江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷

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江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷

江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学试卷 ‎(总分160分,考试时间120分钟)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分。不需写出解题过程,请把答案写在答题纸的指定位置上。‎ ‎⒈若集合,且,则实数的值为 。‎ ‎⒉若复数满足(为虚数单位),则 。‎ ‎⒊现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为 。‎ ‎⒋已知正六棱锥的底面边长是3,侧棱长为5,则该正六棱锥的体积是 。‎ ‎⒌若,是两个单位向量,,,且⊥,则,的夹角为 。‎ ‎⒍如图,该程序运行后输出的结果为 。‎ ‎⒎函数,的单调递增区间为 。‎ ‎⒏若等比数列满足且(且),则的值为 。‎ ‎⒐过点且与直线:和:都相切的所有圆的半径之和为 。‎ ‎⒑设函数满足对任意的,且。已知当时,有,则的值为 。‎ ‎⒒椭圆()的左焦点为F,直线与椭圆相交于A,B两点,若的周长最大时,的面积为,则椭圆的离心率为 。‎ ‎⒓定义运算,则关于非零实数的不等式的解集为 。‎ ‎⒔若点G为的重心,且AG⊥BG,则的最大值为 。‎ ‎⒕若实数、、、满足,则的最小值为 。‎ 二、解答题:本大题共6小题,计90分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。‎ ‎⒖(本小题满分14分)已知函数。‎ ‎⑴求的最小正周期;‎ ‎⑵求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。‎ ‎⒗(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E为的PC中点。‎ ‎⑴求证:PA∥平面BDE;‎ ‎⑵求证:平面PBC⊥平面PDC。‎ ‎⒘(本小题满分14分)如图,在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了A、B两个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元。设∠,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。‎ ‎⑴写出S关于的函数表达式,并指出的取值范围;‎ ‎⑵问中转点D距离A处多远时,S最小?‎ ‎⒙(本小题满分16分)如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M。‎ ‎⑴求椭圆T与圆O的方程;‎ ‎⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合)。‎ ‎①若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;‎ ‎②若,求与的方程。‎ ‎⒚(本小题满分16分)设函数(,)。‎ ‎⑴若,求在上的最大值和最小值;‎ ‎⑵若对任意,都有,求的取值范围;‎ ‎⑶若在上的最大值为,求的值。‎ ‎⒛(本小题满分16分)设是各项均为非零实数的数列的前项和,给出如下两个命题上:‎ 命题:是等差数列;命题:等式对任意()恒成立,其中是常数。‎ ‎⑴若是的充分条件,求的值;‎ ‎⑵对于⑴中的与,问是否为的必要条件,请说明理由;‎ ‎⑶若为真命题,对于给定的正整数()和正数M,数列满足条件,试求的最大值。‎ 盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学附加部分 ‎(本部分满分40分,考试时间30分钟)‎ ‎21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。‎ A.(选修4-1:几何证明选讲)‎ 如图,AB是⊙O的直径,C、E为⊙O上的点,且CA平分∠‎ BAE,DC是⊙O的切线,交AE的延长线于点D。求证:CD⊥AE。‎ B.(选修4-2:矩阵与变换)‎ 求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 , 。‎ C.(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 已知圆C的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,求直线截圆C所得的弦长。‎ D.(选修4-5:不等式选讲)‎ 若,证明 ‎[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点。‎ ‎(1)求证:⊥平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值。‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知数列满足,。‎ ‎(1)证明:();‎ ‎(2)证明:。‎ 盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.‎ ‎1. 4 2. 3. 4. 5. 6. 16 7. 8.16 ‎ ‎9. 42 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15.解:(Ⅰ)‎ ‎………………………………………………………………………………………2分 ‎……………………………………………………………………………………………4分 所以 ‎……………………………………………………………………………………………7分 ‎(Ⅱ)因为,所以……………………………………………………9分 所以,所以,当即时,,‎ 当即时,,……………………………………………………………14分 ‎16.证明(1)连接交于,连接 ‎∵四边形是菱形, ∴是中点, ……………………………………………………………2分 又为中点.∴∥………………………………………………………………………………4分 又,∴∥平面……………………………………………………7分 ‎(2)在△中,易得∴,∴………………………9分 ‎∴在△中可求得,同理在△中可求得 ‎∴在△中可得,即⊥………………………………………………………11分 又,为中点, ∴⊥……………………………………………………………12分 ‎⊥面,又面∴平面平面………………………………………14分 ‎17.解: (1)由题在中,.‎ 由正弦定理知,得 ‎……………3分 ‎……………………………………………………………………7分 ‎(2),令,得……………………………………………………10分 当时,;当时,,当时取得最小值………………12分 此时,‎ 中转站距处千米时,运输成本最小……………………………………………………14分 ‎18.解: (1)由题意知: 解得可知:‎ 椭圆的方程为与圆的方程…………………………………………………4分 ‎(2)设因为⊥,则因为 所以,………………………………………………7分 因为 所以当时取得最大值为,此时点…………9分 ‎(3)设的方程为,由解得;‎ 由解得………………………………………………………………11分 把中的置换成可得,………………………………12分 所以,‎ ‎,‎ 由得解得…………………………………………15分 所以的方程为,的方程为 或的方程为,的方程为…………………………………………………16分 ‎19.解(1) …………………………………………………… 2分 ‎∴在内, ,在 ‎∴在内, 为增函数,在内为减函数 ‎∴函数的最大值为,最小值为………………………………4分 ‎(2)∵对任意有,∴‎ 从而有∴………………………………………………………………………………6分 又∴在内为减函数,在内为增函数,只需,则 ‎∴的取值范围是……………………………………………………………………………10分 ‎(3)由知①②,‎ ‎①加②得又∵∴∴……………………………………14分 将代入①②得∴……………………………………………………………………16分 ‎20.解:(1)设的公差为,则原等式可化为 所以,‎ 即对于恒成立,所以…………………………………………………4分 ‎(2)当时,假设是否为的必要条件,即“若①对于任意的恒成立,则为等差数列”. ‎ 当时,显然成立.……………………………………………………………………………6分 当时,②,由①-②得,‎ ‎,即③.‎ 当时,,即、、成等差数列,‎ 当时,④,即.所以为等差数列,即是否为的必要条件. ……………………………………………………………………………………………………10分 ‎(3)由,可设,所以.‎ 设的公差为,则,所以,‎ 所以,‎ ‎,所以的最大值为……………16分 A B C DD E O 附加题答案 ‎21. A、【证明】连结OC,所以∠OAC=∠OCA,‎ 又因为CA平分∠BAE,所以∠OAC=∠EAC,‎ 于是∠EAC=∠OCA,所以OC//AD. ‎ 又因为DC是⊙O的切线,所以CD⊥OC, CD⊥AE………………… 10分 B.解:MN==,………………………………………………………………4分 设是曲线上任意一点,点在矩阵MN对应的变换下变为点,‎ 则有,于是,.……………………………………8分 代入得,‎ 所以曲线在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为………………………10分 C.圆的方程为 ;直线的方程为 .‎ 故所求弦长为.…………………………………………………………………………10分 D.证明:由柯西不等式可得 ‎…………………7分 又,所以.………………………………………………10分 ‎22. 解:取BC中点O,连AO,∵为正三角形,‎ ‎∴,‎ ‎∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,‎ 取中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则.∴,‎ ‎∵,.‎ ‎∴,,∴面………………………………………………………5分(2)设平面的法向量为,。‎ ‎,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面,‎ ‎∴为平面的法向量,,‎ ‎∴二面角的余弦值为………………………………………………………………10分 ‎23.(1)因为所以 假设当时,因为,‎ 所以,由数学归纳法知,当时.………………………………5分 ‎(2)由(1)知,得,‎ 所以所以即 所以,以此类推,得,问题得证. …………10分 ‎ ‎
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