- 2021-04-14 发布 |
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文档介绍
2019年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(参考答案)
秘密★启用前 2019年普通高等学校统一招生考试终极押题卷(全国新课标Ⅰ) 理科数学参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12ZxxkCom 答案 C B C B A B C A B C D C 第Ⅱ卷 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 1 14.2 15. 16. 三、解答题(共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。) (一)必考题:共60分。 17.(本小题满分12分) 已知数列是等差数列,,,数列的前项和为,且. (Ⅰ)求数列、的通项公式; (Ⅱ)记,若数列的前项和为,证明:. 【答案】:见解析 【解析】:(1)由已知得,解得,所以…………………………2分 当时,, (1)…………………………………………3分 ,当时, (2)………………………5分 由(1),(2)得…………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以……………………………………………………8分 ……………………………………………………………10分 ……………………………………………………………………………………………………11分 …………………………………………………………………………………………12分 【点评】:本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定,一般数列的前项和与的关系等基础知识.同时考查裂项相消法求数列的前n项和的探究方法及整体思想,运算求解能力等. 18.(本小题满分12分) 正方体的棱长为1,是边的中点,点在正方体内部或正方体的面上,且满足:面。 (Ⅰ)求动点的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积; (Ⅱ)设直线与动点的轨迹所在平面所成的角记为,求. 【答案】:见解析 【解析】:解:(Ⅰ)如图,在正方体内作出截面EFGHIJ,(或画出平面图形)…………4分 它的形状是一个边长为正六边形…………………………5分 可以计算出它的面积为……………………………………6分 数学试题 第7页(共8页) 数学试题 第8页(共8页) (Ⅱ)法一:如图,连交于点,连, 所求面//面, 所求角=与面所成的角, 面面,线在面的投影为, 即为所求的角…………………………………………11分 在中,由余弦定理知 所以,………………………………………………12分 法二:以为轴,为轴,为轴建立直角坐标系, 则…………………………………………………………8分 可求出平面的法向量为,又………………………………10分 所以,……………………………………………………………………………………12分 【点评】:本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识.同时考查空间向量的应用,考查空间想象能力和运算求解能力. 19.(本小题满分12分) 为了迎接2019年高考,了解学生的成绩状况,在一次省质检中,某省教育部门随机抽取了500名学生的数学考试成绩,统计如下表所示: 成绩 人数 30 120 210 100 40 (1)计算各组成绩的频率,并填写在表中; 成绩 人数 30 120 210 100 40 频率 (2)已知本次质检数学测试的成绩,其中近似为样本的平均数,近似为样本方差,若该省有10万考生,试估计数学成绩在的人数;(以各组区间的中点值代表该组的取值) (3)将频率视为概率,若从该省所有考生中随机抽取4人,记这4人中成绩在的人数为,求的分布列以及数学期望. 参考数据:若,则, ,. 【答案】:见解析 【解析】: (1)填表如下: 成绩 人数 30 120 210 100 40 频率 0.06 0.24 0.42 0.2 0.08 ………………………………………………………………………………………………………………2分 (2)依题意,, 故, 故,故, 故所求人数为(人). ……………………………………………6分 数学试题 第7页(共8页) 数学试题 第8页(共8页) (3)依题意,任取1人,成绩在的概率为,, ,,,, ,…………………………………10分 所以的分布列为 0 1 2 3 4 [:] [:] ………………………………………………………………………………………………………………11分 故.………………………………………………………………………………………12分 20.(本小题满分12分) 已知椭圆的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线截椭圆形成的弦长为,且椭圆的离心率为,过点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若点,且,则当取得最小值时,求直线的方程. 【答案】:见解析 【解析】: (1)联立解得,故. 又,,解得,,故椭圆的标准方程为.…………………….….………………………………4分 (2)设,,故.当直线垂直于轴时, ,,且,此时.………6分 当直线不垂直于轴时,设直线,联立 整理得,所以,,………8分 故 .综上所述,的最小值为,此时直线的方程为. ……………………………………………………………………………………………………………12分 21.(本小题满分12分) 已知函数有两个不同的零点 (Ⅰ)求的取值范围; (Ⅱ)设是的两个零点,证明: 【答案】:见解析 【解析】:(Ⅰ)函数的定义域为, …… 1分 ① 当时,易得,则在上单调递减,则至多有一个零点,不符合题意,舍去。 ……………………………………………………… ……………………………………. 2分 ② 当时,令得,则列表如下: x a + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以 只需 ………………………………………………………………………………………………… 4分 设 因为则在上单调递增。 又因为所以时;时。 所以 综上时函数有两个零点 …………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知有两个不同的零点,所以,且当时是增函数 数学试题 第7页(共8页) 数学试题 第8页(共8页) 不妨设则设 ………………………………8分 则 ……… 10分 时,所以单调递增 …………………………………………………………11分 又所以,所以 因为,所以 因为所以 因为,所以在上单调递减 ,所以 所以 ………………………………………………………………………………………………12分 (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程; (2)若,是曲线上两点,求的值. 【答案】:见解析 【解析】:(1)将曲线的参数方程化为普通方程为, 即,由,,可得曲线的极坐标方程为,因为曲线经过点,所以, 解得(负值舍去),所以曲线的极坐标方程为.…………………………5分 (2)因为,在曲线上,所以,, 所以. …………………………………………………………………………………………………10分 [选修4-5:不等式选讲](10分) 23. (本小题满分10分) 已知函数. (1)解不等式:; (2)若关于x的不等式在上无解,求实数的取值范围. 【答案】:见解析 【解析】:(1)依题意,, 当时,原式化为,即,解得; 当时,原式化为,即,解得; 当时,原式化为,即,无解. 综上所述,所求不等式的解集为.…………………………………………………………………5分 (2)由题意可知,时,恒成立. 当时,,得; 当时,,得.综上所述,实数m的取值范围为.…………………………………………………………………10分 数学试题 第7页(共8页) 数学试题 第8页(共8页)查看更多