【数学】2019届一轮复习人教A版不等式素养与能力突破学案

【数学】2019届一轮复习人教A版不等式素养与能力突破学案

专题7 不等式 学 思想 训练题组 分类讨论思想 例 解关于的不等式：．‎ ‎【思路分析】将原不等式转化为，然后研究对应方程的两个根，的大小，以此为标准分类求解．‎ ‎1．若不等式2 x2＋ x–<0对一切实数x都成立，则 的取值范围为（　　）‎ A．（–3，0） B．[–3，0） ‎ C．[–3，0] D．（–3，0]‎ ‎2．若不等式x2–（a＋1）x＋a≤0的解集是[–4，3]的子集，则a的取值范围是（　　）, , ]‎ A．[–4，1] B．[–4，3] ‎ C．[1，3] D．[–1，3] ]‎ ‎3．已知函数f（x）＝为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为________．‎ ‎4．求函数的最值．‎ ‎④若，或，则．所以，故原不等式的解集为．‎ 综上，当，或时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当，或时，原不等式的解集为．‎ ‎【方法技巧】解参数不等式需要分类的情况 ‎（1）二次项系数为字母且没有给出具体范围时，要分大于0，等于0，小于0三类讨论．‎ ‎（2）利用单调性解题时，抓住使单调性变化的参数值，进行讨论．‎ ‎（3）对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．‎ ‎（4）若判别式含参数，则在确定解的情况时需分，，三种情况进行讨论．‎ 数形结合思想 例 已知整数x、y满足x+y=1，‎ 求证：≥‎ ‎【思路分析】这道题目代数证明方法很多，就不一一列举了．这里介绍如何利用图象去解决问题．我们注意到可以用来表示点（x，y）到点（-2，-2）的距离d的平方．所以这道题目我们可以有如下的解法． ‎ ‎5．若x，y满足约束条件则 ＝y–x的取值范围为（　　）‎ A．[–2，2] B． ‎ C．[–1，2] D．‎ ‎6．已知变量x，y满足约束条件若目标函数 ＝ax＋y（其中a>0）仅在点（1，1）处取得最大值，则a的取值范围为（　　） 学 ]‎ A．（0，2） B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知x，y满足则的取值范围是________．‎ ‎8．若满足条件的整点（x，y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a ‎【解析】在直角坐标系中，x+y=1为一条直线，表示直线x+y=1的任一点（x，y）到点（-2，-2）的距离d的平方，而距离d的最小值为点（-2，-2）到直线x+y=1的距离．所以所以d2≥，‎ 即≥．‎ ‎【方法技巧】作函数图象的时候一定要把图象画正确，要注意函数的定义域、图象的交点等．‎ 的值为________．‎ 转化与化归思想 例 关于的不等式的解集为，求参数的取值范围．‎ ‎【思路分析】将不等式的解集转化成形如二次函数的函数值恒大于零，从而得到函数图象与轴的位置关系，继而得到关于的不等式，问题得以解决．‎ ‎ 学 ]‎ ‎9．已知一元二次不等式的解集为，则a= ，b= ． 学 ]‎ ‎10．已知，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎11．对任意，不等式恒成立，试求的最大值与的最小值．‎ ‎12．已知函数在定义域上是减函数，是否存在实数，使得对一切恒成立？并说明理由．‎ ‎ 学 ]‎ ‎【方法技巧】不等式与函数、方程三者有着密切的联系：函数的零点为方程的根，同时亦为不等式解集的端点．因此将不等式问题常化成函数问题或方程问题来解决．‎ 函数思想 例 如图，在半径为30 cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．‎ ‎（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；‎ ‎（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接铝耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．‎ ‎【思路点拨】本题综合考查了二次函数，三次函数的最值问题，这里应用了基本不等式，以及求导数的方法求出了函数的最值．‎ 由AB＝2＝2πr，得r＝．‎ 所以V＝πr2x＝（900x–x3），其中01时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10，则–x<0，则f（–x）＝bx2＋3x．因为f（x）为奇函数，所以f（–x）＝–f（x），即bx2＋3x＝–x2–ax，可得a＝–3，b＝–1，所以f（x）＝当x≥0时，由x2–3x＜4解得0≤x＜4；当x＜0时，由–x2–3x＜4解得x＜0，所以不等式f（x）＜4的解集为（–∞，4）．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】作出可行域如图所示，设直线l：y＝x＋ ，平移直线l，易知当l过直线3x–y＝0与x＋y–4＝0的交点（1，3）时， 取得最大值2；当l与抛物线y＝x2相切时， 取得最小值，由消去y得x2–2x–2 ＝0，由Δ＝4＋8 ＝0，得 ＝–，故–≤ ≤2，故选B． 学…… ‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 作直线l：ax＋y＝0，过点（1，1）作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y–3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，–<–a<0，即0

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