高中数学 2_3_2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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高中数学 2_3_2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

第2章 ‎2.3.2‎ 第2课时 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l的条数为(  )‎ A.4            B.3‎ C.2 D.1‎ 解析: 数形结合知,过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切,有两条直线与渐近线平行,这三条直线与双曲线只有一个公共点.‎ 答案: B ‎2.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析: 设双曲线方程为-=1(a,b>0),不妨设一个焦点为F(c,0),虚轴端点为B(0,b),则kFB=-.‎ 又渐近线的斜率为±,‎ 所以由直线垂直关系得-·=-1(-显然不符合),‎ 即b2=ac,又c2-a2=b2,故c2-a2=ac,‎ 两边同除以a2,得方程e2-e-1=0,‎ 解得e=或e=(舍).‎ 答案: D ‎3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是(  )‎ A.(1,2]          B.(1,2)‎ C.[2,+∞) D.(2,+∞)‎ 解析: 根据双曲线的性质,过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点,说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°=,即≥,则 =≥,故有e2≥4,e≥2.故选C.‎ 答案: C ‎4.P是双曲线-=1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 解析: 设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=6+3=9.‎ 答案: D 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为________.‎ 解析: ∵∠AOB=120°⇒∠AOF=60°⇒∠AFO=30°⇒c=‎2a,∴e==2.‎ 答案: 2‎ ‎6.已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是________.‎ 解析: 由题意知F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为y=±x,‎ 当过F点的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图形,通过图形可知,-≤k≤.‎ 答案:  三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A、B两点,试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.‎ 解析: ∵a=1,b=,c=2,‎ 又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan 45°=1,‎ ‎∴l的方程为y=x-2,‎ 由消去y并整理得2x2+4x-7=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∵x1·x2=-<0,‎ ‎∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上.‎ ‎∵x1+x2=-2,x1·x2=-,‎ ‎∴|AB|=|x1-x2|=· ‎=·=6.‎ ‎8.已知双曲线x2-=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.‎ 解析: ①当k=0时,显然不成立.‎ ‎②当k≠0时,在双曲线上任意取两点A,B,设AB的中点M的坐标为M(x0,y0),由l⊥AB,‎ 可设直线AB的方程为y=-x+b,‎ 将其代入3x2-y2=3中,‎ 得(3k2-1)x2+2kbx-(b2+3)k2=0.‎ 显然3k2-1≠0,即k2b2+3k2-1>0.①‎ 由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为 因为M平分AB,所以M(x0,y0)在直线l上,‎ 从而有=+4,‎ 即k2b=3k2-1,   ④‎ 将④代入①得k2b2+k2b>0,∴b>0或b<-1,‎ 即>0或<-1,‎ ‎∴|k|>或|k|<,且k≠0,‎ ‎∴k>或k<-或-4,‎ ‎∴圆C的圆心轨迹是以F1(-,0),F(,0)为焦点的双曲线,其方程为-y2=1.‎ ‎(2)由图知,||MP|-|FP||≤|MF|,‎ ‎∴当M,P,F三点共线,且点P在MF延长线上时,|MP|-|FP|取得最大值|MF|,且|MF|==2.‎ 直线MF的方程为y=-2x+2,与双曲线方程联立得 整理得15x2-32x+84=0.‎ 解得x1=(舍去),x2=.‎ 此时y=.‎ ‎∴当||MP|-|FP||取得最大值2时,点P的坐标为.‎
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