于错位相减法的基本解题套路。‎ ‎19.已知圆C：x2＋y2－x＋2y＝0和直线l：x－y＋1＝0.‎ ‎(1)试判断直线l与圆C之间的位置关系，并证明你的判断；‎ ‎(2)求与圆C关于直线l对称的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出圆心与直线距离与半径比较，即可得出结论.‎ ‎(2)求出圆心C关于直线l对称点，即可求得圆C关于直线l对称的圆的方程.‎ ‎【详解】(1)直线l与圆C的位置关系是相离．‎ 证明如下：由整理，得，‎ 即圆C的圆心，半径.‎ 圆心到直线l：x－y＋1＝0的距离，d＞r，即直线l与圆C相离．‎ ‎(2)设圆心C关于直线l的对称点为C′(x，y)，则CC′的中点在直线l 上，且CC′⊥l，‎ ‎∴解得即对称圆的圆心为，对称圆的半径，方程为 ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点关于直线对称的应用.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；‎ ‎（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.‎ ‎【详解】（1） 连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴ .‎ ‎ 又∵平面，平面,∴平面；‎ ‎（2）取中点，连接，‎ ‎∵分别为的中点，∴，‎ ‎∵平面，∴平面，‎ ‎∴直线与平面所成角为，‎ ‎∵，，∴.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎21.已知数列的前项和为，已知，，.‎ ‎（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；‎ ‎（2）若对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得，则，所以 ‎，即，即可证明数列是等比数列，并求出通项公式；（2）由（1）可求出及的表达式，结合对任意都成立，可得到不等式恒成立，即可求出的范围.‎ ‎【详解】解：（1）由得，‎ 即，所以，即.‎ 则是首项为，公比为2的等比数列，‎ ‎.‎ ‎（2）解：由(1)知 ‎ ‎ 则 ‎ ‎ 由，得，‎ 代入后解得恒成立．‎ 因为函数在上单调递增，‎ 所以，解得，‎ 而当时，，成立，‎ 由，故.‎ ‎【点睛】与关系问题的求解思路：‎ 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.‎ ‎(1)利用转化为只含的关系式，再求解；‎ ‎(2)利用转化为只含的关系式，再求解.‎ ‎22.已知动点与两个定点，的距离的比为.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值；‎ ‎（3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .(2) .(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两点间距离公式，及动点与两个定点，的距离的比为，代入化简即可求得动点P的轨迹方程。‎ ‎（2）根据（1）中求的轨迹方程，判断出点在圆内，则当直线满足时MN的值最小，根据垂径定理即可求得最小值。‎ ‎（3）表示出圆Q的方程，根据两个圆有公共点的条件，可知两个圆的圆心距满足，解不等式即可求得t的取值范围。‎ ‎【详解】（1）由题意知：设 ‎ 则，即，‎ 所以，‎ 整理得.‎ 所以动点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）由（1）知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆.‎ 又因为，所以点在圆内，‎ 所以当线段长度最小时，，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 此时，线段的长为，‎ 所以，线段长度的最小值为.‎ ‎（3）因为点的坐标为，且圆与轴相切，所以圆的半径为，‎ 所以，圆的方程为.‎ 因为，圆与圆有公共点，‎ 又圆与圆的两圆心距离为 ‎，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得：.‎ 所以，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系及垂径定理的应用，圆与圆位置关系的应用，属于中档题。‎ ‎ ‎