数学卷·2018届吉林省长春十一高、白城一中联考高二上学期期末数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届吉林省长春十一高、白城一中联考高二上学期期末数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年吉林省长春十一高、白城一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0‎ C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0‎ ‎2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（　　）‎ A．假设a，b，c不都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 ‎5． dx等于（　　）‎ A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2‎ ‎6．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（　　）‎ A．分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知函数f（x）=x3﹣2x2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥1‎ ‎10．设F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F2的面积等于（　　）‎ A． B． C．16 D．或16‎ ‎11．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）‎ A．[0，） B．[0，）∪[，π） C．[，π） D．[0，）∪（，]‎ ‎12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（1，+∞） C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.‎ ‎13．i是虚数单位，则等于　　．‎ ‎14．过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=　　．‎ ‎15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=‎ r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=　　．‎ ‎16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．‎ ‎18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．‎ ‎（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．‎ ‎20．已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，‎ ‎（1）若|AB|=10，求m的值；‎ ‎（2）若OA⊥OB，求m的值．‎ ‎21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对一切n∈N*都成立？‎ 并证明的结论．‎ ‎22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省长春十一高、白城一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0‎ C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．‎ ‎【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：‎ 命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是 ‎“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”‎ 故选C ‎　‎ ‎2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．‎ ‎【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），‎ 故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，‎ 化成标准方程为：‎ ‎∵a2+b2=c2‎ ‎∴c2==‎ 解得：c=‎ 所以得焦距2c=‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（　　）‎ A．假设a，b，c不都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．‎ ‎【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．‎ 即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5． dx等于（　　）‎ A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．‎ ‎【解答】解：∵（lnx）′=‎ ‎∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2‎ 故选D ‎　‎ ‎6．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）‎ 求导函数可得：f′（x）=2x﹣2﹣，‎ 令f′（x）＞0，可得2x﹣2﹣＞0，∴x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2‎ ‎∵x＞0，∴x＞2‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞）‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】解：由图象知f（﹣1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x1和x2是f′（x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，‎ ‎8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2 ‎ ‎∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2． 由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，‎ 故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（　　）‎ A．分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据双曲线C的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C的方程是： =﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C的方程是：，‎ ‎∴渐近线方程是：y=±，‎ ‎∵双曲线C的方程是： =﹣1，‎ ‎∴渐近线方程是：y=±，‎ ‎∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=x3﹣2x2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥1‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出导函数f'（x）=3x2﹣4x+a，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3﹣2x2+ax+3，‎ ‎∴f'（x）=3x2﹣4x+a，‎ ‎∵在[1，2]上单调递增，‎ ‎∴f'（x）=3x2﹣4x+a在区间内大于或等于零，‎ ‎∵二次函数的对称轴x=，‎ ‎∴函数在区间内递增，‎ ‎∴f'（1）≥0，‎ ‎∴﹣1+a≥0，‎ ‎∴a≥1，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．设F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F2的面积等于（　　）‎ A． B． C．16 D．或16‎ ‎【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】令|F1M|=m、|MF2|=n，由椭圆的定义可得 m+n=2a①，Rt△F1MF2中，由勾股定理可得n2﹣m2=36②，由①②可得m、n的值，利用△F1PF2的面积求得结果．‎ ‎【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F1M|=m、|MF2|=n，‎ 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt△MF1F2 中，‎ 由勾股定理可得n2﹣m2=36 ②，‎ 由①②可得m=，n=，‎ ‎∴△MF1F2 的面积是•6•=‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3﹣）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）‎ A．[0，） B．[0，）∪[，π） C．[，π） D．[0，）∪（，]‎ ‎【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，‎ ‎∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，‎ ‎∴0≤α＜ 或 ≤α＜π，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（1，+∞） C． D．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由 恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，‎ ‎∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，‎ ‎∵g（x）=，‎ ‎∴g′（x）=，‎ 当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，‎ 当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，‎ 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，‎ ‎∵恒成立且k＞0，‎ ‎∴≤，‎ ‎∴k≥1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.‎ ‎13．i是虚数单位，则等于　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【解答】解：，‎ 则=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=　12　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由中点坐标公式可知：x1+x2=2×4，则丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12，则丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，即可求得|AB|．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（4，y0），过A，B，M做准线的垂直，垂足分别为A1，B1及M1，‎ 由中点坐标公式可知：x1+x2=2×4=8，‎ ‎∴丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12‎ ‎∴丨AA1丨+丨BB1丨=12‎ 由抛物线的性质可知：丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，‎ ‎∴丨AB丨=12，‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=‎ r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=　R（S1+S2+S3+S4）　．‎ ‎【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，‎ 则球心O到四个面的距离都是R，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．‎ ‎　‎ ‎16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是　（29，210）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，‎ ‎∴g′（x）==，‎ ‎∵9f（x）＜xf'（x），‎ ‎∴g′（x）=＞0，‎ 即g（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ 则g（2）＞g（1），‎ 即＞，则＞29，‎ 同理设h（x）=，‎ ‎∴h′（x）==，‎ ‎∵xf'（x）＜10f（x），‎ ‎∴h′（x）=＜0，‎ 即h（x）在（0，+∞）上是减函数，‎ 则h（2）＜h（1），‎ 即＜，则＜210，‎ 综上29＜＜210，‎ 故答案为：（29，210）‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．‎ ‎【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．‎ 要证明≥9，‎ 只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．‎ 只需证明（3a﹣1）2≥0，‎ ‎∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．‎ ‎（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b ‎∵在x=1处的极值为﹣1，‎ ‎∴，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1‎ 当f′（x）≥0时，或x≥1，‎ ‎∴增区间为 当f′（x）≤0时，，‎ ‎∴减区间为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1‎ ‎∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．‎ ‎　‎ ‎19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，求出a，b，c．最后写出双曲线的标准方程；‎ ‎（2）求出|PF1|=7，|PF2|=3，|F1F2|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．‎ ‎∵双曲线与椭圆的离心率之和为2，‎ ‎∴双曲线的离心率为2，‎ ‎∴=2‎ ‎∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，‎ ‎∴c=4，‎ ‎∴a=2，b=，‎ ‎∴双曲线的方程是；‎ ‎（2）由题意，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|﹣|PF2|=4‎ ‎∴|PF1|=7，|PF2|=3，‎ ‎∵|F1F2|=8，‎ ‎∴cos∠F1PF2==﹣．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，‎ ‎（1）若|AB|=10，求m的值；‎ ‎（2）若OA⊥OB，求m的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；‎ ‎（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）‎ ‎（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对一切n∈N*都成立？‎ 并证明的结论．‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．‎ ‎【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，‎ n=2时，16a﹣4b+c=3，‎ n=3时，81a﹣9b+c=18‎ 解得c=0，‎ 证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立． ‎ ‎（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，‎ 则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，‎ ‎=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），‎ ‎=，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以当n=k+1时等式也成立． ‎ 综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．‎ ‎　‎ ‎22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；‎ ‎（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．‎ ‎∴f′（x）==，‎ ‎∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，‎ 当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．‎ 因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=﹣，‎ 且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，‎ ‎∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，‎ ‎∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣‎ ‎=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．‎ 令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，‎ 当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．‎ 令g（x）=lnx2+﹣2．‎ ‎（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，‎ 故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，‎ ‎∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；‎ ‎（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，‎ 故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，‎ ‎∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；‎ 综上所述，a的取值范围是（，1）．‎