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文档介绍
2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(文科)
2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(文科) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(5分)已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0},B=,则A∩B=( ) A. B. C. D. 2.(5分)若复数z满足z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中i为虚数单位),则z的虚部为( ) A. B. C.i D.i 3.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)满足:∀x1,x2∈R,当|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|min=,那么f(x)的最小正周期是( ) A. B. C.π D.2π 4.(5分)已知函数f(x)在R上存在导数f′(x),下列关于f(x),f′(x)的描述正确的是( ) A.若f(x)为奇函数,则f′(x)必为奇函数 B.若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数 C.若f(x)不为周期函数,则f′(x)必不为周期函数 D.若f(x)为偶函数,则f′(x)必为偶函数 5.(5分)如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成,那么图形中的向量,满足•=( ) A.1 B.2 C.4 D.6 6.(5分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯的三视图,其表面积为( ) A.192 B.186 C.180 D.198 7.(5分)执行如图所示的程序框图,若m=4,则输出的结果为( ) A.1 B. C.2 D. 8.(5分)已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=1,那么+++…+=( ) A.2018 B.1009 C.4036 D.3027 9.(5分)在如图所示的边长为1的正方形ABCD中,C,C,C,C是分别以A,B,C,D为圆心,1为半径的圆位于正方形内的部分,现从正方形内任取一点P,那么点P取自阴影部分的概率等于( ) A. B.﹣ C.﹣ D.﹣ 10.(5分)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|:|PF2|=3:4,那么△GPF1的面积为( ) A.24 B.12 C.8 D.6 11.(5分)用min{a,b}表示实数a,b中的较小者,已知向量,,满足||=1,||=2,•=0,=λ+μ(λ+μ=1),则当min{•,•}取得最大值时,||=( ) A. B. C.1 D. 12.(5分)已知函数f(x)=,x∈(﹣1,+∞),若关于x的方程f2(x)+m|f(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是( ) A.(﹣,0) B.(﹣,﹣) C.(﹣,﹣] D.(﹣,0) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(5分)已知函数f(x)=2x﹣e+1的图象经过点(1,3),那么f(log23)= . 14.(5分)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(10分制)的频数分布统计图如图所示,如果得分值的中位数为a,众数为b,平均数为c,则a、b、c中的最大者是 . 15.(5分)若平面区域夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为,那么这两条平行直线的斜率是 . 16.(5分)若函数f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数,f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数,已知存在点P(x1,f(x1)),Q(x1+,f(x1+)),使函数f(x)在P、Q点处的切线斜率互为倒数,那么cosφ= . 三、解答题(本大题共5小题,共70分) 17.(12分)已知{an}是等差数列,且a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 18.(12分)已知△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2. (1)若CD=,AD=2,求AB; (2)求△ABC的周长的取值范围. 19.(12分)为使政府部门与群众的沟通日常化,某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政;2016年初,社区随机抽取了60名居民,对居民上网参政议政意愿进行调查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表: 参与调查问卷次数 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 参与调查问卷人数 8 14 8 14 10 6 附: P(k2>k0) 0.100 0.050 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 K2= (1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根据频数分布表,完成2×2列联表,据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”? 男 女 合计 积极上网参政议政 8 不积极上网参政议政 合计 40 (2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人,再从选取的6人中选出3人参加政府听证会,求选出的3人为2男1女的概率. 20.(12分)已知函数f(x)=﹣x3+ax2﹣bx(a,b∈R). (1)当a=1时,若∀x>0,都有f(x)≤bx2+x成立,求实数b的最小值; (2)若b=﹣3a2(a>0).若函数f(x)的极小值点和极大值点分别为x1,x2. ①求f(x1),f(x2); ②当λ∈(0,1)时,求f()的值域. 21.(12分)已知函数f(x)=﹣ax2+lnx(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若∃x∈(1,+∞),f(x)>﹣a,求a的取值范围. 请考生在22、23二题中任选一题作答. 22.(10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(t为参数). (1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程; (2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=﹣与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积. 23.已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈(0,+∞),且++=m,证明:a+2b+3c≥9. 2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(5分)已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0},B=,则A∩B=( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|}, B=={x|x}, ∴A∩B={x|}=[,1]. 故选:B. 2.(5分)若复数z满足z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中i为虚数单位),则z的虚部为( ) A. B. C.i D.i 【解答】解:∵复数z满足z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中i为虚数单位), ∴z===+i. 则z的虚部为. 故选:A. 3.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)满足:∀x1,x2∈R,当|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|min=,那么f(x)的最小正周期是( ) A. B. C.π D.2π 【解答】解:根据正弦型函数f(x)=sin(ωx+)的图象与性质知, 对∀x1,x2∈R,当|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|min=, ∴f(x)的最小正周期是T=2×=π. 故选:C. 4.(5分)已知函数f(x)在R上存在导数f′(x),下列关于f(x),f′(x)的描述正确的是( ) A.若f(x)为奇函数,则f′(x)必为奇函数 B.若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数 C.若f(x)不为周期函数,则f′(x)必不为周期函数 D.若f(x)为偶函数,则f′(x)必为偶函数 【解答】解:对于A:例如:f(x)=x3为奇函数,则f′(x)=3x2,为偶函数,故A错误, 对于B:f(x)是可导函数,则f(x+T)=f(x),两边对x求导得(x+T)′f'(x+T)=f'(x), f'(x+T)=f'(x),周期为T.故若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数.故B正确, 对于C:例如:f(x)=sinx+x不是周期函数,当f′(x)=cosx+1为周期函数,故C错误, 对于D:例如:f(x)=x2为偶函数,则f′(x)=2x为奇函数,故D错误, 故选:B. 5.(5分)如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成,那么图形中的向量,满足•=( ) A.1 B.2 C.4 D.6 【解答】解:如图, 由题意可知,,且与的夹角为60°, ∴=. 则,, ∴•== =. 故选:D. 6.(5分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯的三视图,其表面积为( ) A.192 B.186 C.180 D.198 【解答】解:由三视图还原原几何体,可知该几何体为组合体,上部分为长方体,棱长分别为2、6、3,下部分为长方体.棱长分别为6、6、3, 其表面积公式S=4×6×3+2×6×6+(2+6)×2×2=192 故选:A. 7.(5分)执行如图所示的程序框图,若m=4,则输出的结果为( ) A.1 B. C.2 D. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 p=4,k=0 不满足条件k2≥3k+4,p=4,k=1 不满足条件k2≥3k+4,p=8,k=2 不满足条件k2≥3k+4,p=32,k=3 不满足条件k2≥3k+4,p=256,k=4 满足条件k2≥3k+4,退出循环,可得z= 故选:D. 8.(5分)已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=1,那么+++…+=( ) A.2018 B.1009 C.4036 D.3027 【解答】解:由意题f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=1, 可得令x=n,y=1,可得f(n+1)=f(n), 可得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(n)=1, 那么:+++…+=f2(1)+f2(2)+…+f2(1009)=1009. 故选:B 9.(5分)在如图所示的边长为1的正方形ABCD中,C,C,C,C是分别以A,B,C,D为圆心,1为半径的圆位于正方形内的部分,现从正方形内任取一点P,那么点P取自阴影部分的概率等于( ) A. B.﹣ C.﹣ D.﹣ 【解答】解:如图, 由对称性可知,阴影部分所占面积为弓形BC1D面积的一半, ∵正方形ABCD的边长为1, 则扇形ABD的面积为,直角三角形ABD的面积为, ∴阴影部分的面积为. 又正方形ABCD的面积为1, ∴从正方形内任取一点P,那么点P取自阴影部分的概率等于. 故选:D. 10.(5分)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|:|PF2|=3:4,那么△GPF1的面积为( ) A.24 B.12 C.8 D.6 【解答】解:∵点P为椭圆C:+=1上一点,|PF1|:|PF2|=3:4,|PF1|+|PF2|=2a=14 ∴|PF1|=6,|PF2|=8,又∵F1F2=2c=10, ∴△PF1F2是直角三角形,S=, ∵△PF1F2的重心为点G.∴S=, ∴△GPF1的面积为8, 故选:C 11.(5分)用min{a,b}表示实数a,b中的较小者,已知向量,,满足||=1,||=2,•=0,=λ+μ(λ+μ=1),则当min{•,•}取得最大值时,||=( ) A. B. C.1 D. 【解答】解:∵•=(λ+μ)•=λ+μ=λ, =(λ+μ)•=μ+λ=4μ=4﹣4λ, 令λ≥4﹣4λ,解得λ≥ ∴min{•,•}=, 设f(x)=, 则f(x)在[0,]上递增,在[,1]上递减, ∴当x=,f(x)取得最小值, 此时=+, ∴||2=(16+8•+)=, ∴||=, 故选:A. 12.(5分)已知函数f(x)=,x∈(﹣1,+∞),若关于x的方程f2(x)+m|f(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是( ) A.(﹣,0) B.(﹣,﹣) C.(﹣,﹣] D.(﹣,0) 【解答】解:,y=|f(x)|,x∈(﹣1,+∞)的图象如下: 设|f(x)|=t,则|f(x)|2+m|f(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,即为t2+mt+2m+3=0有两个根, ①t=0时,代入t2+mt+2m+3=0得m=﹣,即,另一根为只有一个交点,舍去 ②一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上时, 设h(t)=t2+mt+2m+3 ,解得﹣<m≤﹣. 故选:C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(5分)已知函数f(x)=2x﹣e+1的图象经过点(1,3),那么f(log23)= 4 . 【解答】解:∵函数f(x)=2x﹣e+1的图象经过点(1,3), ∴f(1)=21﹣e+1=3,解得e=0, ∴f(x)=2x+1, ∴f(log23)=+1=3+1=4. 故答案为:4. 14.(5分)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(10分制)的频数分布统计图如图所示,如果得分值的中位数为a,众数为b,平均数为c,则a、b、c中的最大者是 c . 【解答】解:由频率分布直方图知,众数为b=5; 由中位数的定义知是第15个数与第16个数的平均值, 将数据从小到大排第15 个数是5,第16个数是6, ∴中位数为a==5.5; 平均数是c=×(2×3+3×4+5×10+6×6+3×7+2×9+2×10)≈6.0, ∴b<a<c,即a、b、c中最大者是c. 故答案为:c. 15.(5分)若平面区域夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为,那么这两条平行直线的斜率是 1 . 【解答】解:作出平面区域如图所示: 可行域是等腰三角形,平面区域 夹在两条平行直线之间的距离为:, 可得可行域的A(1,2),B(2,1),C(3,3), |AB|==, ∴平行线间的距离的最小值为d=, 所求直线与x+y﹣3=0垂直,可得:k=1. 故答案为:1. 16.(5分)若函数f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数,f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数,已知存在点P(x1,f(x1)),Q(x1+,f(x1+)),使函数f(x)在P、Q点处的切线斜率互为倒数,那么cosφ= ±1 . 【解答】解:函数f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数, 可得f(﹣x)﹣sin(﹣x+φ)=f(x)﹣sin(x+φ), 即有f(﹣x)=f(x)﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ﹣sinxcosφ+cosxsinφ=f(x)﹣2sinxcosφ,① f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数, 可得f(﹣x)﹣cos(﹣x+φ)+f(x)﹣cos(x+φ)=0, f(﹣x)+f(x)﹣cosxcosφ﹣sinxsinφ﹣cosxcosφ+sinxsinφ=0, 即为f(﹣x)+f(x)﹣2cosxcosφ=0,② 由①②可得f(x)=(sinx+cosx)cosφ, 导数为f′(x)=(cosx﹣sinx)cosφ, ∃x1,使得函数f(x) 在点P(x1,f(x1)),Q(x1+,f(x1+))处的切线斜率互为倒数, 可得f′(x1)•f′(x1+)=1, 可得(cosx1﹣sinx1)cosφ•(cos(x1+)﹣sin(x1+))cosφ=1, 即为(cosx1﹣sinx1)(﹣sinx1﹣cosx1)cos2φ=1, 即为(sin2x1﹣cos2x1)cos2φ=1, 即有﹣cos2x1•cos2φ=1, 可得cos2φ=1,cos2x1=﹣1, ∴cosφ=±1. 故答案为:±1. 三、解答题(本大题共5小题,共70分) 17.(12分)已知{an}是等差数列,且a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 【解答】解:(1){an}是等差数列,设数列的公差为d,且a1=3,a4=12, 则:, 所以数列的通项公式为:an=3+3(n﹣1)=3n. 数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列,设公比为q, 则:, 解得:q=2. 所以数列的通项公式为:, 整理得:. (2)由于:, 则:Sn=3(1+2+…+n)+(20+21+…+2n﹣1), =, =. 18.(12分)已知△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2. (1)若CD=,AD=2,求AB; (2)求△ABC的周长的取值范围. 【解答】解:(1)△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2.CD=,AD=2, 则:=, 所以:=. 在△ABC中,利用正弦定理: , 解得:=, (2)△ABC中,利用正弦定理得:=, 所以:,=, 由于:0<A<120°, 则:l△ABC==, =2+, =, 由于:0<A<120°, 则:30°<A+30°<150°, 得到:, 所以△ABC的周长的范围是: 19.(12分)为使政府部门与群众的沟通日常化,某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政;2016年初,社区随机抽取了60名居民,对居民上网参政议政意愿进行调查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表: 参与调查问卷次数 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 参与调查问卷人数 8 14 8 14 10 6 附: P(k2>k0) 0.100 0.050 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 K2= (1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根据频数分布表,完成2×2列联表,据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”? 男 女 合计 积极上网参政议政 8 不积极上网参政议政 合计 40 (2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人,再从选取的6人中选出3人参加政府听证会,求选出的3人为2男1女的概率. 【解答】解:(1)由题意知积极上网参政的有:8+14+10+6=38人, 不积极上网参政的有8+14=22人, 2×2列联表为: 男 女 合计 积极上网参政居民 30 8 38 不积极上网参政居民 10 12 22 合计 40 20 60 ∴K2=≈7.03,∵7.03>6.635, ∴有99%的把握认为“上网参政与性别有关”. (2)选取男居民人数为6×=4人, 选取女居民人数为6×, 记4个男居民为A,B,C,D,2个女居民为甲,乙, 从选取的6人中选出3人参加政府听证会,基本事件总数有20种,分别为: (A,B,C),(A,B,D),(A,B,甲),(A,B,乙),(A,C,D),(A,C,甲),(A,C,乙), (A,D,甲),(A,D,乙),(A,甲,乙),(B,C,D),(B,C,甲),(B,C,乙),(B,D,甲), (B,D,乙),(B,甲,乙),(C,D,甲),(C,D,乙),(C,甲,乙),(D,甲,乙), 选出的3人恰为2男1女的有12种, ∴选出的3人恰为2男1女的概率为:p=. 20.(12分)已知函数f(x)=﹣x3+ax2﹣bx(a,b∈R). (1)当a=1时,若∀x>0,都有f(x)≤bx2+x成立,求实数b的最小值; (2)若b=﹣3a2(a>0).若函数f(x)的极小值点和极大值点分别为x1,x2. ①求f(x1),f(x2); ②当λ∈(0,1)时,求f()的值域. 【解答】解:(1)当a=1时,∀x>0,都有f(x)≤bx2+x成立,⇔+x2﹣bx≤bx2+x⇔b≥(x>0). 令t=x+1>1.∴b≥=﹣(t>1). ∵t>1,t+=2,当且仅当t=时取等号.∴﹣≤(t>1). ∴b的最小值为:(t>1). (2)b=﹣3a2(a>0).f(x)=﹣x3+ax2+3a2x, f′(x)=﹣x2+2ax+3a2=﹣(x﹣3a)(x+a),令f′(x)=0,解得x=3a,或﹣a. ∵a>0,可得函数f(x)在(﹣∞,﹣a)上单调递减;在(﹣a,3a)上单调递增;(3a,+∞)上单调递减. ∴f(x)的极小值=f(﹣a)=﹣,f(x)的极大值=f(3a)=9a3. ②由①可知:x1=﹣a,x2=3a.∴=x2+(x1﹣x2),λ∈(0,1),(x1﹣x2)∈(x1﹣x2,), 故∈⊆(x1,x2). 由①可得:f(x)在(x1,x2)上单调递增,∴f()的值域是=(f(﹣a),f(a))=. 21.(12分)已知函数f(x)=﹣ax2+lnx(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若∃x∈(1,+∞),f(x)>﹣a,求a的取值范围. 【解答】解:(1)由f(x)=﹣ax2+lnx,得f′(x)=﹣2ax+=(x>0), 当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数; 当a>0时,由f′(x)=0,得=﹣<0,=>0, ∴当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈()时,f′(x)<0,f(x)为减函数; (2)当a≤0时,若x∈(1,+∞),则f(x)+a=﹣ax2+lnx+a=a(1﹣x2)+lnx>0,满足题意; 当a>0时,由(1)知,当,即a时,f(x)在(1,+∞)上为减函数,此时f(x)max=f(1)=﹣a,﹣a>﹣a不成立; 当,即0<a<时,f(x)在(1,)上为增函数,在(,+∞)上为减函数, 此时=, 由,得1+ln2a<2a, 令g(a)=1+ln2a﹣2a,则g′(a)=, 则g(a)在(0,)上为增函数,∴g(a)<g()=0,即1+ln2a<2a恒成立, ∴0<a<. 综上,若∃x∈(1,+∞),使得f(x)>﹣a,a的取值范围为a. 请考生在22、23二题中任选一题作答. 22.(10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(t为参数). (1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程; (2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=﹣与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积. 【解答】解:(1)线C的极坐标方程是ρ=4cosθ. 转化为直角坐标方程为:x2+y2=4x 直线的参数方程, 转化为直角坐标方程为:y=x﹣m. (2)当m=0时, 求得:A(2,),B(2,﹣), 所以:=. 23.已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈(0,+∞),且++=m,证明:a+2b+3c≥9. 【解答】解:(1)函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1], 可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1],即有[﹣m,m}={﹣1,1], 可得m=1; (2)证明:a,b,c∈(0,+∞),且++=1, 则a+2b+3c=(a+2b+3c)(++) =3+(+)+(+)+(+) ≥3+2+2+2 =3+2+2+2=9, 当且仅当a=2b=3c=3,取得等号. 查看更多