高中数学 2_2_1课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 ‎‎2.2.1‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．－9＜m＜25　　　　　　　 B．8＜m＜25‎ C．16＜m＜25 D．m＞8‎ 解析：　依题意有，解得8＜m＜25，‎ 即实数m的取值范围是8＜m＜25，故选B.‎ 答案：　B ‎2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋x2＝1‎ 解析：　c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ 答案：　A ‎3．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是(　　)‎ A．6 B. C．24 D. 解析：　∵3kx2＋ky2＝1，‎ ‎∴＋＝1.‎ 又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，‎ ‎∴a2＝，b2＝，c2＝a2－b2＝－＝＝16，∴k＝.‎ 答案：　D ‎4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为(　　)‎ A．12 B．10‎ C．9 D．8‎ 解析：　∵·＝0，∴PF1⊥PF2.‎ ‎∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F‎1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝‎2a.‎ 又a＝5，b＝3，∴c＝4，‎ ‎∴ ‎②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝102－64，‎ ‎∴|PF1|·|PF2|＝18，‎ ‎∴△F1PF2的面积为9.‎ 答案：　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．‎ 解析：　由椭圆标准方程得a＝3，b＝，‎ 则c＝＝，|F‎1F2|＝‎2c＝2.‎ 由椭圆的定义得|PF2|＝‎2a－|PF1|＝2.‎ 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ‎＝＝－，‎ 所以∠F1PF2＝120°.‎ 答案：　2　120°‎ ‎6．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．‎ 解析：　椭圆的左焦点F为(－1,0)，设P(x，y)，‎ 则＋＝1，‎ ·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2‎ ‎＝x2＋x＋3‎ ‎＝(x＋2)2＋2‎ ‎∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.‎ 答案：　6‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；‎ ‎(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.‎ 解析：　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，‎ 所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)‎ ‎∴，∴，‎ 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.‎ 又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，‎ ‎∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.‎ ‎8．已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．‎ 解析：　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.‎ 因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，‎ 所以x＋y＝9.‎ 将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，‎ 即＋y2＝1.‎ 所以点M的轨迹是一个椭圆．‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F‎1A⊥F‎2A，求椭圆的标准方程．‎ 解析：　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ ‎∵F‎1A⊥F‎2A，∴·＝0，‎ 而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，‎ ‎∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，‎ ‎∴c2＝25，即c＝5.‎ ‎∴F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ ‎∴‎2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎