甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试数学（文辅班）试题

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试数学（文辅班）试题

天水一中2019-2020学年度高二级第二学期第一学段考试 数学试题（文辅班）‎ 一、选择题（每小题3分，共36分）‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,,则,故选B.‎ 考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.‎ ‎2.设z=i(2+i)，则=‎ A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．‎ ‎【详解】，‎ 所以，选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给函数特征，排除不符合要求的选项即可．‎ ‎【详解】A选项为奇函数，可以排除 B选项是周期函数，在区间不具备单调性，可以排除 D选项在区间 上单调递增函数，可以排除 只有C既是偶函数，在区间 上单调递减 所以选C ‎【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的简单应用，属于基础题．‎ ‎4.如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是( )‎ A. 27 B. ‎28 ‎C. 29 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知归纳出第个三角形数是，即可求出结论.‎ ‎【详解】依题意，第个三角形数是.‎ 故选：B.‎ 点睛】本题考查归纳推理，属于基础题.‎ ‎5.函数y＝的图象大致是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；‎ 取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；‎ 当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C.‎ ‎6.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.‎ ‎【详解】是奇函数， 时，．‎ 当时，，，得．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．‎ ‎7.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）‎ A 有最小值 B. 有最大值 C. 是减函数 D. 是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.‎ ‎【详解】由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，‎ ‎.‎ 当时，由于函数和函数在上都为增函数，‎ 此时，函数在上为增函数；‎ 当时，在上为增函数；‎ 当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，‎ ‎，所以，函数在上为增函数.‎ 综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.‎ ‎8.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断出的范围，可得的大小关系.‎ ‎【详解】，即；‎ ‎，，‎ 可得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 不等式等价于或分别解不等式组后，取并集可求得的取值范围.‎ ‎【详解】或，‎ 解得：或，即，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对进行分类讨论，使取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.‎ ‎10.已知正实数满足，则的最小值（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时的最小值为3.‎ 故选B 点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎11.若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把在区间上有解，转化为存在一个使得，解出的最大值．‎ ‎【详解】在区间上有解，转化为存在一个使得，设，即是的最大值，的最大值，当时取得，故选D ‎【点睛】1、二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．‎ ‎2、对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：‎ ‎1、恒成立，等价于 ‎2、使得成立，等价于 ‎12.已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2‎ ‎−2x−3|与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则 A. 0 B. m C. ‎2m D. ‎‎4m ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.‎ ‎【考点】 函数图像的对称性 ‎【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.‎ 二、填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13.函数的定义域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得.‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解，一般要根据求函数定义域的基本原则建立不等式组求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则 ________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的周期性与奇偶性可得f（﹣1）=f（1）且f（﹣1）=﹣f（1），分析可得f（1）的值，进而分析可得f（﹣）=﹣f（）=﹣f（），由函数的解析式计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，‎ 则有f（﹣1）=f（1）且f（﹣1）=﹣f（1），‎ 即f（1）=﹣f（1），则f（1）=0，‎ f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣（）=﹣2，‎ 则f（﹣）+f（1）=﹣2+0=﹣2；‎ 故答案为﹣2．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，注意求出f（1）的值,属于中档题．‎ ‎15.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程．‎ ‎【详解】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，‎ 所以椭圆的顶点为，焦点为，‎ 因为，所以椭圆的方程为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．‎ ‎16.已知函数，若，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 因为，所以函数f(x)为增函数，所以不等式等价于，即，故．‎ 三、解答题（前两题每题8分，后三题每题12分，共52分）‎ ‎17.（1）已知、、是正数，且满足，证明；‎ ‎（2）已知，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式可得，同理得出，，将三个不等式相加可证得结论；‎ ‎（2）利用柯西不等式得出，由此可得出的最小值.‎ ‎【详解】（1）、、是正数，且，‎ 由基本不等式可得，同理可得，，‎ 将上述三个不等式相加得，‎ 因此，；‎ ‎（2）由柯西不等式得，‎ 即，，‎ 当且仅当，，时，等号成立，‎ 因此，的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，同时也考查了利用柯西不等式求代数式的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎18.已知等差数列满足．‎ ‎（1） 求的通项公式；‎ ‎（2） 设等比数列满足,求的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）设的公差为，则由得,‎ 故的通项公式，即．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 设的公比为，则，从而，‎ 故的前项和．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.‎ ‎19.已知函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)设g(x)=2x+1-a,若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由奇函数的性质即可求出的值。‎ ‎（2）根据题意，确立函数与方程之间的关系，结合指数函数的图像和性质即可得出结论。‎ ‎【详解】（1）根据题意，函数为奇函数，‎ 则，解得 ‎（2）根据题意，函数与的图像有一个公共点，即方程至少有一个实根，即方程至少有一个实根。‎ 令 ，则方程 至少有一个正根，‎ 则 ，所以 的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质以及利用函数与方程的关系求解参数范围。‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分类讨论的方法去掉绝对值，化为不等式组求解；‎ ‎（2）先由绝对值的三角不等式得，再根据求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）时，不等式为，等价于 或或，‎ 解得，或或，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式的解集是.‎ ‎（2）由绝对值的三角不等式得，‎ ‎∵对于恒成立，‎ ‎∴，‎ 解得或.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）设是的极值点，求的值；‎ ‎（2）证明；当时，．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，可求得的值，然后对函数是否在取得极值进行验证，进而可求得实数的值；‎ ‎（2）当时，，构造函数 ‎，利用导数证明出当时，恒成立，即可证得结论成立.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，．‎ 由题设知，，所以，此时，‎ 则函数在上为增函数，‎ 当时，；当时，.‎ 此时，函数在处取得极小值，合乎题意.‎ 综上所述，；‎ ‎（2）当时，，‎ 设，则．‎ 由于函数在上单调递增，且.‎ 当时，，此时，函数单调递减；‎ 当时，，此时，函数单调递增．‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，.‎ 因此，当时，．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎