北京市建华实验学校2020届高三阶段测试数学试题

北京市建华实验学校2020届高三阶段测试数学试题

高三年级数学检测练习 一、单选题 ‎1.已知，，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合,再根据得到关于的不等式，解不等式即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 因为，所以不是空集.‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出再求出得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查共轭复数求法，考查复数的乘法运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3.已知椭圆的离心率为，则下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得化简即得解.‎ ‎【详解】由题得 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.某几何体由正方体去掉一四棱柱所得，其三视图如图，如果每个网格为边长为的正方形，那么该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．‎ ‎【详解】由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，‎ 则该几何体的体积．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎5.已知为第二象限角且，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求出，即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 因为为第二象限角，‎ 所以,‎ 因为，‎ 所以 所以.‎ 所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数求值，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.设和的夹角为，是为锐角的（ ）条件 A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明是为锐角的非充分条件，再证明是为锐角的必要条件，即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 所以 所以向量和的夹角为锐角或者零度角.‎ 所以是为锐角的非充分条件.‎ 当为锐角时，‎ 由前面可以得到.‎ 所以是为锐角的必要条件.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查充分必要条件的证明，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.半衰期为衡量放射性物质变质速度的一个概念，其定义为当放射性物质的质量减少到原来的一半时所用的时间．以为例，其半衰期约为年，那么如原有的在年后还剩下．现从某废弃的核反应堆中取出一块含有的石墨块，科学家预测其在年后能衰变到可接受的放射性强度（即少到可接受的程度），那么如果取出含有的石墨块，（ ）年后该石墨块的放射性能衰变到可接受的放射性强度．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出放射性物质的衰变率，再求出放射性物质衰变的可以接受的质量为，再解不等式即得解.‎ ‎【详解】设放射性物质的衰变率为.‎ 放射性物质衰变的可以接受的质量为，‎ 设年后该石墨块的放射性能衰变到可接受的放射性强度．‎ 则，‎ 所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的应用，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.甲乙两人进行乒乓球比赛，两人打到平，之后的比赛要每球交替发球权且要一人净胜两球才能取胜，已知甲发球甲获胜的概率为，乙发球甲获胜的概率为，则下列命题正确的个数为（ ）‎ ‎（1）若，两人能在两球后结束比赛的概率与有关 ‎（2）若，两人能在两球后结束比赛的概率与有关 ‎（3）第二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率相同 ‎（4）第二球分出胜负的概率与在第球没有分出胜负的情况下进而第球分出胜负的概率相同 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用对立事件和独立事件的概率研究（1）（2）得解，用条件概率、独立事件的概率研究（3）（4）得解.‎ ‎【详解】（1）先求连续两球，甲乙各赢一个的概率，不妨设甲先发球，此时可能是甲赢乙赢或者乙赢甲赢，所以两球各赢一个的概率为，所以若，设打了个球，则两人不能结束比赛的概率为，则两人能在两球后结束比赛的概率为，与无关，所以该命题错误；‎ ‎（2）同（1），设打了个球，则两人能在两球后结束比赛的概率为，与无关，所以该命题错误；‎ ‎（3）不妨设甲先发球，第二球分出胜负即两球要么是甲赢，要么是乙赢，所以第二球分出胜负的概率为，在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率是条件概率，第二球没有分出胜负，说明前两球各赢一个球，其概率为，在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率为，所以第二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率相同，所以该命题是正确的；‎ ‎（4）不妨设甲先发球，第二球分出胜负的概率为，在第球没有分出胜负的概率为 ‎，所以第二球分出胜负的概率与在第球没有分出胜负的情况下进而第球分出胜负的概率相同,所以该命题正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率和条件概率的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎9.函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域的求法：（为偶数）、．‎ ‎【详解】由题意得 ‎【点睛】常见函数定义域的求法：‎ ‎（为偶数）‎ ‎10.曲线与直线有两个交点，则的取值范围______．‎ ‎【答案】且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线和曲线方程得到，再利用判别式解答即可.‎ ‎【详解】把代入双曲线的方程得，‎ 当时，直线和曲线相交于一个交点，不满足题意，所以舍去.‎ 当时，‎ 所以.‎ 所以的取值范围为且.‎ 故答案为：且.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎11.设数列的前项和为，，则数列的通项公式为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求出，综合即得数列的通项公式.‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，，适合.‎ 所以数列的通项公式为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用和的函数关系求数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.设，则的奇次项的系数和为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，先求出，，两式相减即得解.‎ ‎【详解】设，‎ 当时，，（1）‎ 当时，，（2）‎ ‎（1）-（2）得.‎ 所以的奇次项的系数和为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式的系数和问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎13.已知，，，则下列命题一定正确的是______．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）设，则；‎ ‎（3）设，若，则与夹角的正弦值与与夹角的正弦值相等 ‎【答案】（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线和平面的位置关系逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】（1）两个平面的位置关系是任意的，所以该命题错误；‎ ‎（2）设，则或者异面；所以该命题错误；‎ ‎（3）设，若，则与夹角的正弦值与与夹角的正弦值相等.‎ 如图，，过点作,垂足为，连接.因为，所以，所以平面,所以,所以就是与夹角或者补角，就是与夹角，所以与夹角的正弦值与与夹角的正弦值相等，所以该命题正确.‎ 故答案为：（3）‎ ‎【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率与该黑体的绝对温度的次方成正比，即，为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，为纵坐标，以为横坐标，则能够近似得到______（曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式______．‎ ‎【答案】 (1). 射线 (2). 为纵坐标，以为横坐标.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于，所以曲线是一条射线；（2）由于曲线的形状类似，所以曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：为纵坐标，以为横坐标.‎ ‎【详解】（1）因为，为玻尔兹曼常数．为纵坐标，以为横坐标，因为，所以，所以曲线是一条射线；‎ ‎（2）由于曲线的形状类似，根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：为纵坐标，以为横坐标，故答案为：为纵坐标，以为横坐标.‎ 故答案为：（1）射线；（2）为纵坐标，以为横坐标.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.‎ 三、解答题 ‎15.已知的的对边分别为，且三边满足下列关系．‎ ‎（1）求的形状；‎ ‎（2）若为锐角三角形，则求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）等腰三角形；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理和正弦定理化简已知得即得三角形的形状；‎ ‎（2）先求出,再求出的范围，换元求函数的取值范围得解.‎ ‎【详解】（1）由题得,‎ 所以 所以.‎ 所以是等腰三角形.‎ ‎（2）由题得 ‎,‎ 因为三角形是锐角三角形，所以.‎ 所以,‎ 设 当时，；当时，.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；‎ ‎(Ⅱ) ；‎ ‎(Ⅲ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；‎ ‎(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；‎ ‎(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，‎ 由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，‎ 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.‎ ‎(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 易知：，‎ 由可得点F的坐标为，‎ 由可得，‎ 设平面AEF的法向量为：，则 ‎，‎ 据此可得平面AEF的一个法向量为：，‎ 很明显平面AEP的一个法向量为，‎ ‎，‎ 二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)易知，由可得，‎ 则，‎ 注意到平面AEF的一个法向量为：，‎ 其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.‎ ‎17.2017年冬，北京雾霾天数明显减少，据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过天，重度污染的天数仅有天，主要原因是政府对治理雾霾采取有效措施．如：（1）减少机动车尾气排放（2）实施煤改电或煤改气工程（3）关停了大量的排污企业（4）部分企业季节性停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天然气的使用从某乡镇随机抽取户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据均在区间内，表如下 分组 频数 频率 ‎14‎ ‎0.14‎ ‎55‎ ‎0.55‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎2‎ ‎0.02‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ ‎（1）求和值，若同组内的每个数据用该组区间中点值代替，估计该乡镇每户平均用气量；‎ ‎（2）从样本调查的用气量和的用户组中任选2户，进行燃气使用满意度调查，求2户用气量处于不同区间的概率．‎ ‎【答案】（1），平均数为2.05；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据即得的值，再利用频率公式求的值，再利用平均数公式求解即可；‎ ‎（2）设，组内数据为，，，，组内数据为：，，从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户，利用列举法能求出这2户用气量处于不同区间的概率．‎ ‎【详解】（1）由题得. .‎ 同组内的每个数据用该组区间中点值代替，估计该乡镇每户平均用气量为 ‎.‎ ‎（2）设，组内数据为，，，，组内数据为：，，‎ 从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户的基本事件空间为 ‎，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，‎ 设随机抽取2户不在同一组为事件，‎ 则中共有：，，，，，，，‎ 共有8种情况这2户用气量处于不同区间的概率．‎ ‎【点睛】本题考查平均值、概率的求法，考查频率分布表、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎18.设 ‎（1）时，求过的切线；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）的零点个数少于个，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）切线方程；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出切线的斜率即得解；‎ ‎（2）先求出导数，再对分类讨论即得解；‎ ‎（3）先分离参数得到，再构造函数，研究函数的单调性和图象即得解.‎ ‎【详解】（1）时，，‎ 所以，因为，‎ 所以切线方程为.‎ 所以切线方程为.‎ ‎（2）.‎ 所以.‎ 当时，，此时，函数在R上单调递增；‎ 当时，，，‎ 所以函数上单调递增，在单调递减.‎ ‎（3），‎ 因为时，即不是函数的零点，‎ 所以，设，‎ 所以，‎ 所以函数在单调递增，在，单调递减，‎ 当从左边趋近时，，当从右边趋近时，，‎ 当时，，当时，，‎ 又，画出的模拟图像如下所示：‎ 所以当时，直线和函数的图象的零点个数小于3个.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.已知椭圆的方程为，圆的方程为，过椭圆的右焦点的直线的斜率为与椭圆交于两点与圆交于两点.‎ ‎（1）求的坐标和取值范围；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的坐标为， ； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出，即得点的标，再求出，即得的取值范围；‎ ‎（2）先求出的表达式，再利用导数求函数的取值范围得解.‎ ‎【详解】（1）由题得所以椭圆的右焦点的坐标为.‎ 由题得直线的方程为，即.‎ 圆心到直线的距离为,所以 因为，所以弦长 ‎（2）把直线方程代入椭圆的方程整理得，‎ 由弦长公式得.‎ 圆心到直线的距离为,所以 所以 设，所以，‎ 所以函数定义域内单调递增，‎ 所以. 当时，‎ 所以取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎20.数列中，‎ ‎（1）时，求；‎ ‎（2）证明：若存在，其中，设的取值范围设为，；‎ ‎（3）若，求的取值个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推的方法求出；‎ ‎（2）分析得到，解不等式即得解；‎ ‎（3）分析得到，由题得到，得到，解不等式即得解.‎ ‎【详解】（1）时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）若，则，‎ 又，故，（否则），‎ 依次类推，得到，‎ 所以，所以.‎ ‎（3）因为，所以可以设其中 所以其中，‎ 依次类推，有，‎ 则其中，‎ 所以，‎ 所以 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以的解的个数为.‎ ‎【点睛】本题主要考查递推数列的应用，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎