十年高考物理真题分类汇编专题20综合计算题含解斩
专题 20综合计算题
1.(2019•海南卷•T13)如图，用不可伸长轻绳将物块a悬挂在O点：初始时，轻绳处于水平拉直状态。现将a由静止释放，当物块a下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，碰撞后b滑行的最大距离为s。已知b的质量是a的3倍。b与水平面间的动摩擦因数为µ，重力加速度大小为g。求
(1)碰撞后瞬间物块b速度的大小；
(2)轻绳的长度。
【答案】(1) (2) 4μs
【解析】
(1)设a的质量为m，则b的质量为3m。
碰撞后b滑行过程，根据动能定理得 。
解得，碰撞后瞬间物块b速度的大小
(2)对于a、b碰撞过程，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律得mv0=mva+3mvb。
根据机械能守恒得。
设轻绳的长度为L，对于a下摆的过程，根据机械能守恒得。
联立解得L=4μs。
2.(2019•全国Ⅲ卷•T12)静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=l.0kg，mB=4.0kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为u=0.20。重力加速度取g=10m/s²。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
222
(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
【答案】(1)vA=4.0m/s，vB=1.0m/s；(2)A先停止； 0.50m；(3)0.91m；
【解析】
首先需要理解弹簧释放后瞬间的过程内A、B组成的系统动量守恒，再结合能量关系求解出A、B各自的速度大小；很容易判定A、B都会做匀减速直线运动，并且易知是B先停下，至于A是否已经到达墙处，则需要根据计算确定，结合几何关系可算出第二问结果；再判断A向左运动停下来之前是否与B发生碰撞，也需要通过计算确定，结合空间关系，列式求解即可。
(1)设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有
0=mAvA-mBvB①
②
联立①②式并代入题给数据得
vA=4.0m/s，vB=1.0m/s
(2)A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB。，则有
④
⑤
⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程SA都可表示为
sA=vAt–⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
sA=1.75m，sB=0.25m⑧
222
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25m处。B位于出发点左边0.25m处，两物块之间的距离s为
s=025m+0.25m=0.50m⑨
(3)t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为vA′，由动能定理有
⑩
联立③⑧⑩式并代入题给数据得
故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA′′以和vB′′，由动量守恒定律与机械能守恒定律有
联立式并代入题给数据得
这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动。设碰撞后A向右运动距离为sA′时停止，B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式
由④式及题给数据得
sA′小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离
3.(2019•北京卷•T12)雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
(1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
____
222
(2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a.设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
____
b.示意图中画出了半径为r1、r2(r1>r2)的雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中_________对应半径为r1的雨滴(选填①、②)；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v–t图线。
(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f ∝v2(提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0)。
________
【答案】(1). (2). (3). ①
(4). (5). 详见解析
【解析】
【分析】
(1)对雨滴由动能定理解得：雨滴下落h的过程中克服阻做的功；
(2) 雨滴的加速度为0时速度最大解答；
(3)由动量定理证明
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(1)对雨滴由动能定理得：
解得：；
(2)a.半径为r的雨滴体积为：，其质量为
当雨滴的重力与阻力相等时速度最大，设最大速度为，则有：
其中
联立以上各式解得：
由可知，雨滴半径越大，最大速度越大，所以①对应半径为的雨滴，
不计空气阻力，雨滴做自由落体运动，图线如图：
；
(3)设在极短时间内，空气分子与雨滴碰撞，设空气分子的速率为U，
在内，空气分子个数为：，其质量为
设向下为正方向，对圆盘下方空气分子由动量定理有：
对圆盘上方空气分子由动量定理有：
圆盘受到的空气阻力为：
联立解得：。
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4.(2019•全国Ⅰ卷•T12)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图(a)所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图(b)所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
(1)求物块B的质量；
(2)在图(b)所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
(3)已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前面动摩擦因数的比值。
【答案】(1)3m (2) (3)
【解析】
(1)物块A和物块B发生碰撞后一瞬间的速度分别为、，弹性碰撞瞬间，动量守恒，机械能守恒，即：
联立方程解得：；
根据v-t图象可知，
解得：
(2)设斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得
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当物块A沿斜面下滑时：，由v-t图象知：
当物体A沿斜面上滑时：，由v-t图象知：
解得：；
又因下滑位移
则碰后A反弹，沿斜面上滑的最大位移为：
其中h为P点离水平面得高度，即
解得
故在图(b)描述的整个过程中，物块A克服摩擦力做的总功为：
(3)设物块B在水平面上最远的滑行距离为S，设原来的摩擦因为为µ
则以A和B组成的系统，根据能量守恒定律有：
设改变后的摩擦因数为µ’，然后将A从P点释放，A恰好能与B再次碰上，即A恰好滑到物块B位置时，速度减为零，以A为研究对象，根据能量守恒定律得：
又据(2)的结论可知：，得：
联立解得，改变前与改变后的摩擦因素之比为：。
5.(2018·江苏卷)如图所示，钉子A、B相距5l
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，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B.质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l.用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动.忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：
(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M:m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T.
【答案】(1) (2) (3)()
【解析】(1)设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2
F1sin53°=F2cos53° F+mg=F1cos53°+ F2sin53°且F1=Mg
解得
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中
小球上升高度h1=3lsin53°，物块下降高度h2=2l
机械能守恒定律mgh1=Mgh2
解得
(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点.设此时AC方向的加速度大小为a，重物受到的拉力为T
牛顿运动定律Mg–T=Ma 小球受AC的拉力T′=T
牛顿运动定律T′–mgcos53°=ma
解得()
6.(2018·北京卷)2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10 m，C是半径R=20 m圆弧的最低点，质量m=60
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kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5 m/s2，到达B点时速度vB=30 m/s。取重力加速度g=10 m/s2。
(1)求长直助滑道AB的长度L；
(2)求运动员在AB段所受合外力的冲量的I大小；
(3)若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小。
【答案】(1)(2)(3)3 900 N
【解析】(1)已知AB段的初末速度，则利用运动学公式可以求解斜面的长度，即
可解得:
(2)根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的该变量所以
(3)小球在最低点的受力如图所示
由牛顿第二定律可得：
从B运动到C由动能定理可知：
解得;
故本题答案是：(1) (2) (3)
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点睛：本题考查了动能定理和圆周运动，会利用动能定理求解最低点的速度，并利用牛顿第二定律求解最低点受到的支持力大小。
7.(2018·全国III卷·T12)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα＝，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
【答案】(1) (2)(3)
【解析】(1)设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有① ②
设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得③
由①②③式和题给数据得④ ⑤
(2)设小球到达A点的速度大小为v1，作CD⊥PA，交PA于D点，
由几何关系得：DA＝Rsinα⑥ CD=R(1+cosα)⑦
由动能定理有：⑧
由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为：⑨
(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。
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设小球在竖直方向的初速度为v⊥，从C点落至水平轨道上所用时间为t。
由运动学公式有：⑩ ⑪
由⑤⑦⑩⑪式和题给数据得：⑫
8.(2018·新课标I卷)一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，求
(1)烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
(2)爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度
【答案】(1) ；(2)
【解析】本题主要考查机械能、匀变速直线运动规律、动量守恒定律、能量守恒定律及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决实际问题的的能力。
(1)设烟花弹上升的初速度为，由题给条件有
①
设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为，由运动学公式有
②
联立①②式得
③
(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为，由机械能守恒定律有
④
火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设炸后瞬间其速度分别为和。由题给条件和动量守恒定律有
⑤
⑥
由⑥式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹上部分继续上升的高度为，由机械能守恒定律有
⑦
联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹上部分距地面的最大高度为
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⑧
9.(2016·海南卷)水平地面上有质量分别为m和4m的物A和B，两者与地面的动摩擦因数均为μ。细绳的一端固定，另一端跨过轻质动滑轮与A相连，动滑轮与B相连，如图所示。初始时，绳出于水平拉直状态。若物块A在水平向右的恒力F作用下向右移动了距离s，重力加速度大小为g。求：
(1)物块B克服摩擦力所做的功；
(2)物块A、B的加速度大小。
【答案】(1)2μmgs (2)
【解析】(1)物块A移动了距离s，则物块B移动的距离为①
物块B受到的摩擦力大小为f=4μmg②
物块B克服摩擦力所做的功为W=fs1=2μmgs③
(2)设物块A、B的加速度大小分别为aA、aB，绳中张力为T0由牛顿第二定律得
F-µmg-T＝maA④ 2T-4µmg＝4maB⑤
由A和B的位移关系得aA＝2aB⑥
联立④⑤⑥得aA＝，aB＝。
【考点定位】牛顿第二定律、功、匀变速直线运动
【名师点睛】采用整体法和隔离法对物体进行受力分析，抓住两物体之间的内在联系，绳中张力大小相等、加速度大小相等，根据牛顿第二定律列式求解即可。解决本题的关键还是抓住联系力和运动的桥梁加速度。
10.(2011·北京卷)如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球(小球的大小可以忽略)。
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(1)在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止。画出此时小球的受力图，并求力F的大小；
(2)由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。不计空气阻力。
【答案】(1)如图所示，F=mgtanα
(2)、，方向竖直向上
【解析】(1)受力图见图根据平衡条件，的拉力大小F=mgtanα
(2)运动中只有重力做功，系统机械能守恒
则通过最低点时，小球的速度大小
根据牛顿第二定律
解得轻绳对小球的拉力，方向竖直向上
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【考点定位】共点力平衡条件、机械能守恒定律，牛顿第二定律
11.(2016·四川卷)中国科学院2015年10月宣布中国将在2020年开始建造世界上最大的粒子加速器。加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。
如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s，进入漂移管E时速度为1×107 m/s，电源频率为1×107 Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的1/2。质子的荷质比取1×108 C/kg。求：
(1)漂移管B的长度；
(2)相邻漂移管间的加速电压。
【答案】(1)0.4 m(2)
【解析】(1)设质子进入漂移管B的速度为，电源频率、周期分别为f、T，漂移管A的长度为L，则 ①
②
联立①②式并代入数据得③
(2)设质子进入漂移管E的速度为，相邻漂移管间的加速电压为U，电场对质子所做的功为W，质子从漂移管B运动到E电场做功W＇，质子的电荷量为q、质量为m，则
④
⑤
⑥
联立④⑤⑥式并代入数据得⑦
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考点：动能定理
【名师点睛】此题联系高科技技术-粒子加速器，考查了动能定理的应用，比较简单，只要弄清加速原理即可列出动能定理求解；与现代高科技相联系历来是高考考查的热点问题.
12.(2011·上海卷)如图，质量的物体静止于水平地面的A处，A、B间距L=20m。用大小为30N，沿水平方向的外力拉此物体，经拉至B处。(已知，。取)
(1)求物体与地面间的动摩擦因数μ；
(2)用大小为30N，与水平方向成37°的力斜向上拉此物体，使物体从A处由静止开始运动并能到达B处，求该力作用的最短时间t。
【答案】(1)0.5(2)
【解析】(1)物体做匀加速运动 ∴
由牛顿第二定律解得
∴
即物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5。
(2)设F作用的最短时间为t，小车先以大小为a的加速度匀加速t秒，撤去外力后，以大小为a’的加速度匀减速t’秒到达B处，速度恰为0，由牛顿定律
∴
由于匀加速阶段的末速度即为匀减速阶段的初速度，因此有
∴
222
∴
【考点定位】匀变速直线运动，牛顿第二定律
13.(2012·福建卷)如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一搜失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计。求：
(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；
(2)小船经过B点时的速度大小；
(3)小船经过B点时的加速度大小a。
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)小船从A点到达B点，受到的阻力恒为f，其克服阻力做的功为：[来
(2)：从A到B由动能定理可知：，解得：。
(3)设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为，绳的速度大小为，，，牛顿第二定律，得。
【考点定位】本题考查动能定理，牛顿第二定律及运动得合成与分解等相关知识
14.(2012·山东卷)如图所示，一工件置于水平地面上，其AB段为一半径R=1.0m的光滑圆弧轨道，BC段为一长度L=0.
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5m的粗糙水平轨道，二者相切与B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道上的一个确定点。一可视为质点的物块，其质量m=0.2kg，与BC间的动摩擦因数μ1=0.4。工件质量M=0.8kg，与地面间的动摩擦因数μ2=0.1。(取g=10m/s2)
(1)若工件固定，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，求P、C两点间的高度差h。
(2)若将一水平恒力F作用于工件，使物块在P点与工件保持相对静止，一起向左做匀加速直线运动。
①求F的大小。
②当速度时，使工件立刻停止运动(即不考虑减速的时间和位移)，物块飞离圆弧轨道落至BC段，求物块的落点与B点间的距离。
【答案】(1)0.2m；(2)8.5N；(3)0.4m
【解析】(1)物块从P点下滑经B点至C点的整个过程，根据动能定理得：
代入数据得： ①
(2)①设物块的加速度大小为a，P点与圆心的连线与竖直方向间的夹角为，由几何关系可得 ②
根据牛顿第二定律，对物体有 ③
对工件和物体整体有 ④
联立①②③④式，代入数据得 ⑤
②设物体平抛运动的时间为t，水平位移为，物块落点与B间的距离为，由运动学公式可得 ⑥
⑦
⑧
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联立①②⑥⑦⑧式，代入数据得。
【考点定位】本题考查动能定理、平抛运动等相关知识
15.(2012·四川卷·T24)如图所示，ABCD为固定在竖直平面内的轨道，AB段光滑水平，BC段为光滑圆弧，对应的圆心角θ = 37°，半径r = 2.5m，CD段平直倾斜且粗糙，各段轨道均平滑连接，倾斜轨道所在区域有场强大小为E = 2×105N/C、方向垂直于斜轨向下的匀强电场。质量m= 5×10-2kg、电荷量q =+1×10-6C的小物体(视为质点)被弹簧枪发射后，沿水平轨道向左滑行，在C点以速度v0=3m/s冲上斜轨。以小物体通过C点时为计时起点，0.1s以后，场强大小不变，方向反向。已知斜轨与小物体间的动摩擦因数μ=0.25。设小物体的电荷量保持不变，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求弹簧枪对小物体所做的功；
(2)在斜轨上小物体能到达的最高点为P，求CP的长度。
【答案】(1)0.475J (2)0.57m
【解析】(1)设弹簧枪对小物体做功为W，由动能定理得①
代入数据解得：②
(2)取沿平直斜轨道向上为正方向。设小物体通过C点进入电场后的加速度为a1，由牛顿第二定律得：-mgsinθ-μ(mgcosθ+qE)=ma1 ③
小物体向上做匀减速运动，经t1=0.1s后，速度达到v1，有：v1=v0+a1t1 ④
由③④可知v1=2.1m/s，设运动的位移为s1，有：s1=v0t1+a1t12 ⑤
电场力反向后，设物体的加速度为a2，由牛顿第二定律得：-mgsinθ-μ(mgcosθ-qE)=ma2⑥
设小物体以此加速度运动到速度为0，运动的时间为t2，位移为s2，
有：0=v1+a2t2 ⑦ s2=v1t2+a2t22 ⑧
设CP的长度为s，有：s=s1+s2 ⑨
联立相关方程，代入数据解得：s=0.57m。
【考点定位】本题考查牛顿第二定律，动能定理及其相关知识
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16.(2012·新课标卷)拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有① ②
式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有③
联立①②③式得 ④
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有⑤
这时①式仍满足。联立①⑤式得⑥
现考察使上式成立的θ角的取值范围。注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有 ⑦
使上式成立的θ角满足，这里θ0是题中所定义的临界角，即当时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为⑧
【考点定位】本题考查物体的平衡、力的合成与分解或正交分解临界条件的应用
17.(2012·浙江卷)为了研究鱼所受水的阻力与其形状的关系，小明同学用石蜡做成两条质量均为m、形状不同的“A鱼”和“B鱼”，如图所示。在高出水面H
222
处分别静止释放“A鱼”和“B鱼”，“A鱼”竖直下滑hA后速度减为零，“B鱼” 竖直下滑hB后速度减为零。“鱼”在水中运动时，除受重力外还受浮力和水的阻力，已知“鱼”在水中所受浮力是其重力的10/9倍，重力加速度为g，“鱼”运动的位移远大于“鱼”的长度。假设“鱼”运动时所受水的阻力恒定，空气阻力不计。求：
(1)“A鱼”入水瞬间的速度vA1；
(2)“A鱼”在水中运动时所受阻力fA；
(3)“A鱼”与“B鱼” 在水中运动时所受阻力之比fA：fB。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)A鱼入水前做自由落体运动，根据速度位移公式，有：解得：。
(2)A鱼入水后，受重力、浮力和阻力，根据动能定理，有：，
其中：，解得：。
(3)同理，解得.
【考点定位】本题考查匀变速运动、动能定理及其相关知识
18.(2012·重庆卷)某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为S。比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球拍中心不动。比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如题25图所示。设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g。
222
(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数；
(2)求在加速跑阶段球拍倾角随速度变化的关系式；
(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)在匀速运动阶段，有，得。
(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为，有：，，得。
(3)以速度匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有，球拍倾角为时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为，有，设匀速跑阶段所用时间为t，有，球不从球拍上掉落的条件，得。
【考点定位】本题考查牛顿运动定律相关知识
19.(2013·浙江卷)山谷中有三块大石头和一根不可伸长的青之青藤，其示意图如下。图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1=1.8m，h2=4.0m，x1=4.8m，x2=8.0m。开始时，质量分别为M=10kg和m=2kg的大小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头A点起水平跳到中间石头，大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤的下端荡到右边石头的D点，此时速度恰好为零。运动过程中猴子均看成质点，空气阻力不计，重力加速度g=10m/s2，求：
222
(1)大猴子水平跳离的速度最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)荡起时，青藤对猴子的拉力大小。
【答案】(1)8m/s(2)9m/s(3)216N
【解析】(1)根据h1＝gt2，解得，则跳离的最小速度
.
(2)根据机械能守恒定律得，(M+m)v2＝(M+m)gh2，解得
(3)根据牛顿第二定律得，F−(M+m)g＝(M+m)，根据几何关系得，(L−h2)2+x22＝L2，
联立解得F=216N.
【考点定位】机械能守恒定律、平抛运动、向心力。
20.(2013·重庆卷)如题8图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。
(1)若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)ω=(1±k)ω0，且0＜k <<1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【答案】(1) (2)当时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为
222
；当时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为；
【解析】(1)当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ＝mRsinθω02，解得
(2)当ω=(1+k)ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，
根据牛顿第二定律得，fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω2.
fsin60°+mg=Nsin30°
联立两式解得
当ω=(1-k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得，Ncos30°-fcos60°=mRsin60°ω2.
mg=Nsin30°+fsin60°
联立两式解得.
【考点定位】摩擦力，受力分析，牛顿第二定律，匀速圆周运动的向心力。
21.(2015·山东卷·T23)如图甲所示，物块与质量为m的小球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连接。物块置于左侧滑轮正下方的表面水平的压力传感装置上，小球与右侧滑轮的距离为l。开始时物块和小球均静止，将此时传感装置的示数记为初始值。现给小球施加一始终垂直于l段细绳的力，将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成60o角，如图乙所示，此时传感装置的示数为初始值的1.25倍；再将小球由静止释放，当运动至最低位置时，传感装置的示数为初始值的0.6倍.不计滑轮的大小和摩擦，重力加速度的大小为g。求：
222
(1)物块的质量；
(2)从释放到运动至最低位置的过程中，小球克服阻力所做的功。
【答案】(1)3m；(2)0.1mgl
【解析】(1)设物块质量为M，开始时，设压力传感器读数F0，则F0+mg=Mg；
当小球被抬高600角时，则对小球根据力的平行四边形法则可得：T=mgcos600，
此时对物块：1.25F0+T=Mg；解得：M=3m；F0=2mg
(2)当小球摆到最低点时，对物块：0.6F0+T1=Mg；
对小球：
对小球摆到最低点的过程，根据动能定理可知：，
联立解得：Wf=0.1mgl
【考点定位】物体的平衡；牛顿第二定律；动能定理.
22.(2015·浙江卷·T23)如图所示，用一块长的木板在墙和桌面间架设斜面，桌面高H=0.8m，长。斜面与水平桌面的倾角可在0~60°间调节后固定。将质量m=0.2kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数，物块与桌面间的动摩擦因数，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(1)求角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)
222
(2)当增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数；
(已知sin37°=0.6，cos37°=0.8)
(3)继续增大角，发现=53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)为使小物块下滑 ①
满足的条件 ②
(2)克服摩擦力做功 ③
由动能定理得 ④
代入数据得 ⑤
(3)由动能定理可得 ⑥
代入数据得 ⑦
，， ⑧
，
， ⑨
⑩
【考点定位】动能定理，运动学公式
23.(2015·海南卷·T14)如图，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h=2m，，s=。取重力加速度大小。
222
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。
【答案】(1)(2)
【解析】(1)一小环套在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有①
②
从ab滑落过程中，根据动能定理可得③
联立三式可得 ④
(2)环由b处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c点的速度大小为v，有
⑤
环在c点的速度水平分量为 ⑥
式中，为环在c点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在c点的速度方向和以初速度做平抛运动的物体在c点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为，竖直分量为
⑦
因此 ⑧
联立可得 ⑨
【考点定位】机械能守恒定律，平抛运动，动能定理。
24.(2015·重庆卷·T8)同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如题8图所示的实验装置。图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板。M 板上部有一半径为的圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q为最低点，Q点处的切线水平，距底板高为.
222
N板上固定有三个圆环.将质量为的小球从P处静止释放，小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q水平距离为处。不考虑空气阻力，重力加速度为.求：
(1)距Q水平距离为的圆环中心到底板的高度；
(2)小球运动到Q点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向；
(3)摩擦力对小球做的功.
【答案】(1)到底版的高度；(2)速度的大小为 ，压力的大小，方向竖直向下 ；(3)摩擦力对小球作功
【解析】(1)由平抛运动规律可知，
同理：，
解得：，则距地面高度为
(2)由平抛规律解得
对抛出点分析，由牛顿第二定律：，解得
由牛顿第三定律知，方向竖直向下。
222
(3)对P点至Q点，由动能定理：
解得：
【考点定位】平抛运动的规律、动能定理、牛顿第二定律、牛顿第三定律。
25.(2015·全国新课标Ⅰ卷·T25)一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块，在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5m，如图(a)所示。时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1s时间内小物块的图线如图(b)所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10m/s2。求
(1)木板与地面间的动摩擦因数及小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)木板的最小长度；
(3)木板右端离墙壁的最终距离。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)根据图像可以判定碰撞前木块与木板共同速度为
碰撞后木板速度水平向左，大小也是
木块受到滑动摩擦力而向右做匀减速，根据牛顿第二定律有
解得
木板与墙壁碰撞前，匀减速运动时间，位移，末速度
其逆运动则为匀加速直线运动可得
带入可得
222
木块和木板整体受力分析，滑动摩擦力提供合外力，即
可得
(2)碰撞后，木板向左匀减速，依据牛顿第二定律有
可得
对滑块，则有加速度
滑块速度先减小到0，此时碰后时间为
此时，木板向左的位移为末速度
滑块向右位移
此后，木块开始向左加速，加速度仍为
木块继续减速，加速度仍为
假设又经历二者速度相等，则有
解得
此过程，木板位移末速度
滑块位移
此后木块和木板一起匀减速。
二者的相对位移最大为
滑块始终没有离开木板，所以木板最小的长度为
(3)最后阶段滑块和木板一起匀减速直到停止，整体加速度
位移
所以木板右端离墙壁最远的距离为
【考点定位】牛顿运动定律
26.(2015·安徽卷·T24)
222
由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形边长为a。求：
(1)A星体所受合力大小FA；
(2)B星体所受合力大小FB；
(3)C星体的轨道半径RC；
(4)三星体做圆周运动的周期T。
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
方向如图，则合力大小为
(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
方向如图，则合力大小为
。可得
(3)由对称性知，OA在BC的中垂线上，.对A星体： ③
222
，对B星体： ④，联立解得，在三角形中，，解得，即 ⑤；
(4)把⑤式代入④式，得，即.
考点：本题考查万有引力定律、力的合成、正交分解法等知识。
27.(2015·四川卷·T10)如图所示，粗糙、绝缘的直轨道OB固定在水平桌面上，B端与桌面边缘对齐，A是轨道上一点，过A点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E＝1.5×106N/C，方向水平向右的匀强电场。带负电的小物体P电荷量是2.0×10－6C，质量m＝0.25kg，与轨道间动摩擦因数μ＝0.4，P从O点由静止开始向右运动，经过0.55s到达A点，到达B点时速度是5m/s，到达空间D点时速度与竖直方向的夹角为α，且tanα＝1.2。P在整个运动过程中始终受到水平向右的某外力F作用，F大小与P的速率v的关系如表所示。P视为质点，电荷量保持不变，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间；
(2)小物体P从A运动至D的过程，电场力做的功。
【答案】(1)t1＝0.5s；(2)
【解析】(1)物体P在水平桌面上运动时，竖直方向上只受重力mg和支持力N作用，因此其滑动摩擦力大小为：f＝μmg＝1N
根据表格数据可知，物体P在速率v＝0～2m/s时，所受水平外力F1＝2N＞f，因此，在进入电场区域之前，物体P做匀加速直线运动，设加速度为a1，不妨设经时间t1速度为v1＝2m/s，还未进入电场区域。
根据匀变速直线运动规律有：v1＝a1t1 ①
根据牛顿第二定律有：F1－f＝ma1 ②
由①②式联立解得：t1＝＝0.5s＜0.55s，所以假设成立
222
即小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间为t1＝0.5s
(2)当物体P在速率v＝2～5m/s时，所受水平外力F2＝6N，设先以加速度a2再加速t2＝0.05s至A点，速度为v2，根据牛顿第二定律有：F2－f＝ma2 ③
根据匀变速直线运动规律有：v2＝v1＋a2t2 ④
由③④式联立解得：v2＝3m/s ⑤
物体P从A点运动至B点的过程中，由题意可知，所受水平外力仍然为F2＝6N不变，设位移为x1，加速度为a3，根据牛顿第二定律有：F2－f－qE＝ma3 ⑥
根据匀变速直线运动规律有：2a3x1＝－ ⑦
由⑤⑥⑦式联立解得：x1＝1m ⑧
根据表格数据可知，当物体P到达B点时，水平外力为F3＝qE＝3N，因此，离开桌面在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上只受重力，做自由落体运动，设运动至D点时，其水平向右运动位移为x2，时间为t3，则在水平方向上有：x2＝vBt3 ⑨
根据几何关系有：cotα＝ ⑩
由⑨⑩式联立解得：x2＝m ⑪
所以电场力做的功为：W＝－qE(x1＋x2) ⑫
由⑧⑪⑫式联立解得：W＝－9.25J
【考点定位】物体的受力分析、牛顿第二定律、匀变速直线运动规律、平抛运动规律、功的定义式的应用。
28.(2015·上海卷·T31)质量为m的小球在竖直向上的恒定拉力作用下，由静止开始从水平地面向上运动，经一段时间，拉力做功为W，此后撤去拉力，球又经相同时间回到地面，以地面为零势能面，不计空气阻力。求：
(1)球回到地面时的动能Ek；
(2)撤去拉力前球的加速度大小a及拉力的大小F；
(3)球动能为W/5时的重力势能Ep。
【答案】(1)W；(2)；(3)或
【解析】(1)撤去拉力时球的机械能为W，由机械能守恒定律，回到地面时的动能
222
(2)设拉力作用时间为t，在此过程中球上升h，末速度为v，则
v=at
由题意有
解得
根据牛顿第二定律，F-mg=ma，解得
(3)动能为W/5时球的位置可能在h的下方或上方。
设球的位置在h下方离地h′处
而，解得
重力势能
设球的位置在h下上方离地处
由机械能守恒定律
因此重力势能
【考点定位】牛顿第二定律；机械能守恒定律；匀变速直线运动公式
29.(2015·全国新课标Ⅱ卷·T25)下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为θ=37°(sin37°=)的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均处于静止状态，如图所示。假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m(可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ1减小为，B、C间的动摩擦因数μ2减小为0.
222
5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2s末，B的上表面突然变为光滑，μ2保持不变。已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小g=10m/s2。求：
(1)在0~2s时间内A和B加速度的大小；
(2)A在B上总的运动时间。
【答案】(1)a1=3m/s2； a2 =1m/s2；(2)4s
【解析】本题主要考查牛顿第二定律、匀变速运动规律以及多物体多过程问题；
(1) 在0-2s内，A和B受力如图所示
由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得:
……………⑴
………...⑵
……………⑶
……⑷
以沿着斜面向下为正方向，设A和B的加速度分别为，由牛顿第二定律可得：
……⑸
………⑹
222
联立以上各式可得a1=3m/s2…………⑺
a2 =1m/s2………………..⑻
(2)在t1=2s，设A和B的加速度分别为，则
v1=a1t1=6m/s………………⑼
v2=a2t1=2m/s………………⑽
t>t1时，设A和B的加速度分别为，此时AB之间摩擦力为零，同理可得：
………⑾
………⑿
即B做匀减速，设经时间，B的速度减为零，则：
……………………⒀
联立⑽⑿⒀可得t2=1s…………..⒁
在t1+t2时间内，A相对于B运动的距离为
…⒂
此后B静止不动，A继续在B上滑动，设再经时间后t3，A离开B，则有
可得，t3=1s(另一解不合题意，舍去，)
则A在B上的运动时间为t总.
t总=t1+t2+t3=4s
(利用下面的速度图象求解，正确的，参照上述答案信参考给分)
222
【考点定位】牛顿第二定律；匀变速直线运动；
30.(2015·北京卷·T23)如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计，物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴转动，与桌面间的动摩擦因数为，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
(1)请画出F随x变化的示意图:并根据F-x图像，求物块沿x轴从O点运动到位置x过程中弹力所做的功。
(2)物块由向右运动到，然后由返回到，在这个过程中。
a、求弹力所做的功；并据此求弹性势能的变化量；
b、求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
【答案】(1)，(2) ；
【解析】(1)在图象中，面积为外力拉弹簧时外力所做的功
弹簧的弹力对其做负功，
(2)a、
物块由x1运动到x3的过程中，弹力做功为：；
物块由x3运动到x2的过程中，弹力做功为：
222
；
整个过程中弹力做功：；
弹性势能的变化量为：；
b、
整个过程中，摩擦力做功：
比较两力做功可知，弹力做功与实际路径无关，取决于始末两点间的位置；因此我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能；而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，因此不能定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。
【考点定位】用图像法求变力做功，功能关系。
31.(2015·江苏卷·T14)一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为3L/2，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度；
(3)弹簧长度从3L/2缓慢缩短为L/2的过程中，外界对转动装置所做的功W。
【答案】(1)4mg/L (2) (3)
【解析】(1)装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为θ1
小环受到弹簧的弹力
222
小环受力平衡：
小球受力平衡：
解得：
(2)设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2，OA杆与转轴的夹角为θ2
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡：，得：
对小球：；且
解得：
(3)弹簧长度为L/2时，设OA、AB杆中的弹力分别为F3、T3，OA杆与弹簧的夹角为θ3
小环受到弹簧的弹力：
小环受力平衡：且
对小球：；
解得：
整个过程弹簧弹性势能变化为零，则弹力做的功为零，由动能定理：
解得：
【考点】物体的平衡、动能定理
32.(2013·海南卷)一质量m=0.6kg的物体以v0=20m/s的初速度从倾角为30°的斜坡底端沿斜坡向上运动。当物体向上滑到某一位置时，其动能减少了ΔEk
222
=18J，机械能减少了ΔE=3J，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求：
(1)物体向上运动时加速度的大小；
(2)物体返回斜坡底端时的动能。
【答案】(1)6m/s2 (2)80J
【解析】(1)设物体在运动过程中所受的摩擦力大小为f，向上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律有
设物体动能减少ΔEk时，在斜坡上运动的距离为s，由功能关系得ΔEk=(mgsinα+f)s，ΔE=fs
联立以上各式并代入数据可得a=6m/s2。
(2)设物体沿斜坡向上运动的最大距离为sm，由运动学规律可得，
设物体返回底端时的动能为Ek，由动能定理有Ek=(mgsinα-f)sm
联立以上各式并代入数据可得，Ek=80J。
【考点定位】考查牛顿运动定律和动能定理。
33.(2013·福建卷)如图所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m=1.0kg的小球。现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点。地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L=1.0m，B点离地高度H=1.0m，A、B两点的高度差h=0.5m，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小。
【答案】(1)1.41m (2)20 N
【解析】(1)设小球运动至B点的速度为v，小球由A运动至B点的过程中，只有重力做功
222
，根据动能定理有mgh= ①
小球由B至C过程中，做平抛运动，设平抛运动的时间为t，根据平抛运动的规律
在水平方向上有：s=vt ②
在竖直方向上有：H= ③
由①②③式联立，并代入数据解得：s=m=1.41m
(2)在小球刚到达B点绳断瞬间前，受重力mg和绳的拉力T作用，根据牛顿第二定律有：
T-mg= ④
显然此时绳对小球的拉力最大，根据牛顿第三定律可知，绳所受小球的最大拉力为：
T ′=T ⑤
由①④⑤式联立，并代入数据解得：T ′=20N。
【考点定位】本题综合考查了圆周运动向心力公式、平抛运动规律、动能定理(或机械能守恒定律)相结合的一类问题，
34.(2013·福建卷)质量为M、长为的杆水平放置，杆两端A、B系着长为3L的不可伸长且光滑的柔软绳，绳上套着一质量为m的小铁环。已知重力加速度为g，不计空气影响。
(1)现让杆和环均静止悬挂在空中，如图甲，求绳中拉力的大小；
(2)若杆与环保持相对静止，在空中沿AB方向水平向右做匀加速直线运动，此时环恰好悬于A端的正下方，如图乙所示。
①求此状态下杆的加速度大小a；
②为保持这种状态需在杆上施加一个多大的外力，方向如何？
【答案】(1) (1)① ②，方向与水平方向成α=60°斜向上
【解析】(1)如图1.
222
设平衡时，绳中拉力为FT，有①
由图知② 由①②式解得③
(2)①此时，对小铁环受力分析如图2，
有④⑤
由图知，代入④⑤式解得⑥
②如图3，
设外力F与水平方向成α角，将杆和小铁环当成一个整体，有
⑦ ⑧
由⑥⑦⑧式解得
即与水平方向夹角为60º斜向右上方。
35.(2013·安徽卷·T24)如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为
222
。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量；
(4)为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件(假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)？
【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)
【解析】(1)设物块处于平衡位置时弹簧的伸长量为Δl，则
，解得
所以此时弹簧的长度为。
(2)当物块相对平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x＋△l，物块所受合力(即回复力)
F合＝mgsinα－k(x+△l)，联立以上各式，F合＝－kx，由此可知该物块做简谐运动。
(3)该物块做简谐运动的振幅为，由简谐运动的对称性可知，弹簧的最大伸长量
为
(4)设物块位移x为正，对斜面受力分析如图所示。
222
由于斜面受力平衡，则有
在水平方向上有：f+FN1sinα-Fcosα=0；在竖直方向上有：FN2－Mg-Fsinα-FN1cosα=0
又F=，FN1=mgcosα
联立可得f=kxcosα，FN2=Mg+mg+kxsinα
为使斜面始终处于静止状态，结合牛顿第二定律，应满足，所以
当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有
μ≥。
【另解】对由斜面、物块、弹簧组成的系统受力分析，受重力(M＋m)g、地面的支持力N和水平方向的静摩擦力f作用，如图所示。
建立图示直角坐标系，根据牛顿第二定律可知：
在水平方向上有：f=M×0＋macosα；在竖直方向上有：N－(M＋m)g=M×0＋masinα
其中，静摩擦力f≤fm＝μN，a==-(-A≤x≤A)，
联立以上各式，解得：μ≥。
【考点定位】胡克定律，简谐运动，共点力平衡
222
36.(2011·福建卷)如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧.投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去.设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零.不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能.已知重力加速度为g.求：
(1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1;
(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep;
(3)已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO’在角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到m之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？
【答案】见解析
【解析】(1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力，完全由重力提供，
则…①
由①式解得：…②
(2)从弹著释放到最高点C的过程中，弹普蝴单性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有③
由②③式解得EP＝2mgR④
(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO’的水平距离为x1，由平抛运动规律有：
222
…⑤
…⑥
由⑤⑥式解得：…⑦
当鱼饵的质量为m时，设其到达管口C时速度大小为，由机械能守恒定律得：
…⑧
由④⑧式解得：…⑨
质量为m的鱼饵落到水面上时，设离OO’的水平距离为x2，则…⑩
由⑤⑨⑩式解得：
鱼饵能够落到水面的最大面积 (或8.25πR2)
【考点定位】平抛运动规律、牛顿运动定律、竖直面内的圆周运动、机械能守恒定律
37.(2016·四川卷)避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图竖直平面内，制动坡床视为与水平面夹角为的斜面。一辆长12 m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23 m/s时，车尾位于制动坡床的低端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4 m时，车头距制动坡床顶端38 m，再过一段时间，货车停止。已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数为0.4；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44倍。货物与货车分别视为小滑块和平板，取。求：
(1)货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
(2)制动坡床的长度。
【答案】(1)5m/s2，方向沿斜面向下(2)98m
222
【解析】(1)设货物的质量为m，货物在车厢内滑动过程中，货物与车厢的动摩擦因数μ=0.4，受摩擦力大小为f，加速度大小为a1，则①
②
联立①②并代入数据得a1=5 m/s③
a1的方向沿制动坡床向下。
(2)设货车的质量为M，车尾位于制动坡床底端时的车速为v=23 m/s。货车在车厢内开始滑动到车头距制动坡床顶端s0=38m的过程中，用时为t，货物相对制动坡床的运动距离为s1，在车厢内滑动的距离s=4m，货车的加速度大小为a2，货车相对制动坡床的运动距离为s2。货车受到制动坡床的阻力大小为F，F是货车和货物总重的k倍，k=0.44，货车长度l0=12m，制动坡床的长度为l，则④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
联立①②③-⑨并代入数据得⑩
考点：匀变速直线运动的应用；牛顿第二定律
【名师点睛】此题依据高速公路的避嫌车道，考查了牛顿第二定律的综合应用；涉及到两个研究对象的多个研究过程；关键是弄清物理过程，分析货物和车的受力情况求解加速度，然后选择合适的物理过程研究解答；此题属于中等题目.
38.(2016·天津卷)我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m=60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB=24 m/s，A与B的竖直高度差H=48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h=5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W=–1 530 J，取g=10 m/s2。
222
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。
【答案】(1)144 N (2)12.5 m
【解析】(1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有=2ax①
由牛顿第二定律有 mg–Ff=ma②
联立①②式，代入数据解得Ff=144 N③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
mgh+W=m–m④
设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有FN–mg=⑤
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R=12.5 m⑥
【考点定位】动能定理、牛顿第二定律的应用
【名师点睛】此题是力学综合题，主要考查动能定理及牛顿第二定律的应用；解题的关键是搞清运动员运动的物理过程，分析其受力情况，然后选择合适的物理规律列出方程求解；注意第(1)问中斜面的长度和倾角未知，需设出其中一个物理量。
39.(2016·浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向 右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。
222
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)打在中点的微粒①
②
(2)打在B点的微粒；③
④
同理，打在A点的微粒初速度⑤
微粒初速度范围⑥
(3)由能量关系⑦
代入④、⑤式⑧
【考点定位】动能定理；平抛运动
【名师点睛】此题是对平抛运动的考查；主要是掌握平抛运动的处理方法，在水平方向是匀速运动，在竖直方向是自由落体运动；解题时注意找到临界点；此题难度不算大，意在考查学生对物理基本方法的掌握情况。
40.(2016·江苏卷)
222
如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上.滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行.A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动.不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
(1)A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2)A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3)A滑动的位移为x时的速度大小vA.
【答案】(1)mgcosα (2)(3)
【解析】(1)支持力的大小N=mgcosα
(2)根据几何关系sx=x·(1 –cos α)，sy=x·sinα
且s=
解得s=
(3)B的下降高度sy=x·sinα
根据机械能守恒定律
根据速度的定义得，
则
解得
【考点定位】物体的平衡、机械能守恒定律
222
【方法技巧】第一问为基础题，送分的。第二问有点难度，难在对几何关系的寻找上，B的实际运动轨迹不是沿斜面，也不是在竖直或水平方向，这样的习惯把B的运动正交分解，有的时候分解为水平、竖直方向，也可能要分解到沿斜面和垂直斜面方向，按实际情况选择，第三问难度较大，难在连接体的关联速度的寻找，这类关系的寻找抓住：沿弹力的方向分速度相同。
41.(2016·上海卷)风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度H=3.2 m处，杆上套一质量m=3 kg，可沿杆滑动的小球。将小球所受的风力调节为F=15 N，方向水平向左。小球以初速度v0=8 m/s向右离开杆端，假设小球所受风力不变，取g=10m/s2。求：
(1)小球落地所需时间和离开杆端的水平距离；
(2)小球落地时的动能。
(3)小球离开杆端后经过多少时间动能为78 J？
【答案】(1)4.8 m (2)120 J (3)0.24 s
【解析】(1)小球在竖直方向做自由落体运动，运动时间为
小球在水平方向做匀减速运动，加速度
水平位移
(2)由动能定理
(3)小球离开杆后经过时间t的水平位移
由动能定理
以和m/s代入得125t2-80t+12=0
解得t1=0.4 s，t2=0.24 s。
【考点定位】曲线运动、自由落体运动、匀速运动、动能定理
【方法技巧】
222
首先分析出小球的运动情况，竖直方向自由落体运动，水平方向匀减速直线运动，根据运动情况计算小球运动时间和水平位移；通过动能定理计算小球落地动能；通过动能定理和运动学关系计算时间。
42.(2016·全国新课标Ⅰ卷)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为g。(取)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小。
(2)求P运动到Ｅ点时弹簧的弹性势能。
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【答案】(1)；(2)；(3)；
【解析】(1)根据题意知，B、C之间的距离l为l=7R–2R①
设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得②
式中θ=37°，联立①②式并由题给条件得③
(2)设BE=x。P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有④
E、F之间的距离l1为l1=4R–2R+x⑤
P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有Ep–mgl1sin θ–μmgl1cos θ=0⑥
222
联立③④⑤⑥式并由题给条件得x=R⑦
⑧
(3)设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为⑨
⑩
式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。
设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有
⑪
x1=vDt⑫
联立⑨⑩⑪⑫式得⑬
设P在C点速度的大小为vC。在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有
⑭
P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有
⑮
联立⑦⑧⑬⑭⑮式得⑯
【考点定位】动能定理、平抛运动、弹性势能
【名师点睛】本题主要考查了动能定理、平抛运动、弹性势能。此题要求熟练掌握平抛运动、动能定理、弹性势能等规律，包含知识点多、过程多，难度较大；解题时要仔细分析物理过程，挖掘题目的隐含条件，灵活选取物理公式列出方程解答；此题意在考查考生综合分析问题的能力。
43.(2016·全国新课标Ⅱ卷·T25)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
222
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。
由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为Ep=5mgl①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，
由能量守值定律得②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足 ④
设P滑到D点时的速度为v D，由机械能守恒定律得⑤
联立③⑤式得⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s=vDt⑧
联立⑥⑦⑧式得⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl>μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有
222
⑪
联立①②⑩⑪式得⑫
【考点定位】能量守恒定律、平抛运动、圆周运动
【名师点睛】此题是力学综合题；考查平抛运动、圆周运动以及动能定理的应用；解题时要首先知道平抛运动及圆周运动的处理方法，并分析题目的隐含条件，挖掘“若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下”这句话包含的物理意义；此题有一定难度，考查考生综合分析问题、解决问题的能力。
44.(2017·江苏卷)如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R.C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为μ.现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面.整个过程中B保持静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：
(1)未拉A时，C受到B作用力的大小F；
(2)动摩擦因数的最小值μmin；
(3)A移动的整个过程中，拉力做的功W.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)C受力平衡 解得
(2)C恰好降落到地面时，B受C压力的水平分力最大
B受地面的摩擦力 根据题意 ，解得
(3)C下降的高度 A的位移
222
摩擦力做功的大小
根据动能定理
解得
【考点定位】物体的平衡 动能定理
【名师点睛】本题的重点的C恰好降落到地面时，B物体受力的临界状态的分析，此为解决第二问的关键，也是本题分析的难点.
45.(2017·新课标Ⅰ卷)一质量为8.00×104 kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105 m处以7.50×103 m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8 m/s2。(结果保留2位有效数字)
(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；
(2)求飞船从离地面高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。
【答案】(1)(1)4.0×108 J 2.4×1012 J (2)9.7×108 J
【解析】(1)飞船着地前瞬间的机械能为①
式中，m和v0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率。由①式和题给数据得②
设地面附近的重力加速度大小为g，飞船进入大气层时的机械能为③
式中，vh是飞船在高度1.6×105 m处的速度大小。由③式和题给数据得④
(2)飞船在高度h' =600 m处的机械能为⑤
由功能原理得⑥
式中，W是飞船从高度600 m处至着地瞬间的过程中克服阻力所做的功。由②⑤⑥式和题给数据得
W=9.7×108 J⑦
【考点定位】机械能、动能定理
【名师点睛】本题主要考查机械能及动能定理，注意零势面的选择及第(2)问中要求的是克服阻力做功。
222
46.(2017·新课标Ⅱ卷)为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线距离s0和s1(s1
0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。11H的质量为m，电荷量为q不计重力。求
(1)11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离
(2)磁场的磁感应强度大小
(3)12H第一次离开磁场的位置到原点O的距离
222
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】本题考查带电粒子在电场中的类平抛运动、在匀强磁场中的匀速圆周运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力。
(1)在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示。
设在电场中的加速度大小为，初速度大小为，它在电场中的运动时间为，第一次进入磁场的位置到原点Ｏ的距离为。由运动学公式有 ① ②
由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角。进入磁场时速度的y分量的大小为 ③
联立以上各式得 ④
(2)在电场中运动时，由牛顿第二定律有 ⑤
设进入磁场时速度的大小为，由速度合成法则有 ⑥
设磁感应强度大小为B，在磁场中运动的圆轨道半径为，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 ⑦
由几何关系得 ⑧
联立以上各式得 ⑨
(3)设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为，在电场中的加速度大小为，由题给条件得 ⑩
由牛顿第二定律有 ⑪
设第一次射入磁场时的速度大小为，速度的方向与x轴正方向夹角为，入射点到原点的距离为，在电场中运动的时间为。
由运动学公式有 ⑫ ⑬ ⑭ ⑮
联立以上各式得，， ⑯
222
设在磁场中做圆周运动的半径为，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得 ⑰
所以出射点在原点左侧。设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为，由几何关系有 ⑱
联立④⑧⑯⑰⑱式得，第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
⑲
【点睛】此题与2004年全国理综卷第25题情景类似，都是带电粒子在匀强电场中类平抛运动后进入匀强磁场中做匀速圆周运动，且都是在第一象限和第二象限设置了竖直向下的匀强电场，在第三象限和第四象限设置了方向垂直纸面向外的匀强磁场，解答需要的知识都是带电粒子在匀强电场中的类平抛运动规律和洛伦兹力等于向心力、几何关系等知识点。带电粒子在匀强电场中的类平抛运动和在匀强磁场中的匀速圆周运动是教材例题和练习中的常见试题，此题可认为是由两个课本例题或习题组合而成。
75.(2011·安徽卷)如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里。一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t0时间从P点射出。
(1)求电场强度的大小和方向。
(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经时间恰从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加速度的大小。
(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，且速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间。
【答案】(1)，x轴正方向(2)(3)
【解析】(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，初速度为v，电场强度为E.可判断出粒子受到的洛伦磁力沿x轴负方向，于是可知电场强度沿x轴正方向，且有 ①
222
又 ②
则③
(2)仅有电场时，带电粒子在匀强电场中作类平抛运动
在y方向位移 ④
由②④式得 ⑤
设在水平方向位移为x，因射出位置在半圆形区域边界上，于是
又有 ⑥得 ⑦
(3)仅有磁场时，入射速度，带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设轨道半径为r，由牛顿第二定律有 ⑧
又 ⑨
由③⑦⑧⑨式得 ⑩
由几何关系 (11)
即，所以 (12)
带电粒子在磁场中运动周期
则带电粒子在磁场中运动时间
所以 (13)
【考点定位】带电粒子在匀强磁场中的运动
222
76.(2011·北京卷·T23)利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用。如图所示的矩形区域ACDG(AC边足够长)中存在垂直于纸面的匀强磁场，A处有一狭缝。离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于GA边且垂直于磁场的方向射入磁场，运动到GA边，被相应的收集器收集。整个装置内部为真空。已知被加速的两种正离子的质量分别是m1和m2(m1>m2)，电荷量均为q。加速电场的电势差为U，离子进入电场时的初速度可以忽略。不计重力，也不考虑离子间的相互作用。
(1)求质量为m1的离子进入磁场时的速率v1；
(2)当磁感应强度的大小为B时，求两种离子在GA边落点的间距s；
(3)在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度。若狭缝过宽，
可能使两束离子在GA边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离。设磁感应强度大小可调，GA边长为定值L，狭缝宽度为d，狭缝右边缘在A处。离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁场。为保证上述两种离子能落在GA边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)动能定理 得
(2)由牛顿第二定律和轨道半径有：，
222
利用①式得离子在磁场中的轨道半径为别为(如图一所示)：②
两种离子在GA上落点的间距…③
(3)质量为m1的离子，在GA边上的落点都在其入射点左侧2R1处，由于狭缝的宽度为d，因此落点区域的宽度也是d(如图二中的粗线所示)。同理，质量为m2的离子在GA边上落点区域的宽度也是d(如图二中的细线所示)。为保证两种离子能完全分离，两个区域应无交叠，条件为2(R1-R2)>d ④
利用②式，代入④式得：
R1的最大值满足：得：
求得最大值：
【考点定位】带电粒子在混合场中的运动；牛顿第二定律；动能定理的应用.
77.(2011·北京卷)静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线，图中φ0和d为已知量。一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动。已知该粒子质量为m、电量为-q，其动能与电势能之和为－A(00)的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入I区。粒子在I区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在II区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II区离开时到出发点P0的距离。粒子的重力可以忽略。
222
【答案】
【解析】带电粒子进入电场后，在电场力的作用下沿抛物线远的，其加速度方向竖直向下，设其大小为a由牛顿定律得qE=ma ①
设经过时间，粒子从平面MN是上的点P1进入磁场，由运动学公式和几何关系得
②
粒子速度大小V1为 ③
设速度方向与竖直方向的夹角为α，则
④
此时粒子到出发点P0的距离为 ⑤
此后，粒子进入磁场，在洛伦磁力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为 ⑥
速度与水平方向的夹角θ：⑦
连立①②③④⑤⑥化简得⑧
进入磁场时与边界MN的夹角为做匀速圆周运动，
222
根据牛顿第二定律得⑨
作出原轨迹，则弦长和半径满足关系⑩
连立⑨⑩得
所以粒子首次从II区离开时到出发点P0的距离为
【考点定位】带电粒子在电磁场中的运动
85.(2011·山东卷)扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图Ⅰ、Ⅱ两处的条形均强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角
(1)当Ⅰ区宽度L1=L、磁感应强度大小B1=B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0
(2)若Ⅱ区宽度L2=L1=L磁感应强度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h
(3)若L2=L1=L、B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件
(4)若，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B1、B2、L1、、L2、之间应满足的关系式。
【答案】(1)(2)h=(2-)L(3)B2>(4)B1L1= B2L2
【解析】(1)如图所示，设粒子射入磁场区域Ⅰ时的速度为v，匀速圆周运动的半径为.根据动能定理，得 ①
由牛顿定律，得 ②
222
由几何知识，得 ③
联立代入数据解得 ④
粒子在磁场Ⅰ区域中运动的时间为 ⑤
联立上述①②③④⑤解得
(2)设粒子在磁场Ⅱ区中做匀速圆周运动的半径为R2，由牛顿第二定律得qvB2=m，⑧
由几何知识可得h=( R1+ R2)(1-cosθ)+Ltanθ⑨
联立②③⑧⑨式，代入数据得h=(2-)L ⑩
(3)如图2所示，为使粒子能再次回到I区，应满足
R2(1+sinθ) (或B2≥ )
(4)如图3(或图4)所示，设粒子射出磁场I区时速度与水平方向的夹角为α，由几何知识可得L1= R1 (sinθ+ sinα)， [或L1= R1 (sinθ- sinα)]，
L2= R2 (sinθ+ sinα)， [或L2= R2 (sinθ- sinα)]，
222
联立②⑧式解得B1R1= B2R2
联立式解得B1L1= B2L2。
【考点定位】带电粒子在有界磁场中的运动
86.(2011·上海卷)电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L=0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热。(取)求：
(1)金属棒在此过程中克服安培力的功；
(2)金属棒下滑速度时的加速度.
(3)为求金属棒下滑的最大速度，有同学解答如下：由动能定理，……。由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。
【答案】(1)(2)(3)正确，
【解析】(1)下滑过程中安培力的功即为在金属棒和电阻上产生的焦耳热，由于，
因此，故，
(2)金属棒下滑时受重力和安培力
由牛顿第二定律
222
故
(3)此解法正确.金属棒下滑时重力、支持力和安培力作用，根据牛顿第二定律
上式表明，加速度随速度增加而减小，棒作加速度减小的加速运动.无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大.由动能定理可以得到棒的末速度，因此上述解法正确.
故
【考点定位】电磁感应中的能量转化；牛顿第二定律；动能定理的应用；焦耳定律
87.(2011·四川卷)如图所示，间距l=0.3m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内，在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ=37º的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1=0.4T、方向竖直向上和B2=1T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻R=0.3Ω、质量m1=0.1kg、长为l 的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2=0.05kg的小环。已知小环以a=6m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。取g=10 m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8。求
(1)小环所受摩擦力的大小；
(2)Q杆所受拉力的瞬时功率。
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设小环受到的摩擦力大小为，由牛顿第二定律，有
代入数据得；
(2)设通过K杆的电流为，K杆受力平衡，有
222
设回路中电流为I，总电阻为，有：，
设Q杆下滑速度大小为v，产生的感应电动势为E，有
，，拉力的瞬时功率为
联立以上方程，代入数据解得Q杆受拉力的功率
【考点定位】导体切割磁感线运动
88.(2011·四川卷)如图所示，正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长l=1.8m，距地面h=0.8m。平行板电容器的极板CD间距d=0.1m且垂直放置于台面。C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔。电容器外的台面区域内有磁感应强度B=1T，方向竖直向上的匀强磁场。电荷量q=5×10-13C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压U=2.5V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场(微粒始终不与极板接触)，然后由XY边界离开台面。在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇。假定微粒在真空中运动、极板间电场视为匀强电场，滑块视为质点。滑块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2。
(1)求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板的极性；
(2)求由XY边界离开台面的微粒的质量范围；
(3)若微粒质量m0=1×10-13kg，求滑块开始运动所获得的速度。
【答案】(1)1.25×10−11N C板为正，D板为负 (2) (3)
【解析】(1)由左手定则及微粒的偏转方向可知，该微粒带正电，即C板为正，D板为负；电场力的大小为：＝1.25×10−11N…①
222
(2)由题意知两个轨迹边界如图所示，由此边界结合勾股定理得：…②
再由向心力公式得…③
且…④
联立②③④式，得该微粒的质量范围：
(3)将质量代入③④可得：以及R=1m，其轨迹如图所示.
由图可知＝0.8，也即是θ=37°…⑤
设微粒在空中的飞行时间为t，则由运动学公式有：…⑥
则滑块滑至与微粒相碰过程中微粒的水平位移为：s＝vt⑦
微粒滑出点距左边距离：x=d+Rsinθ…⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：s＝2m，x＝0.7m
由余弦定理，知滑块的位移
由位移公式
解得v0＝4.15m/s
由正弦定理有：
222
得：，(或)
【考点定位】带电粒子在电磁场中的运动规律
89.(2011·天津卷)回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展。
(1)当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射电子的同位素碳11为示踪原子，碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程。若碳11的半衰期τ为20min，经2.0h剩余碳11的质量占原来的百分之几？(结果取2位有效数字)
(2)回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子(初速度可以忽略，重力不计)，它们在两盒之间被电场加速，D1、D2置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式(忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速)
(3)试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差是增大、减小还是不变？
【答案】(1)、(2)(3)减小
【解析】(1)核反应方程为…①
设碳11原有质量为，经过剩余的质量为，根据半衰期定义，有：
…②
(2)设质子质量为m，电荷量为q，质子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知：③
质子运动的回旋周期为：…④
222
由回旋加速器工作原理可知，交变电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系可得：…⑤
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率…⑥
输出时质子束的等效电流为：…⑦
由上述各式得
(3)方法一：
设k(k∈N*)为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为rk，rk+1(rk>rk+1)，
，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为vk，vk+1，D1、D2之间的电压为U，由动能定理知 ⑧
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，则 ⑨
整理得 ⑩
因U、q、m、B均为定值，令，由上式得 ⑾
相邻轨道半径rk+1，rk+2之差
同理
因为rk+2> rk，比较，得
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差减小
方法二：
设k(k∈N*)为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为rk，rk+1(rk>rk+1)，
，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为vk，vk+1，D1、D2之间的电压为U
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，故 ⑿
由动能定理知，质子每加速一次，其动能增量 ⒀
以质子在D2盒中运动为例，第k次进入D2时，被电场加速(2k﹣1)次
222
速度大小为 ⒁
同理，质子第(k+1)次进入D2时，速度大小为
综合上述各式可得
整理得，
同理，对于相邻轨道半径rk+1，rk+2，，整理后有
由于rk+2> rk，比较，得
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差减小，用同样的方法也可得到质子在D1盒中运动时具有相同的结论。
【考点定位】回旋加速器
90.(2011·浙江卷)如图甲所示，在水平面上固定有长为L=2m、宽为d=1m的金属“U”型轨导，在“U”型导轨右侧l=0.5m范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。在t=0时刻，质量为m=0.1kg的导体棒以v0=1m/s的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.1，导轨与导体棒单位长度的电阻均为，不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响(取)。
(1)通过计算分析4s内导体棒的运动情况；
(2)计算4s内回路中电流的大小，并判断电流方向；
(3)计算4s内回路产生的焦耳热。
【答案】(1)导体棒在前做匀减速运动，在后以后一直保持静止(2)，电流方向是顺时针方向。(3)
【解析】(1)导体棒先在无磁场区域做匀减速运动，有，，
222
代入数据解得：，导体棒没有进入磁场区域.导体棒在1s末已经停止运动，以后一直保持静止，离左端位置仍为x=0.5m
(2)前2s磁通量不变，回路电动势和电流分别为E=0，I=0，后2s回路产生的电动势为；
回路的总长度为5m，因此回路的总电阻为
电流为；
根据楞次定律，在回路中的电流方向是顺时针方向
(3)前2s电流为零，后2s有恒定电流，焦耳热为Q=I2Rt=0.22×0.5×2=0.04J.
【考点定位】电磁感应磁变类问题
91.(2011·重庆卷)某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动。如图所示，材料表面上方矩形区域PP'N'N充满竖直向下的匀强电场，宽为d；矩形区域NN'M′M充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为3s，宽为s；NN'为磁场与电场之间的薄隔离层。一个电荷量为e、质量为m、初速为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M'N'飞出。不计电子所受重力。
(1)求电子第二次与第一次圆周运动半径之比；
(2)求电场强度的取值范围；
(3)A是M′N′的中点，若要使电子在A、M ′间垂直于AM ′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)设圆周运动的半径分别为R1、R2、…Rn、Rn+1…，第一和第二次圆周运动速率分别为和，动能分别为和，由：，
222
，得：
(2)设电场强度为E，第一次到达隔离层前的速率为，根据能量关系有：，得：
又由：，，得：
电场强度的取值范围为
(3)设电子在匀强磁场中，圆周运动的周期为T，运动的半圆周个数为n，运动总时间为t
由题意，有：，，，，得：n=2
由题意知，电子在磁场中做了2个半圆和一个圆，由：，得：
【考点定位】带电粒子在电磁场中的运动
92.(2012·福建卷)如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心0在区域中心。一质量为m、带电量为q(q>0)的小球，在管内沿逆时针方向(从上向下看)做圆周运动。已知磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图乙所示，其中。设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。
(1)在t=0到t=T0 这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，求小球的速度大小；
(2)在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。试求t=T0 到t=1.5T0 这段时间内：
①细管内涡旋电场的场强大小E；
②电场力对小球做的功W。
222
【答案】；；
【解析】(1)小球做圆周运动向心力由洛伦磁力提供：设速度为v，有：
解得：。
(2)①在磁场变化过程中，圆管所在的位置会产生电场，根据法拉第感应定律可知，电势差，电场处处相同，认为是匀强电场则有： 又因为，得到场强
②电场力为：。根据牛顿第二定律，有，解得，物体的末速度为：，根据动能定理，电场力做的功为：。
【考点定位】本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动相关知识
93.(2012·广东卷)如图所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光滑金属轨道上。导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，左侧是水平放置、间距为d的平行金属板。R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻。
(1)调节Rx=R，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I及棒的速率v。
(2)改变Rx，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电量为+q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)导体棒匀速下滑时， ①
②
设导体棒产生的感应电动势为， ③
222
由闭合电路欧姆定律得： ④
联立②③④，得 ⑤
(2)改变Rx由②式可知电流不变.设带电微粒在金属板间匀速通过时，板间电压为U，电场强度大小为E， ⑥
⑦
⑧
联立②⑥⑦⑧，得 。
【考点定位】本题考查了电磁感应中的力电综合问题
94.(2012·江苏卷·T15)如图所示，待测区域中存在匀强电场和匀强磁场，根据带电粒子射入时的受力情况可推测其电场和磁场. 图中装置由加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、相距为l的相同平行金属板构成，极板长度为l、间距为d，两对极板间偏转电压大小相等、电场方向相反. 质量为m、电荷量为+q 的粒子经加速电压U0 加速后，水平射入偏转电压为U1 的平移器，最终从A 点水平射入待测区域. 不考虑粒子受到的重力.
(1)求粒子射出平移器时的速度大小v1;
(2)当加速电压变为4U0 时，欲使粒子仍从A 点射入待测区域，求此时的偏转电压U;
(3)已知粒子以不同速度水平向右射入待测区域，刚进入时的受力大小均为F. 现取水平向右为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系Oxyz. 保持加速电压为U0 不变，移动装置使粒子沿不同的坐标轴方向射入待测区域，粒子刚射入时的受力大小如下表所示.
请推测该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向.
【答案】(1) (2)
(3)E 与Oxy 平面平行且与x 轴方向的夹角为30°或150°，
若B 沿-x 轴方向，E 与Oxy 平面平行且与x 轴方向的夹角为-30°或-150°。
222
【解析】(1)设粒子射出加速器的速度为v0
动能定理
由题意得 ，即
(2)在第一个偏转电场中,设粒子的运动时间为t
加速度的大小
在离开时,竖直分速度
竖直位移
水平位移
粒子在两偏转电场间做匀速直线运动,经历时间也为t
竖直位移
由题意知，粒子竖直总位移
解得
则当加速电压为时，
(3)(a)由沿x 轴方向射入时的受力情况可知:B平行于x 轴.且
(b)由沿轴方向射入时的受力情况可知:E 与Oxy 平面平行.
，则 且
解得
(c)设电场方向与x 轴方向夹角为.
若B 沿x 轴方向，由沿z 轴方向射入时的受力情况得
解得，或
即E 与Oxy 平面平行且与x 轴方向的夹角为30°或150°.
同理，若B 沿-x 轴方向
E 与Oxy 平面平行且与x 轴方向的夹角为-30°或-150°.
【考点定位】本题考查带电粒子在电场中的运动及其相关知识
222
95.(2012·山东卷)如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0。在t=0时刻将一个质量为m、电量为-q(q >0)的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t= T0/2时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。(不计粒子重力，不考虑极板外的电场)
(1)求粒子到达S2时的速度大小v和极板距离d。
(2)为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
(3)若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)粒子在匀强电场中电场力做功等于粒子动能的增加，得：
代入数据，得：，又：，联立以上两式，得：。
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：，得：，使粒子不与极板相撞，则运动的半径，联立以上两式，得：。
(3)粒子在时刻再次到达，且速度恰好为零，根据运动的对称性，则从再次进入电场时的时刻是；粒子从左向右应是水平匀速穿过无场区，距离为d，时间为：，粒子在左右磁场中的时间是相等的，粒子在磁场中运动的总时间：，粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：，联立以上公式得：。
222
【考点定位】本题考查带电粒子在电场与磁场中的运动及其相关知识
96.(2012·四川卷·T25)如图所示，水平虚线X下方区域分布着方向水平、垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，整个空间存在匀强电场(图中未画出)。质量为m，电荷量为+q的小球P静止于虚线X上方A点，在某一瞬间受到方向竖直向下、大小为I的冲量作用而做匀速直线运动。在A点右下方的磁场中有定点O，长为l的绝缘轻绳一端固定于O点，另一端连接不带电的质量同为m的小球Q，自然下垂。保持轻绳伸直，向右拉起Q，直到绳与竖直方向有一小于50的夹角，在P开始运动的同时自由释放Q，Q到达O点正下方W点时速度为v0。P、Q两小球在W点发生正碰，碰后电场、磁场消失，两小球粘在一起运动。P、Q两小球均视为质点，P小球的电荷量保持不变，绳不可伸长，不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)求匀强电场场强E的大小和P进入磁场时的速率v；
(2)若绳能承受的最大拉力为F，要使绳不断，F至少为多大？
(3)求A点距虚线X的距离s。
【答案】见解析
【解析】(1)小球P所受重力和电场力平衡：
电场场强：
由动量定理得：
得v＝I/m
(2)设同向相碰后在W点的最大速度为，由动量守恒定律得：
此刻轻绳的张力也为最大，由牛顿运动定律得：
联立相关方程，得：
222
(3)设P在磁场上方做匀速直线运动的时间为，则，设P在X下方做匀速圆周运动的时间为，则。
设小球Q从开始运动到与P球反向相碰的运动时间为，由单摆周期性，有，由题意，有 联立相关方程，得
，为大于的整数。
设小球Q从开始运动到与P球同向相碰的运动时间为，由单摆周期性，有
同理可得，其中为大于的整数。
【考点定位】本题考查带电粒子在复合场中的运动及其相关知识
97.(2012·天津卷)对铀235的进一步研究在核能的开发和利用中具有重要意义。如图所示，质量为m、电荷量为q的铀235离子，从容器A下方的小孔S1不断飘入加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔S2垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做半径为R的匀速圆周运动。离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为I。不考虑离子重力及离子间的相互作用。
(1)求加速电场的电压U；
(2)求出在离子被收集的过程中任意时间t内收集到离子的质量M；
(3)实际上加速电压的大小会在U+ΔU范围内微小变化。若容器A中有电荷量相同的铀235和铀238两种离子，如前述情况它们经电场加速后进入磁场中会发生分离，为使这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠，应小于多少？(结果用百分数表示，保留两位有效数字)
【答案】(1) (2) (3)0.63%
222
【解析】(1)设离子经电场加速后进入磁场时的速度为v，由动能定理得：qU = mv2
离子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
解得：U =
(2)设在t时间内收集到的离子个数为N，总电荷量Q = It
Q = Nq
M = Nm =
(3)由以上分析可得：R =
设m/为铀238离子质量，由于电压在U±ΔU之间有微小变化，铀235离子在磁场中最大半径为：Rmax =
铀238离子在磁场中最小半径为：Rmin =
这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠的条件为：Rmax 0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O点发射，沿P板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间。粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
(1)求发射装置对粒子做的功；
(2)电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在h板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l。此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；
(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S接“l”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场(磁感应强度B只能在0～Bm=范围内选取)，使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)。
【答案】(1) (2) (3)
【解析】试题分析： (1)设粒子在P板上匀速运动的速度为v0，由于粒子在P板匀速直线运动，故①
所以，由动能定理知，发射装置对粒子做的功②
解得W=③
说明：①②各2分，③式1分
(2)设电源的电动势E0和板间的电压为U，有④
板间产生匀强电场为E，粒子进入板间时有水平方向的初速度v0
222
，在板间受到竖直方向的重力和电场力作用而做类平抛运动，设运动时间为t1，加速度为a，有⑤
当开关S接“1”时，粒子在电场中做匀变速曲线运动，其加速度为⑥
再由⑦ l=vt1⑧
当开关S接“2”时，由闭合电路欧姆定律知 ⑨
联立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得
(3)由题意分析知，此时在板间运动的粒子重力和电场力平衡。当粒子从k进入两板间后，立即进入磁场物体在电磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动，故分析带电粒子的磁场如图所示，运动轨迹如图所示，粒子出磁场区域后沿DT做匀速直线运动，DT与b板上表面的夹角为θ，
Df与b板上表面即为题中所求θ，设粒子与板间的夹角最大，设为θ，磁场的磁感应强度B取最大值时的夹角为θ，当磁场最强时，R最小，最大设为θm
由，⑾知，
当B减小时，粒子离开磁场做匀速圆周运动的半径也要增大，D点向b板靠近。Df与b板上表面的夹角越变越小，当后在板间几乎沿着b板上表面运动，
当Bm则有图中可知，⑿
⒀，
⒁
联立⑾⑿⒀⒁，将B=Bm带入
解得⒂
当B逐渐减小是，粒子做匀速圆周运动的半径R，D点无线接近向b板上表面时，当粒子离开磁场后在板间几乎沿着b板上表面运动而从T孔飞出板间区域，此时满足题目要求，夹角θ趋近θ0，既
222
θ0＝0⒃
故粒子飞出时与b板夹角的范围是 (17)
说明：⑿⒀⒁⒂⒃(17)各1分
【考点定位】动能定理 牛顿第二定律 闭合电路欧姆定律
110.(2014·广东卷)如图25所示，足够大的平行挡板A1、A2竖直放置，间距6L。两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN为理想分界面，Ⅰ区的磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外。A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2，两孔与分界面MN的距离均为L，质量为m、电荷量为+q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN上的P点，再进入Ⅱ区，P点与A1板的距离是L的k倍。不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。
(1)若k=1，求匀强电场的电场强度E；
(2)若，且粒子沿水平方向从S2射出，求出粒子在磁场中的速度大小v与k的关系式和Ⅱ区的磁感应强度B与k的关系式。
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1)若果k=1，则有：MP=L，
即该情况粒子的轨迹半径为：R=L，
粒子运动轨迹是匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供：
得
粒子在匀强电场中，据动能定理有：
得
222
(2)
由于P距离A1为k，且20)的粒子以初速度v0从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T0，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变。不计重力。
(1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需时间；
(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值。
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：(1)带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，运动周期为T，根据洛仑兹力公式及圆周运动规律，有
①
②
依题意，粒子第一次到达x轴时，运动转过的角度为，所需时间为 ③
联立①②③式得 ④
(2)
222
粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小到0；然后沿原路返回做匀加速运动，到达x轴时速度大小仍为。设粒子在电场中运动的总时间为，加速度大小为a，电场强度大小为E，有 ⑤ ⑥
联立⑤⑥式得 ⑦
根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足 ⑧
联立⑦⑧式得，电场强度的最大值为
考点：带电粒子在电磁场中的运动
【方法技巧】解决带电粒子在电磁场中的运动问题时，要深入细致的理解题意，并根据题干描述，找出关键位置，画出粒子的运动草图，灵活运用各种几何关系来求解。
121.(2015·全国新课标Ⅱ卷·T 24)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的例子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。
【答案】
【解析】设带电粒子在B点的速度大小为vB，粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即
vBsin30°=v0sin60°
由此得
设A、B两点间的电热差为UAB，由动能定理有：
解得
【考点定位】动能定理；带电粒子在电场中运动
122.(2015·重庆卷·T7)音圈电机是一种应用于硬盘、光驱等系统的特殊电动机.题7图是某音圈电机的原理示意图，它由一对正对的磁极和一个正方形刚性线圈构成，线圈边长为，匝数为，磁极正对区域内的磁感应强度方向垂直于线圈平面竖直向下，大小为，区域外的磁场忽略不计.
222
线圈左边始终在磁场外，右边始终在磁场内，前后两边在磁场内的长度始终相等.某时刻线圈中电流从P流向Ｑ，大小为.
(１)求此时线圈所受安培力的大小和方向。
(２)若此时线圈水平向右运动的速度大小为，求安培力的功率.
【答案】(1)，方向水平向右 ；(2)
【解析】(1)线圈的右边受到磁场的安培力，共有条边，
故
由左手定则，电流向外，磁场向下，安培力水平向右
(2)安培力的瞬时功率为
【考点定位】考查安培力、功率。
【方法技巧】三大定则和一个定律的运用通电受力用左手，运动生流用右手，磁生电和电生磁都用右手握一握。
123.(2015·全国新课标Ⅰ卷·T24)如图，一长为10cm的金属棒ab用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应强度大小为0.1T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘，金属棒通过开关与一电动势为12V的电池相连，电路总电阻为2Ω。已知开关断开时两弹簧的伸长量均为0.5cm；闭合开关，系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了0.3cm，重力加速度大小取10m/s2。判断开关闭合后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量。
【答案】
【解析】金属棒通电后，闭合回路电流
导体棒受到安培力
根据安培定则可判断金属棒受到安培力方向竖直向下
开关闭合前
222
开关闭合后
【考点定位】安培力
124.(2015·浙江卷·T24)小明同学设计了一个“电磁天平”，如图1所示，等臂天平的左臂为挂盘，右臂挂有矩形线圈，两臂平衡。线圈的水平边长L=0.1m，竖直边长H=0.3m，匝数为。线圈的下边处于匀强磁场内，磁感应强度，方向垂直线圈平面向里。线圈中通有可在0~2.0A范围内调节的电流I。挂盘放上待测物体后，调节线圈中电流使得天平平衡，测出电流即可测得物体的质量。(重力加速度取)
(1)为使电磁天平的量程达到0.5kg，线圈的匝数至少为多少
(2)进一步探究电磁感应现象，另选匝、形状相同的线圈，总电阻，不接外电流，两臂平衡，如图2所示，保持不变，在线圈上部另加垂直纸面向外的匀强磁场，且磁感应强度B随时间均匀变大，磁场区域宽度。当挂盘中放质量为0.01kg的物体时，天平平衡，求此时磁感应强度的变化率。
【答案】(1)匝(2)
【解析】(1)线圈受到安培力 ①
天平平衡 ②
代入数据得匝 ③
(2)由电磁感应定律得 ④
⑤
由欧姆定律得 ⑥
线圈受到安培力 ⑦
222
天平平衡 ⑧
代入数据可得 ⑨
【考点定位】法拉第电磁感应，欧姆定律，安培力，
【方法技巧】该题的关键是分析好安培力的方向，列好平衡方程，基础题
125.(2015·海南卷·T13)如图，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距，左端与一电阻R相连；整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。一质量为m的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨以速度匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略。求
(1)电阻R消耗的功率；
(2)水平外力的大小。
【答案】(1)(2)
【解析】(1)导体切割磁感线运动产生的电动势为，
根据欧姆定律，闭合回路中的感应电流为
电阻R消耗的功率为，联立可得
(2)对导体棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力，向右的外力，三力平衡，故有，，故
【考点定位】导体切割磁感线运动
126.(2015·安徽卷·T23)在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E(图中未画出)，由A点斜射出一质量为m，带电荷量为+q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l0为常数。粒子所受重力忽略不计。求：
222
(1)粒子从A到C过程中电场力对它做的功；
(2)粒子从A到C过程所经历的时间；
(3)粒子经过C点时的速率。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)。
(2)根据抛体运动的特点，粒子在x方向做匀速直线运动，由对称性可知轨迹最高点D在y轴上，可令，则
由，得
又，，解得
则A到C过程所经历的时间
(3)粒子在DC段做平抛运动，于是有
，
考点：本题考查带电粒子在电场中的运动、抛体运动等知识
127.(2015·浙江卷·T25)
222
使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出，离子束引出的方法有磁屏蔽通道法和静电偏转法等。质量为m，速度为v的离子在回旋加速器内旋转，旋转轨道时半径为r的圆，圆心在O点，轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B。为引出离子束，使用磁屏蔽通道法设计引出器。引出器原理如图所示，一堆圆弧形金属板组成弧形引出通道，通道的圆心位于点(点图中未画出)。引出离子时，令引出通道内磁场的磁感应强度降低，从而使离子从P点进入通道，沿通道中心线从Q点射出。已知OQ长度为L。OQ与OP的夹角为，
(1)求离子的电荷量q并判断其正负；
(2)离子从P点进入，Q点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为，求；
(3)换用静电偏转法引出离子束，维持通道内的原有磁感应强度B不变，在内外金属板间加直流电压，两板间产生径向电场，忽略边缘效应。为使离子仍从P点进入，Q点射出，求通道内引出轨迹处电场强度E的方向和大小。
【答案】(1)，正电荷(2)(3)
【解析】(1)离子做圆周运动 ①
解得，正电荷 ②
(2)如图所示
，，
引出轨迹为圆弧 ③
222
解得 ④
根据几何关系得 ⑤
解得 ⑥
(3)电场强度方向沿径向向外 ⑦
引出轨迹为圆弧 ⑧
解得
【考点定位】回旋加速器，带电粒子在电磁场中的运动
128.(2015·上海卷·T32)如图(a)两相距L=0.5m的平行金属导轨固定于水平面上，导轨左端与阻值R=2Ω的电阻连接，导轨间虚线右侧存在垂直导轨平面的匀强磁场，质量m=0.2kg的金属杆垂直于导轨上，与导轨接触良好，导轨与金属杆的电阻可忽略，杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，并始终与导轨垂直，其v-t图像如图(b)所示，在15s时撤去拉力，同时使磁场随时间变化，从而保持杆中电流为0，求：
(1)金属杆所受拉力的大小为F；
(2)0-15s匀强磁场的磁感应强度大小为；
(3)15-20s内磁感应强度随时间的变化规律。
【答案】(1)0.24N；(2)0.4T；(3)
【解析】(1)由v-t关系图可知在0-10s时间段杆尚未进入磁场，因此
F-μmg=ma1
由图可知a1=0.4m/s2
同理可知在15—20s时间段杆仅有摩擦力作用下运动
μmg=ma2
由图可知a2=0.8m/s2
解得F=0.24N
222
(2)在10—15s时间段杆在磁场中做匀速运动，因此有
以F=0.24N，μmg=0.16N代入
解得B0=0.4T
(3)由题意可知在15—20s时间段通过回路的磁通量不变，设杆在15—20s内运动距离为d，15s后运动的距离为x
B(t)L(d+x)=B0Ld
其中d=20m
x=4(t-15)-0.4(t-15)2
由此可得
【考点定位】牛顿第二定律；导体棒切割磁感线
129.(2015·山东卷·T24)如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m，电量为+q的粒子由小孔下方d/2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。
(1)求极板间电场强度的大小；
(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；
(3)若Ⅰ区，Ⅱ区磁感应强度的大小分别为2mv/qD，4mv/qD，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程。
【答案】(1)(2)或(3)5.5πD
【解析】(1)粒子在电场中，根据动能定理：，解得
222
(2)若粒子的运动轨迹与小圆相切，则当内切时，半径为
有，解得
则当外切时，半径为
有，解得
(3)若Ⅰ区域的磁感应强度为，则粒子运动的半径为；Ⅱ区域的磁感应强度为，则粒子运动的半径为；
设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动公式可得：
；
据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图所示，根据对称性可知，Ⅰ区两段圆弧所对的圆心角相同，设为θ1，Ⅱ区内圆弧所对圆心角为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为α，由几何关系可得：；；
粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得：；
222
设粒子运动的路程为s，由运动公式可知：s=v(t1+t2)
联立上述各式可得：s=5.5πD
【考点定位】带电粒子在匀强磁场中的运动；动能定理。
130.(2015·上海卷·T33)如图，在场强大小为E、水平向右的匀强电场中，一轻杆可绕固定转轴O在竖直平面内自由转动。杆的两端分别固定两电荷量均为q的小球A、B；A带正电，B带负电；A、B两球到转轴O的距离分别为2l、l，所受重力大小均为电场力大小的倍，开始时杆与电场夹角为()。将杆从初始位置由静止释放，以O点为重力势能和电势能零点。求：
(1)初始状态的电势能；
(2)杆在平衡位置时与电场间的夹角；
(3)杆在电势能为零处的角速度。
【答案】(1)-3qElcosθ；(2)30°；(3)当θ<150°时，；当θ150°时，或
【解析】(1)初态：We=qV++(-q)V=q(V+-V-)=-3qElcosθ
(2)平衡位置如图，
222
设小球的质量为m，合力矩为
3qElsinα-mglcosα=0
由此得
α=30°
(3)电势能为零时，杆处于竖直位置，当初始时OA与电场间夹角θ=150°时，A恰好能到达O正上方，在此位置杆的角速度为0
当θ<150°时，A位于O正下方处电势能为零。
初态：We=—3qElcosθ，Ep=mglsinθ
末态：，
能量守恒：
解得
当θ150°时，电势能为0有两处，即A位于O正下方或正上方处
当A位于O正下方时，
当A位于O正上方时，
解得
考点：能量守恒定律；有固定转动轴物体平衡
【考点定位】能量守恒定律；有固定转动轴物体平衡
131.(2015·天津卷·T11)
222
如图所示，凸字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动，在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q。线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g；求
(1)线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的 几倍
(2)磁场上下边界间的距离H
【答案】(1)； (2)
【解析】设磁场的磁感应强度大小写为B，cd边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v1，cd边上的感应电动势为E1，由法拉第电磁感应定律可得：
设线框总电阻为R，此时线框中电流为I1，由闭合电路欧姆定律可得：
设此时线械所受安培力为F1，有：
由于线框做匀速运动，故受力平衡，所以有：
联立解得：
设ab边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v2，同理可得：
故可知：
(2线框自释放直到cd边进入磁场前，由机械能守恒定律可得：
线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律可得：
联立解得：
222
考点：法拉第电磁感应定律、欧姆定律、共点力平衡、机械能守恒、能量守恒定律
132.(2015·天津卷·T12)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。在真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度的大小与轨迹半径
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为，试求
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之
【答案】(1)； (2)； (3)见解析；
【解析】(1)粒子在进入第2层磁场时，经两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功，由动能定理，有：
解得：
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有：
联立解得：
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn(下标表示粒子所在层数)，
粒子进入到第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为
222
，从第n层磁场右侧边界突出时速度方向与水平方向的夹角为，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有：
由图根据几何关系可以得到：
联立可得：
由此可看出，，…，为一等差数列，公差为d，可得：
当n=1时，由下图可看出：
联立可解得：
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则：
，
在其他条件不变的情况下，打印服务比荷更大的粒子，设其比荷为
222
，假设通穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为，由于，则导致：
说明不存在，即原假设不成立，所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。
考点：带电粒子在电磁场中的运动
133.(2015·北京卷·T24)真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示，光照前两板都不带电，以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。假设所有逸出的电子都垂直于A板向B板运动，忽略电子之间的相互作用，保持光照条件不变，a和b为接线柱。已知单位时间内从A板逸出的电子数为N，电子逸出时的最大动能为，元电荷为e。
(1)求A板和B板之间的最大电势差，以及将a、b短接时回路中的电流Im。
(2)图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r.
(3)在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U，外电阻上消耗的电功率设为P;单位时间内到达B板的电子，在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为，请推导证明：.
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明)
【答案】(1) ， (2) ， (3)
【解析】
(1)光照射A板后，A板发出的光电子不断打到B板上，在AB之间形成电场，将阻碍后续发出的光电子向B运动。当AB之间的电势差达到最大值时，以最大初动能从A板逸出的光电子也刚好不能到达B板，由动能定理可得：
解得：
短路时，在A板上方设置与A平行、面积等大的参考面，时间t内通过该参考面的电荷量，根据电流定义式，可得：
222
(2)电源电动势等于开路时的路端电压，故
由闭合电路的欧姆定律可得
解得
(3)设单位时间内到达B板的光电子数为，则电路中的电流
则外电阻消耗的功率
光电阻在两极板中运动时，两极板间电压为，每个电子损失的动能
则单位时间内到达B板的电子损失的总动能
联立解得：
故
【考点定位】光电效应、闭合电路欧姆定律、电流的微观解释、电场。
134.(2015·江苏卷·T13)做磁共振检查时，对人体施加的磁场发生变化时会在肌肉组织中产生感应电流。某同学为了估算该感应电流对肌肉组织的影响，将包裹在骨骼上一圈肌肉组织等效成单匝线圈，线圈的半径r=5.0cm，线圈导线的横截面积A=0.80cm2，电阻率，如图所示，匀强磁场方向与线圈平面垂直，若磁感应强度B在0.3s内从1.5T均匀地减小为零，求(计算结果保留一位有效数字)
(1)该圈肌肉组织的电阻R；
(2)该圈肌肉组织中的感应电动势E；
(3)0.3s内该圈肌肉组织中产生的热量Q。
【答案】(1)6×103Ω (2)4×10-2V (3)8×10-8J
【解析】(1)由电阻定律，解得R=6×103Ω
(2)感应电动势，解得E=4×10-2V
(3)由焦耳定律得：，解得：Q=8×10-8
【考点】考查感应电动势
222
135.(2015·广东卷·T35)如图17(a)所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4m，导轨右端接有阻值R＝1Ω的电阻，导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计，导轨间正方形区域abcd内有方向竖直向下的匀强磁场，bd连线与导轨垂直，长度也为L，从0时刻开始，磁感应强度B的大小随时间t变化，规律如图17(b)所示；同一时刻，棒从导轨左端开始向右匀速运动，1s后刚好进入磁场，若使棒在导轨上始终以速度v＝1m/s做直线运动，求：
(1)棒进入磁场前，回路中的电动势E；
(2)棒在运动过程中受到的最大安培力F，以及棒通过三角形abd区域时电流i与时间t的关系式。
【答案】(1)E＝0.04V；(2)Fm＝0.04N，i＝t－1(其中，1s≤t≤1.2s)。
【解析】(1)在棒进入磁场前，由于正方形区域abcd内磁场磁感应强度B的变化，使回路中产生感应电动势和感应电流，根据法拉第电磁感应定律可知，在棒进入磁场前回路中的电动势为E＝＝0.04V
(2)当棒进入磁场时，磁场磁感应强度B＝0.5T恒定不变，此时由于导体棒做切割磁感线运动，使回路中产生感应电动势和感应电流，根据法拉第电磁感应定律可知，回路中的电动势为：e＝Blv，当棒与bd重合时，切割有效长度l＝L，达到最大，即感应电动势也达到最大em＝BLv＝0.2V＞E＝0.04V
根据闭合电路欧姆定律可知，回路中的感应电流最大为：im＝＝0.2A
根据安培力大小计算公式可知，棒在运动过程中受到的最大安培力为：Fm＝imLB＝0.04N
在棒通过三角形abd区域时，切割有效长度l＝2v(t－1)(其中，1s≤t≤＋1s)
综合上述分析可知，回路中的感应电流为：i＝＝(其中，1s≤t≤＋1s)
即：i＝t－1(其中，1s≤t≤1.2s)
【考点定位】法拉第电磁感应定律的理解与应用、电磁感应的综合应用。
136.(2015·福建卷·T22)如图，绝缘粗糙的竖直平面MN
222
左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h，重力加速度为g。
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vc；
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vp.
【答案】(1)E/B (2)(3)
【解析】
试题分析：(1)由题意知，根据左手定则可判断，滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力，当洛伦兹力等于电场力qE时滑块离开MN开始做曲线运动，即Bqv=qE
解得：v=E/B
(2)从A到C根据动能定理：
解得：
(3)设重力与电场力的合力为F，由图意知，在D点速度vD的方向与F地方向垂直，从D到P做类平抛运动，在F方向做匀加速运动a=F/m，t时间内在F方向的位移为
从D到P，根据动能定理：，其中
联立解得：
【考点】：带电粒子在复合场中的运动
137.(2015·重庆卷·T9)题9图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场.其中和是间距为的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔和，，P为靶点，(为大于1的整数).
222
极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为.质量为、带电量为的正离子从点由静止开始加速，经进入磁场区域.当离子打到极板上区域(含点)或外壳上时将会被吸收.两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过.忽略相对论效应和离子所受的重力.求：
(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小；
(2)能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值；
(3)打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。
【答案】(1) (2)，
(3)，
【解析】(1)离子经电场加速，由动能定理：，可得
磁场中做匀速圆周运动，
刚好打在P点，轨迹为半圆，由几何关系可知
联立解得
(2)若磁感应强度较大，设离子经过一次加速后若速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在P点，而做圆周运动到达右端，再匀速直线到下端磁场，将重新回到O点重新加速，直到打在P点。设共加速了n次，有：
222
且
解得：，
要求离子第一次加速后不能打在板上，有，且，
解得：
故加速次数n为正整数最大取
即
(3)加速次数最多的离子速度最大，取，离子在磁场中做n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P点。
由匀速圆周运动
电场中一共加速n次，可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式
可得：
【考点定位】带电粒子在电场和磁场中的运动、牛顿第二定律、运动学公式。
138.(2015·四川卷·T11)如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ。均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ(μ较小)，由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止。空间有方向竖直的匀强磁场(图中未画出)。两金属棒与导轨保持良好接触。不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g。
222
(1)若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；
(2)在(1)问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电荷量；
(3)若ab棒以垂直于NQ的速度v2在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止。求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离。
【答案】(1)Qef＝；(2)q＝；(3)Bm＝，方向竖直向上或竖直向下均可，xm＝
【解析】(1)由于ab棒做切割磁感线运动，回路中产出感应电流，感应电流流经电阻R和ef棒时，电流做功，产生焦耳热，根据功能关系及能的转化与守恒有：＝QR＋Qef ①
根据并联电路特点和焦耳定律Q＝I2Rt可知，电阻R和ef棒中产生的焦耳热相等，即QR＝Qef ②
由①②式联立解得ef棒上产生的热量为：Qef＝
(2)设在ab棒滑行距离为d时所用时间为t，其示意图如下图所示：
该过程中回路变化的面积为：ΔS＝[L＋(L－2dcotθ)]d ③
根据法拉第电磁感应定律可知，在该过程中，回路中的平均感应电动势为：＝ ④
根据闭合电路欧姆定律可知，流经ab棒平均电流为：＝ ⑤
根据电流的定义式可知，在该过程中，流经ab棒某横截面的电荷量为：q＝ ⑥
222
由③④⑤⑥式联立解得：q＝
(3)由法拉第电磁感应定律可知，当ab棒滑行x距离时，回路中的感应电动势为：e＝B(L－2xcotθ)v2 ⑦
根据闭合电路欧姆定律可知，流经ef棒的电流为：i＝ ⑧
根据安培力大小计算公式可知，ef棒所受安培力为：F＝iLB ⑨
由⑦⑧⑨式联立解得：F＝ ⑩
由⑩式可知，当x＝0且B取最大值，即B＝Bm时，F有最大值Fm，ef棒受力示意图如下图所示：
根据共点力平衡条件可知，在沿导轨方向上有：Fmcosα＝mgsinα＋fm⑪
在垂直于导轨方向上有：FN＝mgcosα＋Fmsinα ⑫
根据滑动摩擦定律和题设条件有：fm＝μFN ⑬
由⑩⑪⑫⑬式联立解得：Bm＝
显然此时，磁感应强度的方向竖直向上或竖直向下均可
由⑩式可知，当B＝Bm时，F随x的增大而减小，即当F最小为Fmin时，x有最大值为xm，此时ef棒受力示意图如下图所示：
根据共点力平衡条件可知，在沿导轨方向上有：Fmincosα＋fm＝mgsinα ⑭
在垂直于导轨方向上有：FN＝mgcosα＋Fminsinα ⑮
由⑩⑬⑭⑮式联立解得：xm＝
【考点定位】功能关系、串并联电路特征、闭合电路欧姆定律、法拉第电磁感应定律、楞次定律、共点力平衡条件的应用，和临界状态分析与求解极值的能力
222
139.(2015·江苏卷·T15)一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经过加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上，已知放置底片区域已知放置底片的区域MN =L，且OM =L。某次测量发现MN中左侧2/3区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧1/3区域QN仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到.
(1)求原本打在MN中点P的离子质量m；
(2)为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围；
(3)为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数。(取；)
【答案】(1) (2) (3)3次
【解析】(1)离子在电场中加速：
在磁场中做匀速圆周运动：
解得：
代入，解得
(2)由(1)知， 离子打在Q点，
离子打在N点r=L，，则电压的范围
(3)由(1)可知，
由题意知，第1次调节电压到U1，使原本Q点的离子打在N点
222
此时，原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上
解得
第2次调节电压到U2，原本打在Q1的离子打在N点，半径为r2的打在Q2的离子打在Q上，则：
，
解得
同理，第n次调节电压，有
检测完整，有
解得：
最少次数为3次
【考点】考查带电粒子在复合场中的运动
140.(2013·广东卷·T36)如图19(a)所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径为r的金属圆盘绕过圆心O的轴承转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接，电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件。流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图19(b)所示，其中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点。ω>0代表圆盘逆时针转动。已知：R=3.0Ω，B=1.0T，r=0.2m。忽略圆盘、电流表和导线的电阻。
222
(1)根据图19(b)写出ab、bc段对应I与ω的关系式；
(2)求出图19(b)中b、c两点对应的P两端的电压Ub、Uc；
(3)分别求出ab、bc段流过P的电流IP与其两端电压UP的关系式.
【答案】(1) (-45rad/s≤ω≤15 rad/s)； (15rad/s≤ω≤45 rad/s)
(2)
(3) (0≤ω≤15 rad/s)或 (-45rad/s≤ω≤0)
(15rad/s≤ω≤45 rad/s)
【解析】(1)由图可知，在ab段，直线斜率， 故对应I与ω的关系式为： (-45rad/s≤ω≤15 rad/s)；在bc段，直线斜率，设表达式，把ω=45rad/s，I=0.4A
代入解得，故对应的转动的角速度为。
圆盘产生的电势，解得
由于圆盘、电流表、导线电阻不计，因此P两端的电压为0.3V。
同理，C点对应的圆盘转动的角速度，圆盘产生的电动势，因此P两端的电压为0.9V.
(3)b点时，定值电阻R中电流，与电流表的示数相等，说明这时宫电流为零，因此ab段，P中的电流为零，电压范围为[0.3V，-0.9V]
而bc段：。
【考点定位】电磁感应定律、闭合欧姆定律、图象问题
141.(2013·福建卷·T22)如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q(q＞0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的影响。
222
(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A(a，0)点，求v1的大小；
(2)已知一粒子的初速度大小为v(v＞v1)，为使该粒子能经过A(a，0)点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sinθ值；
(3)如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。
【答案】(1)；(2)两个 sinθ=；(3)＋。
【解析】(1)带电粒子以初速度v1沿y轴正方向入射后，在磁场中做匀速圆周运动，刚好转过半周到达x轴上的A点，设此时的轨道半径为R1，
有：R1=a/2 ①
由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律
有：qBv1= ②
由①②式联立解得：v1=。
(2)带电粒子以初速度v入射时，在磁场中仍然做匀速圆周运动，设此时轨道为R，对照②式可知：R= ③
由于v＞v1，则R＞R1=a/2，要使其圆轨迹能经过A点，则θ≠90°，绘出粒子的轨
222
迹图如图所示，轨迹圆有两个，但圆心都落在OA的中垂线上，设做两个圆周运动的速度方向与X轴正方向的夹角分别为和，
根据图中几何关系有： ④
由③④联立解得：
(3)粒子在磁场中仅受洛仑兹力和电场力作用。又洛仑兹力不做功，只有电场力做功，根据题意可知，当粒子运动至+y方向最远处时，速度最大为，且沿+x方向，设+y方向最远处的y坐标为，由题可知 ⑤
根据动能定理的： ⑥
又因比例系数与电场强度E无关，因此若克电场，粒子将以速度v0做匀速圆周运动，设轨道半径为R0，此时在+y方向最远处的y坐标R0，
有 ⑦
对照②式可知：R0＝ ⑧
由⑤⑥⑦⑧式联立解得：vm=+
【考点定位】本题主要考查带电粒子在磁场、复合场中的运动问题，以及分析问题、从题干中提取有用信息的能力问题。难度较大。
142.(2013·安徽卷·T23)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强电场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：
222
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。
【答案】(1) (2)，方向与x轴的夹角为45° (3)
【解析】(1)粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中的运动时间为t，则
，，，联立以上各式，可得。
(2)粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度vy=at=，所以
设此时速度方向与x轴的夹角为α，则tanα=vy/v0=1，所以α=45°，即速度方向与x轴的夹角为45°。
(3)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，当粒子恰好从b点射出时，粒子做圆周运动的轨道半径最大，此时abc区域内的磁感应强度最小。做出粒子的运动轨迹如图所示。
由几何关系知，粒子在磁场中运动的轨迹所对圆心角为90°
轨道半径，又，可得。
【考点定位】平抛运动的规律、牛顿第二定律、运动的合成与分解的应用及带电粒子在匀强磁场中的运动问题等。
143.(2016·北京卷)如图所示，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动。不计带电粒子所受重力。
222
(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R和周期T；
(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E的大小。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)洛伦兹力提供向心力，有
带电粒子做匀速圆周运动的半径
匀速圆周运动的周期
(2)粒子受电场力，洛伦兹力。粒子做匀速直线运动，则
场强E的大小
【考点定位】带电粒子在复合场中的运动
【方法技巧】带电粒子在复合场中运动问题的分析思路
1.正确的受力分析：除重力、弹力和摩擦力外，要特别注意电场力和磁场力的分析。
2.正确分析物体的运动状态：找出物体的速度、位置及其变化特点，分析运动过程。如果出现临界状态，要分析临界条件。带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子的受力情况。
(1)当粒子在复合场内所受合力为零时，做匀速直线运动(如速度选择器)。
(2)当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)当带电粒子所受的合力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程也可能由几种不同的运动阶段所组成。
144.(2016·北京卷)如图所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于版面的方向射入偏转电场，并从另一侧射出。已知电子质量为m，电荷量为e，加速电场电压为。偏转电场可看作匀强电场，极板间电压为U，极板长度为L，板间距为d。
222
(1)忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时的初速度v0和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离Δy；
(2)分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。在解决(1)问时忽略了电子所受重力，请利用下列数据分析说明其原因。已知，，，，。
(3)极板间既有静电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势的定义式。类比电势的定义方法，在重力场中建立“重力势”的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点。
【答案】(1) (2)不需要考虑电子所受的重力 (3) 电势和重力势都是反映场的能的性质的物理量，仅仅由场自身的因素决定。
【解析】(1)根据功和能的关系，有
电子射入偏转电场的初速度
在偏转电场中，电子的运动时间
偏转距离
(2)考虑电子所受重力和电场力的数量级，有
重力
电场力
由于，因此不需要考虑电子所受重力
(3)电场中某点电势定义为电荷在该点的电势能与其电荷量q的比值，即
由于重力做功与路径无关，可以类比静电场电势的定义，将重力场中物体在某点的重力势能与其质量m的比值，叫做“重力势”，即
222
电势和重力势都是反映场的能的性质的物理量，仅由场自身的因素决定
【考点定位】带电粒子在电场中的偏转
【方法技巧】带电粒子在电场中偏转问题，首先要对带电粒子在这两种情况下进行正确的受力分析，确定粒子的运动类型。解决带电粒子垂直射入电场的类型的题，应用平抛运动的规律进行求解。此类型的题要注意是否要考虑带电粒子的重力，原则是：除有说明或暗示外，对基本粒子(例如电子，质子、α粒子、离子等)一般不考虑重力；对带电微粒(如液滴、油滴、小球、尘埃等)一般要考虑重力。
145.(2016·海南卷)如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L。在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t0。不计重力。
(1)求磁场的磁感应强度的大小；
(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；
(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为，求粒子此次入射速度的大小。
【答案】(1) (2)2t0 (3)
【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t0内其速度方向改变了90°，故其周期T=4t0①
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r。由洛伦兹力公式和牛顿定律得
②
222
匀速圆周运动的速度满足③
联立①②③式得④
(2)设粒子从OA边两个不同位置射入磁场，能从OC边上的同一点P射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2。由几何关系有θ1=180°–θ2⑤
粒子两次在磁场中运动的时间分别为t1与t2，则t1+t2==2t0⑥
(3)如图(b)，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为150°。设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r 0，圆弧与AC相切与B点，从D点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有∠OO'D=∠BO'A=30°⑦
r0cos∠OO'D+=L⑧
设粒子此次入射速度的大小为v0，由圆周运动规律⑨
联立①⑦⑧⑨式得⑩
【考点定位】带电粒子在磁场中的运动
【名师点睛】对于带电粒子在磁场中运动类型，要画出轨迹，善于运用几何知识帮助分析和求解，这是轨迹问题的解题关键。
146.(2016·江苏卷)回旋加速器的工作原理如题15-1图所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为+q，加在狭缝间的交变电压如题15-2图所示，电压值的大小为U0.周期T=.一束该种粒子在t=0~时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零.
222
现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用.求：
(1)出射粒子的动能；
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到所需的总时间；
(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d应满足的条件.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)粒子运动半径为R时
且
解得
(2)粒子被加速n次达到动能Em，则Em=nqU0
粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt
加速度
匀加速直线运动
由，解得
(3)只有在0~时间内飘入的粒子才能每次均被加速
则所占的比例为
222
由,解得.
【考点定位】回旋加速器、带电粒子在电磁场中的运动
【方法技巧】考查回旋加速器的原理，能获得的最大速度对应最大的轨道半径，即D形盒的半径，粒子在加速器运动的时间分两部分，一是在磁场中圆周运动的时间，二是在电场中的匀加速运动时间，把加速过程连在一起就是一匀加速直线运动。
147.(2016·上海卷)如图，一关于y轴对称的导体轨道位于水平面内，磁感应强度为B的匀强磁场与平面垂直。一足够长，质量为m的直导体棒沿x轴方向置于轨道上，在外力F作用下从原点由静止开始沿y轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动，运动时棒与x轴始终平行。棒单位长度的电阻为ρ，与电阻不计的轨道接触良好，运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=ky(SI)。求：
(1)导体轨道的轨道方程y=f(x)；
(2)棒在运动过程中受到的安培力Fm随y的变化关系；
(3)棒从y=0运动到y=L过程中外力F的功。
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)设棒运动到某一位置时与轨道接触点的坐标为(±)，安培力的功率
棒做匀加速运动，
代入前式得
轨道形状为抛物线。
222
(2)安培力=
以轨道方程代入得
(3)由动能定理
安培力做功
棒在处动能
外力做功。
【考点定位】安培力、功率、匀变速直线运动规律、动能定理
【方法技巧】根据安培力的功率，匀变速直线运动位移速度关系，导出轨道的轨道方程和安培力随y的变化关系；通过动能定理计算棒运动过程中外力做的功。
148.(2016·天津卷)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球，质量m=1×10–6 kg，电荷量q=2×10–6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g=10 m/s2。求：
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
【答案】(1)20 m/s，与电场方向夹角为60° (2)3.5 s
【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB=①
代入数据解得v=20 m/s②
222
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足tan θ=③
代入数据解得tan θ=，θ=60°④
(2)撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运送没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy=vsin θ⑤
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有vyt–gt2=0⑥
联立⑤⑥式，代入数据解得t=2s=3.5 s⑦
【考点定位】物体的平衡、牛顿运动定律的应用、平抛运动
【名师点睛】此题是带电粒子在复合场中的运动问题，主要考察物体的平衡、牛顿运动定律的应用、平抛运动等知识；关键是要知道物体做匀速直线运动时，物体所受的重力、洛伦兹力和电场力平衡；撤去磁场后粒子所受重力和电场力都是恒力，将做类平抛运动；知道了物体的运动性质才能选择合适的物理规律列出方程求解。
149.(2016·天津卷)电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ。一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ。为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g。
222
(1)求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
(2)若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
(3)在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b'>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化。
【答案】(1) (2)v= (3)见解析
【解析】(1)磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等均为F安，有
F安=IdB①
磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小有
F=2F安②
磁铁匀速运动时受力平衡，则有F–mgsin θ=0③
联立①②③式可得I=④
(2)磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为E，有E=Bdv⑤
铝条与磁铁正对部分的电阻为R，由电阻定律有R=ρ⑥
由欧姆定律有I=⑦
联立④⑤⑥⑦式可得 v=⑧
(3)磁铁以速度v进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F，联立①②⑤⑥⑦式可得F=⑨
当铝条的宽度b'>b时，磁铁以速度v进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为F'，有F'=
222
⑩
可见，F'>F=mgsin θ，磁铁所受到的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下滑，此时加速度最大。之后，随着运动速度减小，F'也随着减小，磁铁所受的合力也减小，由于磁铁加速度与所受到的合力成正比，磁铁的加速度逐渐减小。综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动。直到F'=mgsin θ时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑。
【考点定位】安培力、物体的平衡、电阻定律、欧姆定律
【名师点睛】此题以电磁缓冲器为背景设置题目，综合考查了安培力、物体的平衡、电阻定律及欧姆定律等知识点，要求学生首先理解题意，抽象出物理模型，选择适当的物理规律列出方程求解；此题综合性较强，能较好地考查考生综合分析问题与解决问题的能力。
150.(2016·四川卷)如图所示，图面内有竖直线DD＇，过DD＇且垂直于图面的平面将空间分成I、II两区域。区域I有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场B(图中未画出)；区域II有固定在水平面上高、倾角的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD＇距离，区域II可加竖直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C点在DD＇上，距地面高。零时刻，质量为m、带电量为q的小球P在K点具有大小、方向与水平面夹角的速度。在区域I内做半径的匀速圆周运动，经C点水平进入区域II。某时刻，不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P相遇。小球视为质点，不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响。l已知，g为重力加速度。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求释放小球A的时刻tA；
(3)若小球A、P在时刻(β为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域II的匀强电场的场强E，并讨论场强E的极大值和极小值及相应的方向。
222
【答案】(1)；(2)(3)场强极小值为；场强极大值为，方向竖直向上。
【解析】(1)由题知，小球P在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，有①
代入数据解得②
(2)小球P在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C点的时刻为tC，到达斜面低端时刻为t1，有③
④
小球A释放后沿斜面运动加速度为aA，与小球P在时刻t1相遇于斜面底端，有⑤
⑥
联立以上方程可得⑦
(3)设所求电场方向向下，在t'A时刻释放小球A，小球P在区域Ⅱ运动加速度为aP，有
⑧
⑨
⑩
联立相关方程解得
对小球P的所有运动情形讨论可得
由此可得场强极小值为；场强极大值为，方向竖直向上。
考点：平抛运动；圆周运动；牛顿第二定律的应用
222
【名师点睛】此题是力、电、磁及运动大拼盘，综合考查带电粒子在磁场中及电场中的运动—圆周运动以及平抛运动和下斜面上的匀加速运动等问题；解题时要能把这些复杂的物理过程分解为一个一个的小过程，然后各个击破；此题是有一定难度的；考查学生综合分析问题，解决问题的能力。
151.(2016·全国新课标Ⅱ卷)如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t=0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
(2)电阻的阻值。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得ma=F-μmg①
设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有v=at0②
当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为E=Blv③
联立①②③式可得E=Blt0④
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆的电流为I，根据欧姆定律I=⑤
式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为f=BIl⑥
因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得F–μmg–f=0⑦
联立④⑤⑥⑦式得R=⑧
【考点定位】电磁感应定律、牛顿第二定律
【名师点睛】此题是法拉第电磁感应定律与牛顿第二定律的综合应用问题；解题时要认真分析物理过程，分析金属棒的受力情况，选择合适的物理规律列出方程求解；还要抓住金属板的匀速运动状态列方程；此题难度不大。
222
152.(2016·浙江卷)小明设计的电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距l=0.50 m，倾角θ=53°，导轨上端串接一个R=0.05 Ω的电阻。在导轨间长d=0.56 m的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B=2.0 T。质量m=4.0 kg的金属棒CD水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH相连。CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s=0.24 m。一位健身者用恒力F=80 N拉动GH杆，CD棒由静止开始运动，上升过程中CD棒始终保持与导轨垂直。当CD棒到达磁场上边界时健身者松手，触发恢复装置使CD棒回到初始位置(重力加速度g=10 m/s2，sin 53°=0.8，不计其他电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量)。求
(1)CD棒进入磁场时速度v的大小；
(2)CD棒进入磁场时所受的安培力FA的大小；
(3)在拉升CD棒的过程中，健身者所做的功W和电阻产生的焦耳热Q。
【答案】(1)2.4 m/s (2)48 N (3)64 J 26.88 J
【解析】(1)由牛顿定律①
进入磁场时的速度②
(2)感应电动势③
感应电流④
安培力⑤
代入得⑥
(3)健身者做功⑦
由牛顿定律；⑧
CD棒在磁场区做匀速运动
222
在磁场中运动时间⑨
焦耳热⑩
【考点定位】法拉第电磁感应定律；牛顿第二定律；功
【名师点睛】此题是关于电磁感应现象中的力及能量的问题。解题时要认真分析物理过程，搞清物体的受力情况及运动情况，并能选择合适的物理规律列出方程解答；此题难度中等，意在考查学生综合运用物理规律解题的能力。
153.(2016·浙江卷·T25)为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转。
扇形聚焦磁场分布的简化图如图所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布。峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场。质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示。
(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B' ，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B'和B的关系。已知：sin(α±β )=sin αcos β±cos αsin β，cosα=1–2
【答案】(1) 旋转方向为逆时针方向 (2) (3)
222
【解析】(1)封区内圆弧半径①
旋转方向为逆时针方向②
(2)由对称性，封区内圆弧的圆心角③
每个圆弧的长度④
每段直线长度⑤
周期⑥
代入得⑦
(3)谷区内的圆心角⑧
谷区内的轨道圆弧半径⑨
由几何关系⑩
由三角关系⑪
代入得⑫
【考点定位】带电粒子在匀强磁场中的运动
【名师点睛】此题是关于带电粒子在匀强磁场中的运动问题。解题时要分析粒子受到的洛伦兹力的情况，找到粒子做圆周运动的圆心及半径，画出几何图形，并借助与几何关系分析解答。此题有一定的难度，考查学生的综合能力。
154.(2016·全国新课标Ⅲ卷)如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)
222
内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求
(1)在t=0到t=t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。
【答案】(1)(2)
【解析】在金属棒未越过MN之前，t时刻穿过回路的磁通量为①
设在从t时刻到的时间间隔内，回路磁通量的变化量为，流过电阻R的电荷量为
由法拉第电磁感应有②
由欧姆定律有③
由电流的定义有④
联立①②③④可得⑤
由⑤可得，在t=0到t=的时间间隔内，流过电阻R的电荷量q的绝对值为⑥
(2)当时，金属棒已越过MN，由于金属棒在MN右侧做匀速运动，有⑦
式中f是外加水平恒力，F是匀强磁场施加的安培力。设此时回路中的电流为I，F的大小为⑧
此时金属棒与MN之间的距离为⑨
匀强磁场穿过回路的磁通量为⑩
回路的总磁通量为⑪
222
式中仍如①式所示，由①⑨⑩⑪可得，在时刻t(t＞t0)穿过回路的总磁通量为⑫
在t到的时间间隔内，总磁通量的改变为⑬
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为⑭
由欧姆定律有⑮
联立⑦⑧⑬⑭⑮可得
【考点定位】考查了导体切割磁感线运动
【方法技巧】根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，及电量表达式，从而导出电量的综合表达式，即可求解；根据磁通量的概念，，结合磁场方向，即可求解穿过回路的总磁通量；根据动生电动势与感生电动势公式，求得线圈中的总感应电动势，再依据闭合电路欧姆定律，及安培力表达式，最后依据平衡条件，即可求解水平恒力大小。
155.(2017·新课标Ⅲ卷·T24)如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x<0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1)。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求(不计重力)
(1)粒子运动的时间；
(2)粒子与O点间的距离。
【答案】(1) (2)
【解析】粒子的运动轨迹如图所示。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设在 区域，圆周半径R1；设在 区域，圆周半径R2；由洛伦兹力公式及牛顿运动定律得 ① ②
粒子速度方向转过180o时，所用时间t1为 ③
222
粒子再转过180°时，所用时间t2为 ④
联立①②③④得，所求时间为 ⑤
(2)由几何关系及①②式得，所求距离为⑥
【考点定位】带电粒子在磁场中的运动
【名师点睛】对于带电粒子在磁场中运动问题，解题时常要分析带电粒子受到的洛伦兹力的情况，找到粒子做圆周运动的圆心及半径，画出运动轨迹可以使运动过程清晰明了，同时要善于运用几何知识帮助分析和求解。
156.(2017·新课标Ⅱ卷)如图，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和–q(q>0)的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
(1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
(2)A点距电场上边界的高度；
(3)该电场的电场强度大小。
【答案】(1)3:1 (2) (3)
【解析】(1)设带电小球M、N抛出的初速度均为v0，则它们进入电场时的水平速度仍为v0；M、N在电场中的运动时间t相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为a，在电场中沿水平方向的位移分别为s1和s2；由运动公式可得：
v0–at=0①
222
②
③
联立①②③解得：④
(2)设A点距离电场上边界的高度为h，小球下落h时在竖直方向的分速度为vy，则；
⑤
⑥
因为M在电场中做匀加速直线运动，则
⑦
由①②⑤⑥⑦可得h=⑧
(3)设电场强度为E，小球M进入电场后做直线运动，则，⑨
设M、N离开电场时的动能分别为Ek1、Ek2，由动能定理：
⑩
⑪
由已知条件：Ek1=1.5Ek2
联立④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫解得：
【考点定位】带电小球在复合场中的运动；动能定理
【名师点睛】此题是带电小球在电场及重力场的复合场中的运动问题；关键是分析小球的受力情况，分析小球在水平及竖直方向的运动性质，搞清物理过程；灵活选取物理规律列方程。
157.(2017·江苏卷)一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上.已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.
222
(1)求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；
(2)在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d；
(3)若考虑加速电压有波动，在()到()之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】(1)设甲种离子在磁场中的运动半径为r1
电场加速 且 解得
根据几何关系x =2r1 –L 解得
(2)(见图) 最窄处位于过两虚线交点的垂线上
解得
222
(3)设乙种离子在磁场中的运动半径为r2
r1的最小半径
r2 的最大半径
由题意知 2r1min–2r2max >L，即
解得
【考点定位】带电粒子在组合场中的运动
【名师点睛】本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，对此类问题主要是画出粒子运动的轨迹，分析粒子可能的运动情况，找出几何关系，有一定的难度.
158.(2017·天津卷)平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ现象存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。
【答案】(1)，方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上 (2)
222
【解析】
试题分析：(1)粒子在电场中又Q到O做类平抛运动，设Q点速度v与+x方向夹角为α，Q点到x轴的距离为L，到y轴的距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，根据类平抛运动的规律，有：x方向： y方向：
粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为：
又：
解得：，即，粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上。
粒子到达O点时的速度大小为
(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，粒子在电场中运动的加速度：
设磁感应强度大小为B，粒子做匀速圆周运动的半径为R，洛伦兹力提供向心力，有：
根据几何关系可知：
整理可得：
【考点定位】带电粒子在复合场中的运动
【名师点睛】本题难度不大，但需要设出的未知物理量较多，容易使学生感到混乱，要求学生认真规范作答，动手画图。
159.(2017·天津卷)
222
电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：
(1)磁场的方向；
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。
【答案】(1)磁场的方向垂直于导轨平面向下 (2) (3)
【解析】(1)电容器充电后上板带正电，下板带负电，放电时通过MN的电流由M到N，欲使炮弹射出，安培力应沿导轨向右，根据左手定则可知磁场的方向垂直于导轨平面向下。
(2)电容器完全充电后，两极板间电压为E，根据欧姆定律，电容器刚放电时的电流：
炮弹受到的安培力：
根据牛顿第二定律：
解得加速度
(3)电容器放电前所带的电荷量
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vm时，MN上的感应电动势：
最终电容器所带电荷量
设在此过程中MN的平均电流为，MN上受到的平均安培力：
由动量定理，有：
又：
222
整理的：最终电容器所带电荷量
【考点定位】电磁感应现象的综合应用，电容器，动量定理。
【名师点睛】本题难度较大，尤其是最后一个小题，给学生无从下手的感觉：动量定理的应用是关键。
160.(2015·北京卷·T22)如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度L=0.4m一端连接R=1的电阻。导线所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=1T。导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。在平行于导轨的拉力作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度v=5m/s。求：
(1)感应电动势E和感应电流I；
(2)在0.1s时间内，拉力的冲量的大小；
(3)若将MN换为电阻r=1的导体棒，其他条件不变，求导体棒两端的电压U。
【答案】(1)、 ；(2) (3)
【解析】
（1） 根据动生电动势公式得E=BLv = 1T ×0.4m ×5m /s =2V
故感应电流
(2)金属棒在匀速运动过程中，所受的安培力大小为F安= BIL =0.8N，
因匀速直线运动，所以导体棒所受拉力F = F安 = 0.8N
所以拉力的冲量 IF ==0.8 N×0.1s=0.08 Ns
(3)其它条件不变，则有电动势
由全电路的欧姆定律
导体棒两端电压
【考点定位】动生电动势和感应电流的基本概念；力和运动的基本关系，冲量的基本定义；电动势和外电压的基本概念及其关系。
【规律总结】电磁感应共分两种情况：动生问题(棒切割磁感线)产生的电动势，方向由右手定则；感生问题(磁感应强度的变化)的电动势
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，方向由楞次定律。而电流方向都是等效电源内部负极流向正极的方向。
161.(2010·海南卷·T15)右图中左边有一对平行金属板，两板相距为d.电压为V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向与金属板面平行并垂直于纸面朝里。图中右边有一半径为R、圆心为O的圆形区域内也存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。一电荷量为q的正离子沿平行于全属板面、垂直于磁场的方向射入平行金属板之间，沿同一方向射出平行金属板之间的区域，并沿直径EF方向射入磁场区域，最后从圆形区城边界上的G点射出.已知弧所对应的圆心角为θ，不计重力.求
(1)离子速度的大小；
(2)离子的质量。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题设知，离子在平行金属板之间做匀速直线运动，安所受到的向上的压力和向下的电场力平衡
①
式中，是离子运动速度的大小，是平行金属板之间的匀强电场的强度，有
②
由①②式得 ③
(2)在圆形磁场区域，离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
④
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式中，和分别是离子的质量和它做圆周运动的半径。由题设，离子从磁场边界上的点G穿出，离子运动的圆周的圆心必在过E点垂直于EF的直线上，且在EG的垂直一平分线上(见右图)。
由几何关系有
⑤
式中，是与直径EF的夹角，由几何关系得
⑥
联立③④⑤⑥式得，离子的质量为 ⑦
162.(2010·重庆卷·T25)某兴趣小组用如题25图所示的装置进行实验研究.他们在水平桌面上固定一内径为的椭圆形玻璃杯，杯口上放置一直径为1.5d，质量为m的匀质薄圆板，板内放一质量为2m的小物块.板中心、物块均在杯的轴线上.物块与板间动摩擦因数为µ，不计板与杯口之间的摩擦力，重力加速度为g，不考虑板翻转。
(1)对板施加指向圆心的水平外力F，设物块与板间最大静摩擦力为fmax，若物块能在板上滑动，求F应满足的条件。
(2)如果对板施加的指向圆心的水平外力是作用时间极短的较大冲击力，冲量为I，
①I应满足什么条件才能使物块从板上掉下？
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②物块从开始运动到掉下时的位移s为多少？
③根据s与I的关系式说明要使s更小，冲量应如何改变.
【答案】
(1)设圆板与物块相对静止时，它们之间的静摩擦力为Ff，共同加速度为a
由牛顿运动定律，有
对物块 Ff＝2ma 对圆板F－Ff＝ma
两物相对静止，有 Ff≤fmax
得 F≤Ffmax
相对滑动的条件 F＞Ffmax
(2)设冲击刚结束时圆板获得的速度大小为v0，物块掉下时，圆板和物块速度大小分别为v1和v2。
由动量定理，有 I＝mv0
由动能定理，有
对圆板－2µmg(s＋d)＝mv12－mv02
对物块2µmgs＝(2m)v22－0
由动量守恒定律，有
mv0＝mv1＋2mv2
要使物块落下，必须v1＞v2
由以上各式得I＞m
s＝
分子有理化得s＝
根据上式结果知：I越大，s越小.
163.(2010·四川卷·T25)如图所示，空间有场强的竖直向下的匀强电场，长
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的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量的不带电小球A，拉起小球至绳水平后，无初速释放。另一电荷量、质量与相同的小球，以速度水平抛出，经时间与小球C与D点下方一足够大的平板相遇。不计空气阻力，小球均可视为质点，取。
求碰撞前瞬间小球的速度。
若小球经过路到达平板，此时速度恰好为O，求所加的恒力。
若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在点下方任意改变平板位置，小球均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力。
【解析】本题主要考查了带电粒子在场中运动、碰撞、动量守恒。牛顿定律、功能关系的综合运用。重点考查对物理过程分析和建立物理模型能力的考查。
(1)设的加速度为、到点时竖直速度为，合速度大小为、与水平方向的夹角为，有：
①
②
③
④
联立上述方程，代人数据，解得： ⑤
⑥
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(2)设A碰钱速度为，此时轻绳与竖直线的夹角为，由动能定理得：
⑦
设A、P碰撞后小球C的速度为，由动量守恒定律，得： ⑧
小球C到达平板时速度为零，应做匀减速直线运动，设加速度大小为，有：
⑨
设恒力大小为F，与竖直方向夹角为，如右图，由牛顿第二定律，得：
⑩
代人相关数据，解得：
(3)由于平板可距D点无限远，小球C必做匀速或匀加速直线运动，恒力的方向可从竖直向上顺时针转向无限接近速度方向，设恒力与竖直向上方向的角度为，有：
在垂直于速度方向上，有
则大小 的条件为：
(式中)
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164.(2010·新课标Ⅰ卷·T25.)如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
(1)速度的大小：
(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得
由①式得 ②
当a/2
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