高中数学选修2-1课件2_3直线与双曲线

高中数学选修2-1课件2_3直线与双曲线

2.3 双曲线的简单几何性质 --- 直线与双曲线的位置关系 椭圆与直线的位置关系及判断方法 判断方法 ∆<0 ∆=0 ∆>0 （ 1 ）联立方程组 （ 2 ）消去一个未知数 （ 3 ） 复习 : 相离 相切 相交 直线与双曲线位置关系： X Y O 初步感知 分类 : 相离；相切；相交。 根据交点个数判定 X Y O X Y O 相离 :0 个交点 相交 : 一个交点 相交 : 两个交点 相切 : 一个交点 图象法 : 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 代数法 : 判断直线与双曲线位置关系的操作流程图 (b 2 -a 2 k 2 )x 2 -2kma 2 x+a 2 (m 2 +b 2 )=0 1. 二次项系数为 0 时， L 与双曲线的渐近线平行或重合。 重合： 无交点 ； 平行：有一个交点。 2. 二次项系数不为 0 时 , 上式为一元二次方程 , Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点） Δ=0 直线与双曲线相切 Δ<0 直线与双曲线相离 判断直线与双曲线位置关系的具体步骤 代数法 : ② 相切一点 : △=0 ③ 相 离 : △ ＜ 0 ① 相交两点 : △ ＞ 0 同侧： ＞ 0 异侧 : ＜ 0 一点 : 直线与渐近线平行 典型例题 : 特别注意 ： 一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 （一）直线与双曲线的位置关系 例 1 如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 没有公共点 ，求 k 的取值范围。 即此方程无解。 引申： （ 1 ） 如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 有 两个公共 点， 求 k 的取值范围。 直线与双曲线位置关系 ( 从“数”角度研究 ) 问 : k≠±1 有何几何意义？ （ 2 ） 如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 的右支有两个公共点，求 k 的取值范围。 此时等价于（ 1 ）式方程有两个不等的正根，则 左支 两支都有 引申： （ 3 ） 如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 只有一个公 共点，求 k 的值。 即此方程只有一解 直线与双曲线只有一个公共点有两种情况： ① 直线平行渐近线 ② 直线与双曲线相切 注意：极易疏忽 ! 1. 过点 P(1,1) 与双曲线 只有 共有 _______ 条 . 变题 : 将点 P(1,1) 改为 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0). 答案又是怎样的 ? 4 1. 两条 ;2. 三条 ;3. 两条 ;4. 零条 . 交点的 一个 直线 X Y O （ 1 ， 1 ） 。 练习 : （一）直线与双曲线的位置关系 2. 双曲线 x 2 -y 2 =1 的左焦点为 F, 点 P 为左支下半支上任意一点 ( 异于顶点 ), 则直线 PF 的斜率的变化范围是 _________ 练习 : （一）直线与双曲线的位置关系 3. 过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的 取值范围是 练习 : （一）直线与双曲线的位置关系 例 2. 以 P （ 1 ， 8 ） 为中点作双曲线为 y 2 -4x 2 =4 的一条弦 AB ，求直线 AB 的方程。 典型例题 : 解法一： （ 1 ） 当过 P 点的直线 AB 和 x 轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是 P 点。 （ 2 ） 当过 P 点的直线 AB 和 x 轴不垂直时，设其斜率为 k 。则直线 AB 的方程为 y-8=k （ x-1 ） （二）双曲线的弦中点问题 典型例题 : （二）双曲线的弦中点问题 典型例题 : （二）双曲线的弦中点问题 例 3 设两动点 A 、 B 分别在双曲线 的两条渐近线上滑动，且 |AB| ＝ 2 ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 . o x y B A M 典型例题 : （二）双曲线的弦中点问题 分析：只需证明线段 AB 、 CD 的中点重合即可。 证明 : (1) 若 L 有斜率，设 L 的方程为 :y=kx+b 典型例题 : （二）双曲线的弦中点问题 证明 : (1) 若 L 有斜率，设 L 的方程为 :y=kx+b 典型例题 : （二）双曲线的弦中点问题 练习题 : （二）双曲线的弦中点问题 经检验 : 此直线与双曲线不相交 , 不合题意 . 因此中点弦不存在 . 典型例题 : 解读 79 页例题 20 （三）双曲线的对称问题 ① 典型例题 : （三）双曲线的对称问题 ② 典型例题 : （三）双曲线的对称问题 解：将 y=ax+1 代入 3x 2 -y 2 =1 又设方程的两根为 x 1 ,x 2 ， A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 得 (3-a 2 )x 2 -2ax-2=0, 它有两个实根，必须△ >0, ∵ 原点 O （ 0 ， 0 ）在以 AB 为直径的圆上， 例 7 、直线 y-ax-1=0 和曲线 3x 2 -y 2 =1 相交，交点为 A 、 B ，当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆经过坐标原点。 典型例题 : 同步导学 34 页 12 题 垂直与对称问题 解：将 y=ax+1 代入 3x 2 -y 2 =1 又设方程的两根为 x 1 ,x 2 ， A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 得 (3-a 2 )x 2 -2ax-2=0, 它有两个实根，必须△ >0, ∵ 原点 O （ 0 ， 0 ）在以 AB 为直径的圆上， ∴OA⊥OB ，即 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0, 即 x 1 x 2 +(ax 1 +1)(ax 2 +1)=0, ∴(a 2 +1) x 1 x 2 +a(x 1 +x 2 )+1=0, 解得 a=±1. （三）双曲线的垂直和对称问题 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x 2 -y 2 =1 相交于 A 、 B 两点 . 是否存在这样的实数 a, 使 A 、 B 关于 y=2x 对称？ 若存在，求 a; 若不存在，说明理由 . 练习题 : （三）双曲线的对称问题 典型例题 : （四）双曲线的范围问题 典型例题 : （四）双曲线的范围问题 典型例题 : （四）双曲线的范围问题 例 9 过双曲线 的右焦点 F 作倾斜角为 60 ° 的直线 l ，若直线 l 与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围 . o F x y l e ∈ [2 ，＋∞） 典型例题 : （四）双曲线的范围问题 练习 : 参考解读 78 页 19 题 （四）双曲线的范围问题 练习 : 再谈离心率 （四）双曲线的范围问题 # 、设双曲线 C ： 与直线 相交于两个不同的点 A 、 B 。 （ 1 ）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围。 （ 2 ）设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 求 a 的值。 练习 : 解读 118 页 17 题 （四）双曲线的范围问题 1 . 直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法； 2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标， 利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算， 使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。 3. 涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问 题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别 式大于零列不等式求解。 小结： 拓展延伸