人教版高中数学必修5教材解析演示

人教版高中数学必修5教材解析演示

数学必修 5 教材分析及教学建议 点此播放讲课视频 高中数学新课程人教 A 版必修 5 概述 　 本模块包括“解三角形”、“数列”、“不等式”三章内容， 全书约需 36 课时，具体课时分配如下： 　　第一章 解三角形 约 8 课时 　　第二章 数列 约 12 课时 　　第三章 不等式 约 16 课时 “ 解三角形 ” 的主要内容是通过对任意三角形边长和角度关系的探索，介绍三角形的正、余弦定理，及其简单应用， “ 数列 ” 的主要内容是通过对日常生活中大量实际问题的分析，在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。 “ 不等式 ” 一章的主要内容有不等式的基本性质，解一元二次不等式，简单的线性规划问题和基本不等式及其简单应用。 第一章 解三角形 内 容 提 要 一、内容与课程学习目标 二、新旧教材对比 三、教材分析与教学建议 点此播放讲课视频 知识内容及课时安排 章 节 知识内容 课时安排 1.1.1 正弦定理 1 课时 1.1.2 余弦定理 2 课时 1.2 应用举例 3 课时 1.3 实习作业 1 课时 小结 约 1+ 1 课时 内容与课程学习目标 （ 1 ）会证明正弦定理、余弦定理。 （ 2 ）能理解正、余弦定理在讨论三角形边角关 系时的作用。 （ 3 ）能用正、余弦定理解斜三角形。 （ 4 ）理解用正、余弦定讨论三角形解的情形。 （ 5 ）掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。 （ 6 ）通过解三角形在实际中的一些应用，培养学 生分析问题、解决问题的能力。 （ 8 ） 根据实际条件，利用本章知识完成一个有关 测量的实习作业 学习目标的解读 （ 7 ）理解三角形的面积公式 内容与课程学习目标 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 内容 课程标准 大纲 区别 正弦 定理 与余 弦定 理 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题 ． 1 ．课标强调通过对三角形边角关系的 探求 、 探索 ，让学生了解知识的产生过程．提出的要求比大纲的 要求更高 ． 2 ．重视正弦定理和余弦定理在 探索 三角形边角关系中的作用． 应 用 举 例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力． 1 ．课标 明确 了知识的应用，要求解决的实际问题与测量和几何计算有关． 2 ．课标让学生认识到它们是解决测量问题的一种方法， 提高 了知识应用的 层次要求 ． 新旧教材对比 课时比较 大纲教材 课标教材 数学第一册（下）第五章 平面向量 数学 5 第 1 章 解三角形（约 8+1 课时） 二、解斜三角形（约 7+5 课时） 1.1.1 正弦定理 ( 约 1 课时 ) 5.9 正弦定理、余弦定理 ( 约 4 课时 ) 1.1.2 余弦定理 ( 约 2 课时 ) 5.10 解斜三角形应用举例（约 2 课时） ( 探究与发现 解三角形的进一步发现 ) 实习作业 解三角形在测量中的应用 ( 约 2 课时 ) 1.2 应用举例 ( 约 3 课时 ) ( 阅读材料 人们早期怎样测量地球的半径？ ) ( 阅读与思考 海伦与秦九韶 )) 研究性学习课题：向量在物理中的应用 ( 约 3 课时 ) 1.3 实习作业 ( 约 1 课时 ) 单元小结与复习 ( 约 1 课时 ) 小结 ( 约 1+1 课时 ) 重点： 正弦定理，余弦定理，用二定理解斜三角形 难点： 用定理讨论三角形解的个数； 实际问题转化为解三角形问题的转化 关键： 学生对正、余弦定理中的各个边、角关系 的理解。 点此播放讲课视频 教材分析与教学建议 整体分析 —— 关注数学情境 强调数学应用 重视数学文化 关注数学情境 角度 几何计算 强调数学应用 教材分析与教学建议 距离 高度 关注数学历史 不是为了掌握名题本身； 而是作为正余弦定理的一个直接应用； 体验数学文化题。 重视数学文化 教材分析与教学建议 教材分析与教学建议 具体分析 ☆1.1 正弦定理和余弦定理 问题情境 大边对大角 —— 能否将边角关系量化？ 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 应用 例题 2 、 已知 abA 问题 已知 abA ，能否确定 三角形？ 探究与发现 《 解三角形的进一步讨论 》 例题 1 、 已知 ABa 大纲教材用向量证明定理 余弦定理 （ 1 ）研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题 ； （ 2 ）用向量的数量积，比较容易地证明了余弦定理 等 （ 3 ）余弦定理的推论 (4) 例 3,4 教材分析与教学建议 距离问题 高度问题 角度问题 几何计算 正弦定理 余弦定理 例 1 、 2 例 3 、 4 、 5 例 6 例 7 、 8—— 三角形面积 例 9—— 边角关系恒等证明 ☆1.2 应用举例 教材分析与教学建议 教材分析与教学建议 ☆1. 3 实习作业 实习作业重在过程，通过实习，培养学生构建数学模型，分析和解决简单实际问题的能力。 实习时 ，注意现场指导。对学生的实习报告要予以讲评 和规范。有条件的情况下，可让学生自主选择素材在课后再完成几个实习报告。 实习前 ，教师要指导好学生作好前期准备，选择好素材。 与旧教材相比，实习作业多了三个栏目。 负责人及参加者；计算者及复核者；指导教师审核意见。 更具有可操作性，也体现科研过程 教材分析与教学建议 教材例习题的处理建议： (1) 教材上的例习题多数要用到计算器，有条件的可以直接使用； (2) 教师提供相关数据，解题时选用； (3) 改 教材例习题中的角为特殊角，高考试题基 本上都是特殊角或简单变形可计算出其值的角。 用正弦定理解题 用余弦定理解题 用正、余弦定理综合应用 三角应用问题 正余弦定理的应用例习题选 第二章 数 列 数 列 等差数列 等比数列 通项公式 前 n 项和 通项公式 前 n 项和 数列的应用 知识结构 内容与课程学习目标 知识内容及课时安排 2.1 数列的概念与简单表示 约 2 课时 2.2 等差数列 约 2 课时 2.3 等差数列前 n 项和 约 2 课时 2.4 等比数列 约 2 课时 2.5 等比数列前 n 项和 约 2 课时 小结 约 2 课时 内容与课程学习目标 知识内容及课时安排 内容与课程学习目标 内容与课程学习目标 学习目标的解读 （ 1 ）理解数列的定义，了解数列是一类特殊函数 （ 2 ）了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） （ 3 ）认识数列是反映自然规律的基本模型。 （ 4 ）能根据给出的递推公式写出数列的前几项 （ 4 ）理解等差（等比）数列的概念 （ 5 ）掌握等差（等比）数列的通项公式 （ 6 ）了解等差数列（等比）与一次函数（指数函数）的关系 （ 7 ）能在具体的问题情境中，识别数列的等差（等比）关系进而用等差（等比）数列有关知识解决相应的问题 （ 8 ）掌握等差、等比数列前 n 项和的公式，能用它解决简单的问题 （ 9 ）理解等差、等比数列前 n 项和公式的推导方法 （ 10 ）能利用等差等比数列前 n 项和公式及性质求一些特殊数列的和 （ 12 ）等比数列的求和公式达到灵活应用 。 （ 11 ）理解 的关系 课程标准与大纲比较 数列 等差数列 等比数列 数列概念 表示方法 递推公式 与函数关系 概念 通项公式 前 n 项和 与函数关系 概念 通项公式 前 n 项 和 与函数关系 大纲要求 理解 了解 了解 了解 理解 掌握运用 掌握运用 理解 掌握运用 掌握运用 标准要求 了解 了解 了解 了解 理解 掌握运用 掌握运用 体会 理解 掌握运用 掌握运用 体会 新旧教材对比 教材有定义和 2 个例题 新课标强调函数本质，重应用 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 大纲教材 课标教材 数学第一册（上）第三章 数列（约 15 课时） 数学 5 第 2 章 数列（约 12 课时） 3.1 数列 ( 约 2 课时 ) 2.1 数列的概念与简单表示法 ( 约 2 课时 ) 3.2 等差数列 ( 约 2 课时 ) ( 阅读与思考 斐波那契数列 ) 3.3 等差数列的前 n 项和 ( 约 2 课时 ) （信息技术应用 估计的值） ( 阅读材料 有关规定储蓄的计算 ) 2.2 等差数列 ( 约 2 课时 ) 3.4 等比数列 ( 约 2 课时 ) 2.3 等差数列的前 n 项和 ( 约 2 课时 ) 3.5 等比数列的前 n 项和 ( 约 2 课时 ) 2.4 等比数列 ( 约 2 课时 ) 研究性课题：分期付款中的有关计算（约 3 课时） 2.5 等比数列的前 n 项和 ( 约 2 课时 ) 小结与复习 ( 约 2 课时 ) ( 阅读与思考 九连环 ) ( 探究与发现 购房中的数学 ) 小结与复习 ( 约 2 课时 ) 课时比较 新旧教材对比 内容与课程学习目标 重点： 等差、等比数列的概念，通项及前 n 项 和公式及应用，数列与函数的关系。 难点： 等差、等比数列的通项及前 n 项和公式的 灵活应用，求一些特殊数列的前 n 项和 关键： 等差、等比数列的基本元素（ a n , a 1, S n, d,q ） 间的换算及恒等变形 关注过程 ：新颖别致的呈现方式 教材分析与教学建议 教 材 分 析 强调本质 ：以函数观点统领数列 高屋建瓴 ：把思想方法落到实处 强调本质：以函数观点统领数列 用研究函数的方法来研究数列 教材分析与教学建议 数列的通项是函数解析式 教材分析与教学建议 关注过程：新颖别致的呈现方式 现实情境 数学模型 应用于现实问题 把思想方法落到实处 教材分析与教学建议 类比思想 归纳思想 数形结合 方程思想 算法思想 特殊到一般 点此播放讲课视频 教学建议 教材分析与教学建议 强调数学思想的渗透 留给学生回味、思考空间 控制难度：等差等比性质，递推公式， 求和问题 培养学生看书的习惯 （教材有利于自学，需学生填空） 强调数列是特殊的函数，函数观点贯穿始终 强调数列是刻画实际问题的重要数学模型 两种数列的类比教学 教学建议 教材分析与教学建议 教学建议 教材分析与教学建议 点此播放讲课视频 第三章 不等式 内容与课程学习目标 知识结构 知识内容及课时安排 内容与课程学习目标 内 容 课 时 3.1 不等关系与不等式 ( 含不等式性质 ) 约 2 课时 3.2 一元二次不等式及其解法 约 3 课时 3.3.1 二元一次不等式 ( 组 ) 与平面区域 约 2 课时 3.3.2 简单的线性规划问题 约 3 课时 阅读与思考 错在哪儿 ? 信息技术应用 用 Excel 解线性规划问题举例 3.4 基本不等式 约 3 课时 小结与复习 约 3 课时 学习目标的解读 内容与课程学习目标 （ 1 ）了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景 （ 2 ）会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式组）研究含有不等关系的实际问题 （ 3 ）掌握不等式的基本性质。 （ 4 ）了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程 （ 5 ）理解一元二次不等式的概念 （ 6 ）通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系； 学习目标的解读 内容与课程学习目标 学习目标的解读 内容与课程学习目标 （ 8 ）了解求解一元二次不等式的程序框图及算法思想 （ 9 ）了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程； （ 10 ）理解二元一次不等式（组）解集的概念；理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义 （ 11 ）会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域 学习目标的解读 内容与课程学习目标 （ 7 ）会求一元二次不等式解集 学习目标的解读 内容与课程学习目标 （ 14 ）了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程 （ 15 ）理解算术平均数，几何平均数的概念 （ 16 ）会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题 （ 12 ）了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念； （ 13 ）掌握简单的二元线性规划问题的解法 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 内 容 课程标准 大 纲 区 别 不 等 关 系 与 不 等 式 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 ( 组 ) 的现实背景 1 ．理解不等式的性质及其证明． 2 ．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 3 ．掌握简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法． 4 ．理解不等式 1 ．在课标中侧重通过具体情境，让学生感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，认识到不等关系和相等关系同样重要．理解不等式 ( 组 ) 对于刻画不等关系的意义和价值． 增加 了对分析处理具体问题的要求． 2 ． 删除 了对解绝对值不等式和解分式不等式的要求，不等式证明基本不作要求． 3 ．不要求理解不等式 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 内容 课程标准 大纲 区 别 一 元 二 次 不 等 式 1 ．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型的过程． 2 ．通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 3 ．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图． 掌 握 二 次 不 等 式 的 解 法 ． 课标 增加 了“经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型的过程”， 加强 了一元二次不等式的背景和应用， 加强 了与函数、方程的联系， 加强 了数形结合； 增加 了“尝试设计求解的程序框图”， 提高 了对运用现代信息技术解决问题的能力要求． 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 内容 课程标准 大 纲 区 别 二 元 一 次 不 等 式 组 与 简 单 线 性 规 划 问 题 1. 从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3 ．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决． 1 ．了解二元一次不等式表示区域． 2 ．了解简单的线性规划问题． 3 ．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 4 ．以线性规划为内容，培养解决实际问题的能力 1 ．课标要求从实际情境中抽象出二元一次不等式组， 但大纲不做要求 ． 2 ．由“了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义”变为“从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题”， 提高了要求． 3 ．由“并会简单的应用”、“培养解决实际问题的能力”变为“并能加以解决”， 提高了要求 ． 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 内容 课程标准 大 纲 区 别 基 本 不 等 式 1 ．探索并了解基本不等式的证明过程． 2 ．会用基本不等式解决简单的最大 ( 小 ) 问题． 掌握两个 ( 不扩展到三个 ) 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 1 ．由“掌握”到“探索并了解证明过程”， 提高了对过程的要求． 2 ．由“学会简单的应用”到“会解决简单的最大 ( 小 ) 问题”，不要求用基本不等式作推理证明， 降低了难度和广度 ；强调基本不等式在解决简单的最大 ( 小 ) 问题中的作用， 提高了对解决实际问题能力的要求 课程标准与大纲比较 新旧教材对比 增强： 不等式（组） —— 反映不等关系的数学模型； 二元一次不等式组的几何意义及应用（线性规划）； 加强了与函数、方程的联系，加强了数形结合； 强调基本不等式在解决最值问题中的作用 删减： 不等式的证明； 用基本不等式作推理证明； 高次不等式、无理不等式。 比较分析 新旧教材对比 但在选修 1-2 （文科必选）、选修 2-2 （理科必选） 的推理与证明中有不等式的证明方法，在选修 4-5 中介绍了更多放入证明方法 √ 高一 （上）第一章 《 集合 与简易逻辑 》 1 .4 绝对值不等式的解      约 2 课时 1 .5 一元二次不等式的解法  约 4 课时 3.2 一元二次不等式及其解法 3 高二数学（上）第六章 《 不等式 》 6.1 不等式的性质     6.2 算术平均数与几何平均数   6.3 不等式的证明             6.4 不等式的解法举例  6.5 含有绝对值的不等式    3.1 不等关系与不等式 3.4 基本不等式 高二（上）第七章 《 直线和圆的方程 》 7 ． 4 线性规划 约 3 课时 3.3 二元一次方程组 与简单线性规划 √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ 新旧教材对比 强调问题意识性 以问题导教，导学 以问题代替例题 教材分析与教学建议 没有用基本不等式作推理证明的题 只有两个例题（应用题） 淡化技巧，强化应用 教材分析与教学建议 通过数轴，给出比较实数大小的方法 作差法比较大小（例题 1 、 2 ） 五个定理和三个推论 严格的证明 例题（用性质证明不等式） ╳ ╳ 反对称性 可加性 传递性 可乘性 开方性 √ √ √ √ 保留 1 个 改探究 增加实际背景、建立不等关系 √ √ 3.1    不等关系（含不等式性质） 教学建议 教材分析与教学建议 大纲教材 改 8 个性质 教学建议 教材分析与教学建议 教学建议 教材分析与教学建议 教学建议 教材分析与教学建议 3 、建议在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠， 而应该在说明这些性质的合理性上举例说明 1 、提出问题，学生自学，自主探究 教学建议 教材分析与教学建议 2 、引导学生进一步挖掘一些感兴趣的和富有时代感的 素材，通过分析其中的基本数量关系，以加深学生对 “ 不等关系是客观事物的基本数量关系 ” 的认识 3.1    不等关系（含不等式性质） 3.2    一元二次不等式及其解法 教学建议 教材分析与教学建议 不提前上到底有多大影响？ 在数学 1 第三章中，补讲简单一元二次不等 式的解法，现在怎么处理 加强函数与方程的联系 简单的含参的一元二次不等式解法， 简单的二次不等式恒成立问题（ 原来了解 ） 教学建议 教材分析与教学建议 3.3    二元一次不等式（组） 与简单线性规划问题 教学建议 教材分析与教学建议 线 性 规 划 学 情 分 析 难点一：如何判断区域在直线上或下，左或右 —— 可以借助一次函数图像讲清楚。 难点二：目标函数 —— 关于截距问题。 难点三：斜率大小问题 需作铺垫： 方程与函数的关系； 直线斜率大小与直线陡平的关系； 斜率相同则平行；截距问题。 教学建议 教材分析与教学建议 借助一次函数图像讲二元一次不等式（组）与平面区域 线性规划问题处理方法 1 铺垫 : (1) 直线的截距 (2) 平移目标函数 ( 直线 ) l 0 到区域边界交点处， 取特殊点，考察 l 0 夹在哪两条直线之间，从而解决 没有学习斜率问题 (3) 引导学生体会线性规划的基本思想，在其它 方面的一些应用不作过多展开 教学建议 教材分析与教学建议 教学建议 教材分析与教学建议 线性规划问题处理 方法 2 放在 《 直线方程 》 中去学习，回到大纲教材的体系。 差异是 ：方法一是在半期前学习， 方法二是在半期后学习 教学建议 教材分析与教学建议 充分利用信息技术，展示区域，目标函数的移动 我们建议使用方法 2 3.4    基本不等式 教学建议 教材分析与教学建议 一、基本不等式 从 “ 风车 ” 的几何意义入手引出基本不等式 分析法，学生自学，填空完成证明 通过自主探究对基本不等式作几何解释，加深理解 得出结论：基本不等式 教学建议 教材分析与教学建议 2 、求最值 利用基本不等式求最值是本课的教学核心 重视最值概念，不等式等号成立条件 关注运用要点。 一正，二定，三相等 重视实际应用题的教学 基本不等式仅限于二元均值不等式，不必推广到 三个以上变量的情形 点此播放讲课视频 谢谢 2011 年 2 月 21 日 点此播放讲课视频