【数学】2019届一轮复习人教A版与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法学案

【数学】2019届一轮复习人教A版与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法学案

与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法 本文在证明性质中用到了直线方程的三种设法：设斜率法，设斜率倒数法和参数法，有些证明还用到几何法和代数法．‎ ‎ 定理及证明 图形 一、 抛物线的焦点弦的点的坐标的性质 ‎ 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），‎ 且，，则：，．‎ 两种证法比较：‎ 证法一：斜率设法（）需要讨论，比较复杂；‎ 证法二：斜率倒数（）设法比较简单．‎ 证法一：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ，显然．‎ 由得: ，（这种设法下，要注意把代入直线，这样消元比较简单，可以叫做以曲代直，即把曲线代入直线） ‎ ‎ ∴，．‎ 当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，‎ ‎，∴，同上也有：．‎ 证法二：因为焦点坐标为F(,0),当AB平行于x轴时，不合题意，所以可设直线AB的方程为： ，‎ 联立得：，‎ 即，‎ ‎ ∴，．‎ 二、抛物线焦点弦长公式 ‎　若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）．‎ 证法一：设直线的点斜式，要讨论 ‎（1）设，，设直线AB:‎ 由得:, ‎ ‎ ∴，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 易验证，结论对斜率不存在时也成立．‎ 注意：AB为通径时，，的值最大，最小．‎ 证法二：设直线的参数方程 因为焦点坐标为F(,0),所以可设直线AB的参数方程为： ，‎ 代入，得，‎ 即，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以．‎ 证法三：利用抛物线的定义，仍然用证法一的设法，没有斜率要单独说明 三、抛物线焦半径长的倒数和是定值 直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值．‎ 证法一：先利用定义 设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=，且由结论一知：．‎ 则： ‎ ‎ =（常数）‎ 证法二：利用直线参数方程 因为焦点坐标为F(,0),所以可设直线AB的参数方程为： ，‎ 代入，得，‎ 即，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以 ‎． ‎ 本题有几何解释，读者思考（提示：用比例线段）‎ 四、原点处的三点共线 过任作直线交抛物线于，‎ 过分别作准线的垂线，垂足为，‎ 为坐标原点，则三点共线，三点共线．‎ 证法一：(几何法)连结交轴于点，由已知，由抛物线定义于是，所以，即为的中点，即与重合.所以三点共线，‎ 同理可证三点共线．‎ 证法二：(代数法)设直线的方程为 ，‎ 联立得，显然，‎ 设，则，又，‎ 所以所以，‎ 所以三点共线，‎ 同理可证三点共线．‎ 五、点处的角平分线：‎ 过任作直线交抛物线于，‎ 点为定点， 则．‎ 证法一：(几何法) 过分别作准线的垂线，‎ 垂足为， 延长交的延长线于 ，‎ 由及 得：，‎ 所以，又， ‎ 所以 又 所以．‎ 证法二：(代数法)设的方程为：，联立得，显然，设，‎ 则，又，所以 ‎，所以，所以的倾斜角互补，所以．‎ 六、点 处的垂线：‎ 过任作直线交抛物线于，‎ 过分别作准线的垂线，垂足为，‎ 则．‎ 证法一：(代数法)设的方程为：，‎ 联立得，‎ 显然，设，‎ 则，‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ 证法二：(几何法)‎ 由定义，，‎ ‎∴，‎ ‎，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，∴‎