高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-3 直线与平面垂直的性质

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高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-3 直线与平面垂直的性质

一、选择题 ‎1.如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内(  )‎ A.不存在与l垂直的直线 B.存在一条与l垂直的直线 C.存在无数条与l垂直的直线 D.任意一条都与l垂直 ‎[答案] C ‎[解析] 若l⊂α,显然在α内存在无数条直线与l垂直;若l∥α,过l作平面β∩α=l′,则l∥l′,‎ ‎∵在α内存在无数条直线与l′垂直,从而在α内存在无数条直线与l垂直;‎ 若l与α斜交,设交点为A,在l上任取一点P,‎ 过P作PQ⊥α,垂足为Q,在α内存在无数条直线与AQ垂直,从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直.‎ ‎2.过一点和已知平面垂直的直线条数为(  )‎ A.1条        B.2条 C.无数条 D.不能确定 ‎[答案] A ‎[解析] 已知:平面α和一点P.‎ 求证:过点P与α垂直的直线只有一条.‎ 证明:不论点P在平面α外或平面α内,设PA⊥α,垂足为A(或P).如果过点P还有一条直线PB⊥α,设PA、PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a,这是不可能的.所以过点P与α垂直的直线只有一条.‎ ‎3.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面(  )‎ A.有且只有一个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在 ‎[答案] B ‎[解析] 当a⊥b时,有且只有一个.‎ 当a与b不垂直时,不存在.‎ ‎4.已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是(  )‎ A.平行 B.垂直 C.斜交 D.不能确定 ‎[答案] B ‎[解析] 设a,b为异面直线,a∥平面α,b∥α,直线l⊥a,l⊥b.‎ 过a作平面β∩α=a′,则a∥a′,∴l⊥a′.‎ 同理过b作平面γ∩α=b′,则l⊥b′,‎ ‎∵a,b异面,∴a′与b′相交,∴l⊥α.‎ ‎5.(2012-2013·杭州高二检测)如下图,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是B、D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,这个条件不可能是下面四个选项中的(  )‎ A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上 D.AC与α、β所成的角相等 ‎[答案] D ‎6.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中真命题的是(  )‎ ‎①若m⊥n,n⊂α,则m⊥α;‎ ‎②若a⊥α,a⊂β,则α⊥β;‎ ‎③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;‎ ‎④若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n.‎ A.①和② B.②和③‎ C.③和④ D.①和④‎ ‎[答案] B ‎[解析] ①中,直线m垂直于平面α内的一条直线n,则直线m 与平面α不一定垂直,所以①不是真命题;②是平面与平面垂直的判定定理,所以②是真命题.③是直线与平面垂直的性质定理,所以③是真命题;④中m与n可能是异面直线,所以④不正确.‎ ‎7.如下图所示,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,若E是A‎1C1的中点,则直线CE垂直于(  )‎ A.AC B.BD C.A1D D.A1D1‎ ‎[答案] B ‎[解析] 易得BD⊥面ACC‎1A1,又CE⊂面ACC‎1A1,‎ ‎∴CE⊥BD.‎ ‎8.如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是(  )‎ A.线段B‎1C B.线段BC1‎ C.BB1中点与CC1中点连成的线段 D.BC中点与B‎1C1中点连成的线段 ‎[答案] A ‎[解析] ∵DD1⊥平面ABCD,‎ ‎∴D1D⊥AC,‎ 又AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1,‎ ‎∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B‎1C.‎ 又∵B‎1C∩AC=C,‎ ‎∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ 而AP⊥BD1,∴AP⊂平面AB‎1C.‎ 又P∈平面BB‎1C1C,∴P点轨迹为平面AB‎1C与平面BB‎1C1C的交线B‎1C.故选A.‎ 二、填空题 ‎9.已知直线m⊂平面α,直线n⊂平面α,m∩n=M,直线a⊥m,a⊥n,直线b⊥m,b⊥n,则直线a,b的位置关系是________.‎ ‎[答案] 平行 ‎[解析] 由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m,n,则a ‎⊥α.同理,b⊥α,则a∥b.‎ ‎10.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如右图所示,且AF=DE,AD=6,则EF=________.‎ ‎[答案] 6‎ ‎[解析] ∵AF⊥平面AC,DE⊥平面AC,∴AF∥DE.‎ 又∵AF=DE,∴四边形ADEF是平行四边形.‎ ‎∴EF=AD=6.‎ ‎11.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,EF∥PA,则图中直角三角形的个数是________.‎ ‎[答案] 6‎ ‎[解析] 由PA⊥平面ABC,得PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,‎ 又∵BC⊥AC,AC∩PA=A,‎ ‎∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.‎ ‎∵EF∥PA,PA⊥平面ABC,‎ ‎∴EF⊥平面ABC,‎ ‎∴EF⊥BE,EF⊥EC.‎ ‎∴△PAB,△PAC,△ABC,△PBC,△EFC,△BEF均为直角三角形.‎ ‎12.△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为‎2 cm、‎3 cm、‎4cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为________.‎ ‎[答案] ‎‎3 cm ‎[解析] 如图,设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′,‎ ‎△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,‎ 又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′,‎ 则E′∈A′B′,G′∈C′E′,EE′=(A′A+B′B)=,CC′=4,CGGE=21,在直角梯形EE′C′C中,可求得GG′=3.‎ 三、解答题 ‎13.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.‎ 求证:平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎[分析] 由题意易知AF⊥平面CDE,只需在平面BCE中找一直线与AF平行即可.‎ ‎[证明] 取CE的中点G,连接FG,BG,AF.‎ ‎∵F为CD的中点,‎ ‎∴GF∥DE,且GF=DE.‎ ‎∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,‎ ‎∴AB∥DE.则GF∥AB.‎ 又∵AB=DE,∴GF=AB.‎ 则四边形GFAB为平行四边形.于是AF∥BG.‎ ‎∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,‎ ‎∴AF⊥CD.‎ ‎∵DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF.‎ 又∵CD∩DE=D,CD,DE⊂平面CDE,‎ ‎∴AF⊥平面CDE.‎ ‎∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.‎ ‎∵BG⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.‎ 规律总结:此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题.证明时要综合题目中的条件,利用条件和已知定理来证.或者从结论出发逆推分析.‎ ‎14.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于E,l⊥平面PCD.求证:l∥AE.‎ ‎[分析] 转化为证明AE⊥平面PCD,进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.‎ ‎[证明] ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD.‎ 又四边形ABCD是矩形,∴CD⊥AD,PA∩AD=A,PA⊂平面 PAD,AD⊂平面PAD,‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ 又AE⊂平面PAD,∴AE⊥DC.‎ 又AE⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD.‎ 又l⊥平面PCD,∴l∥AE.‎ ‎15.如下图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.‎ ‎[分析] 转化为证明EF⊥平面AB‎1C,BD1⊥平面AB‎1C.‎ ‎[证明] 连接AB1,B‎1C,BD,B1D1,如图所示.‎ ‎∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴DD1⊥AC.‎ 又AC⊥BD,BD∩DD1=D,‎ ‎∴AC⊥平面BDD1B1.‎ ‎∴AC⊥BD1,‎ 同理BD1⊥B‎1C,又AC∩B‎1C=C,‎ ‎∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ ‎∵EF⊥A1D,且A1D∥B‎1C,‎ ‎∴EF⊥B‎1C.又∵EF⊥AC,AC∩B‎1C=C,‎ ‎∴EF⊥平面AB‎1C.∴EF∥BD1.‎ 规律总结:当题中垂直条件很多,但又需证两直线的平行关系时,就要考虑直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.‎ ‎16.如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求证:MN⊥AB;‎ ‎(2)若PA=AD,求证:MN⊥平面PCD.‎ ‎[证明] (1)取CD的中点E,连接EM、EN,‎ 则CD⊥EM,且EN∥PD.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,‎ 又AD⊥DC,PA∩AD=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAD,‎ ‎∴CD⊥PD,从而CD⊥EN.‎ 又EM∩EN=E,∴CD⊥平面MNE.‎ 因此,MN⊥CD,而CD∥AB,‎ 故MN⊥AB.‎ ‎(2)在Rt△PAD中有PA=AD,‎ 取PD的中点K,连接AK,KN,‎ 则KN綊DC綊AM,且AK⊥PD.‎ ‎∴四边形AMNK为平行四边形,从而MN∥AK.‎ 因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC,又PD∩DC=D,‎ ‎∴MN⊥平面PCD.‎
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