上海市虹口区2019届高三上学期期末（一模）质量监控数学试题

上海市虹口区2019届高三上学期期末（一模）质量监控数学试题

虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学试卷 2018.12‎ 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分；第7-12题每空填对得5分.请直接将结果填写在答案纸相应题号的空格内.‎ ‎1.计算________.‎ ‎2.不等式的解集为________.‎ ‎3.设全集，若，则________.‎ ‎4.设常数，若函数的反函数的图像经过点，则__________.‎ ‎5.若一个球的表面积为，则它的体积为_________.‎ ‎6.函数的值域为__________.‎ ‎7.二项式的展开式的常数项为__________.‎ 当，即时，常数项为 ‎8.双曲线的焦点到其渐近线的距离为________.‎ ‎9.若复数（为虚数单位），则的模的最大值为__________.‎ ‎10.己知个实数依次构成等比数列，若从这个数中任取个，则它们的和为正数的概率为___________.‎ ‎11.如图，已知半圆的直径，是 等边三角形，若点是边（包含端点）上的 动点，点在弧上，且满足，则 的最小值为_________.‎ ‎（第11题图）‎ ‎12.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围 为________.‎ 二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.‎ ‎13.已知，则“”是“”的（ ）‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎14.关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是（ ）‎ A.若，则内一定存在直线平行于 B.若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于 C.若，，，则 D.若，则内所有直线垂直于 ‎15.已知函数，，若函数恰有两个 零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎16.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为，‎ 点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.‎ ‎（第17题图）‎ ‎（1）求该圆锥的侧面积与体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小.‎ ‎18.已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值及函数的值域；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19.某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界 ‎，，.‎ ‎（第19题图）‎ ‎（1）求的长及原棚户区建筑用地的面积；‎ ‎（2）因地理条件限制，边界，不能变更，而边界，可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积最大值.‎ ‎20.设椭圆，点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点，.‎ ‎ ‎ ‎（第20题图1） （第20题图2）‎ ‎（1）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎（2）如图1，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证：点，，共线；‎ ‎（3）如图2，点是直线上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，，求证，，成等差数列.‎ ‎21.对于个实数构成的集合，记.‎ 已知由个正整数构成的集合（）满足：对于 任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.‎ ‎（1）试求，的值；‎ ‎（2）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；‎ ‎（3）若，求证：的最小值为；并求取最小值时，的最大值.‎ 虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学试卷答案 一、填空题 ‎1.【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2.【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎3.【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎4【答案】‎ ‎【解析】的图像过，即 ‎5.【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎6.【答案】‎ ‎【解析】如下图，‎ ‎7.【答案】‎ ‎【解析】‎ 当，即时，常数项为 ‎8.【答案】‎ ‎【解析】焦点为，渐近线方程为，.‎ ‎9.【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎10.【答案】‎ ‎【解析】由题意得，这个实数为 ‎①所选个数均为正数：（种）；‎ ‎②所选个数一正一负：、、、、、，共（种）‎ ‎11.【答案】‎ ‎【解析】，‎ 由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，‎ 此时，‎ ‎12.【答案】‎ ‎【解析】如图，可知 由图可知，直线与曲线 恰有两个公共点，则或 二、选择题 ‎13.【答案】A ‎【解析】，此为小范围，后者为大范围，‎ 所以充分非必要条件 ‎14.【答案】D ‎【解析】A、B、C正确，D错误 ‎15. 【答案】B ‎【解析】令，‎ 转化为与有两个交点时，求实数的取值范围，‎ 如下图，时，与相切于点，‎ 当或时，与有两个交点 ‎16.【答案】C ‎【解析】由题意得，准线，，，‎ 过作，垂足为，则由抛物线定义可知，‎ 于是，‎ 在上为减函数，‎ 当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），‎ 计算可得直线的斜率为，从而，‎ ‎【说明】本题和2014浦东新区的一道二模题惊人的相似，原题如下：‎ ‎（2014浦东二模文理13）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，‎ 又点，则的最小值为__________.‎ ‎【解】【法一】设，利用抛物线的定义，‎ ‎【法二】由当取最小值时，最小，最大，通过计算直线与抛物线相切，可得最大时的斜率，从而此时，‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）由题意，得，，，‎ ‎，；‎ ‎（2）取的中点，连接，，则或其补角即为所求，‎ 易证平面，，，‎ ‎，‎ 于是，即异面直线与所成角的大小为.，‎ ‎18.【解析】（1）由解得，反之时，‎ ‎，符合题意，故 据此，，即值域为 ‎⑵在显然是单调增函数，，‎ 所以，故，‎ 令，则随的增大而增大，‎ 最大值为，所求范围是 ‎19.【解析】（1）‎ 解得：，，‎ 于是，‎ ‎（2）设，，由余弦定理得，‎ 而（当且仅当时，等号成立）‎ 得，‎ 所以，当且仅当，即为线段垂直平分线与弧交点时，面积最大，最大值为.‎ ‎20.【解析】（1），设，则，在椭圆上，‎ 所以所求轨迹方程为 ‎（2）当斜率存在时，设其方程为：，，‎ 将代入椭圆方程并化简得 其中，‎ 所以，点，，共线，‎ 而当斜率不存在时，由椭圆对称性，，重合，结论显然成立，综上点，，共线；‎ ‎（3）设，‎ 由（2）知，‎ 故，，成等差数列.‎ ‎21.【解析】【改编自2017年北京海淀区一模试题】‎ ‎（1），；‎ ‎（2）先证必要性 ‎，，又成等差数列，，，‎ 再证充分性 ‎，为正整数数列，‎ ‎，，，，...，，‎ ‎，‎ 又，，为等差数列；‎ ‎（3）先证明 假设存在，且为最小的正整数，‎ 由题意，则，‎ 又，当时，不能等于集合的任何一个子集的所有元素之和，因此假设不成立，即成立，‎ ‎，即，，‎ ‎，，‎ 若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素之和为，‎ 故，即，‎ 此时可构造集合，‎ 当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，‎ 于是，当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，‎ ‎……‎ 于是，当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，‎ 于是，当时，可以等于集合中若干个不同元素之和，‎ 于是，当时，可以等于集合 中若干个不同元素之和，‎ 集合满足题设，‎ 当取最小值时，的最大值为.‎