2018-2019学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版）
2018-2019学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试理数试题
一、单选题
1．已知集合A={-1,2,3}，B={0,1,2,3,4}，则CB(A∩B)=（ ）
A． {0,4} B． {0,1,4} C． {1,4} D． {0,1}
2．设p:log2x2>2，q:x>2，则p是q成立的（ ）
A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a//b，则tan(α-π4)等于（ ）
A． 3 B． -3 C． 13 D． -13
4．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)垂直的概率为( )
A． 16 B． 13 C． 14 D． 12
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． π+8 B． 2π+8 C． π+83 D． 2π+83
（5题图） （6题图）
6．甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，x1,x2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1,s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（ ）
A． x1>x2，s1<s2 B． x1=x2，s1<s2
C． x1=x2，s1=s2 D． x1<x2，s1>s2
7．观察式子：1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…，则可归纳出式子为（ ）
A． 1+122+132+⋯+1n2<2n-1n,(n≥2) B． 1+122+132+⋯+1n2<2n+1n,(n≥2)
C． 1+122+132+⋯+1n2
0,n>0)的焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，离心率为12，则m-n=（ ）
A． 23-4 B． 4-33 C． 43-8 D． 8-43
9. 把函数f(x)=sin2x+3cos2x的图象向右平移π6个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)（ ）
A． 在(0,π4)上单调递增 B． 在(0,π4)上单调递减
C． 图象关于点(-π12,0)对称 D． 图象关于直线x=π6对称
10.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ）
A． 6 B． 9 C． 3 D． 4
11．已知函数fx=-ex,x≤0,lnx,x>0（e为自然对数的底数），若关于x的方程fx+a=0有两个不相等的实根，则a的取值范围是（ ）
A． a>-1 B． -10,b>0的右支上，其左，右焦点分别为F1,F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则双曲线的离心率为（ ）
A． 32 B． 43 C． 2 D． 53
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．命题“∃x0≥3,x02+x0≤13”的否定是________.
14．已知实数x，y满足约束条件x-y+1≥0,2x+y-4≤0,y≥0,，则z=x-2y的最小值为________.
15．已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a+2b|=23，则a与b的夹角为___________．
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|-|PB|=K,则动点P的轨迹是双曲线；
②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线x225-y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点；
④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．设函数f(x)=2x-7+1.
（1）求不等式f(x)≤x的解集；
（2）若存在x使不等式f(x)-2x-1≤a成立，求实数a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+2acosθa>0；直线l的参数方程为x=-2+22t,y=22t（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点P的极坐标为2,π，PM+PN=52，求a的值.
19．已知函数f(x)=sinxcosx-3cos2x+32
（1）求函数f(x)的最小值以及取得最小值时x的取值集合
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，且f(A2)=0,a=6,b+c=43．求△ABC的面积
20．已知命题恒成立；命题方程表示双曲线.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.
21．已知an是等差数列，bn是等比数列，其中a1=b1=1，a2+b3=a4，a3+b4=a7.
（1）求数列an与bn的通项公式；
（2）记cn=1na1+a2+⋯+anb1+b2+⋯+bn，求数列cn的前n项和Sn.
22．已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，O为坐标原点，点P-1,22在椭圆上，且PF1•F1F2=0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l:y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A,B.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 当OA•OB=λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长AB的取值范围．
理数参考答案
1．B A B A C B A A A A C D D
13．∀x≥3,x2+x>13 14．-3 15．π3 16．②③④
17．（1）2x-7+1≤x⇒2x-7≤x-1
当x≤1时，显然不成立
当x>1时，平方得：3x2-26x+48≤0⇒(x-6)(3x-8)≤0⇒83≤x≤6
综上：83≤x≤6
（2）若存在x使不等式2x-7-2x-1+1≤a成立，即2x-7-2x-1+1的最小值小于等于a.
∴2x-7-2x-1+1=6 x≤1-4x+10 10，得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθa>0，
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y+2ax，
即x-a2+y-12=a2+1，
直线l的普通方程为y=x+2.
(2)将直线l的参数方程x=-2+22t,y=22t代入x2+y2=2y+2ax并化简、整理，
得t2-32+2at+4a+4=0.
因为直线l与曲线C交于M，N两点。
所以Δ=32+2a2-44a+4>0，解得a≠1.
由根与系数的关系，得t1+t2=32+2a，t1t2=4a+4.
因为点P的直角坐标为-2,0，在直线l上.
所以PM+PN=t1+t2=32+2a=52，
解得a=2，此时满足a>0.且a≠1，
故a=2.．
19． （1）由题意得f(x)=12sin2x-32(cos2x+1)+32
=12sin2x-32cos2x
=sin2x-π3，
∴当2x-π3=-π2+2kπ，k∈Z，
即x=-π12+kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值−1，
∴函数f(x)的最小值为−1，此时x的取值集合为xx=-π12+kπ， k∈Z．
（2）由题意得及（1）得 fA2=sinA-π3=0，
∵ A为△ABC的内角，
∴A=π3．
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，
即a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，
又a=6，b+c=43，
∴36=48-3bc，
∴bc=4，
∴ △ABC的面积S=12bcsinA=12×4×32=3．
20．(1) ;(2) ，或.
（1），∵，∴，故命题为真命题时， ．
（2）若命题为真命题，则，所以，
因为命题为真命题，则至少有一个真命题， 为假命题，
则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.
当命题为真命题，命题为假命题时， ，则，或；
当命题为假命题，命题为真命题时， ， 舍去．
综上， ，或.
21．(1)an=2n-1， bn=2n-1.(2)Sn=n-1⋅2n+1-nn+12+2.
（1）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，
由a1=b1=1，得an=1+n-1d，bn=qn-1，
由a2+b3=a4，a3+b4=a7，得q2=2d，q3=4d，
∴d=q=2.[]
∴an的通项公式an=2n-1，bn的通项公式bn=2n-1.
（2）由（Ⅰ）可得a1+a2+⋯+an=n2，b1+b2+⋯+bn=2n-1，
故cn=1nn22n-1=n⋅2n-n.
则Sn=1×2+2×22+⋯+n⋅2n-1+2+⋯+n.
令Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，①
则2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1，②
由②-①，得Tn=n⋅2n+1-2+22+23+⋯+2n =n-1⋅2n+1+2.
∴Sn=n-1⋅2n+1+2-1+2+⋯+n= n-1⋅2n+1-nn+12+2.
22． （1）由PF1⋅F1F2=0得PF1⊥F1F2，可得c=1，将点P-1,22代入椭圆方程得1a2+12b2=1，又因为a2-b2=c2=1，联立解得a2=2,b2=1，故椭圆方程为x22+y2=1．
（2）直线l:y=kx+m与⊙O相切，则|m|k2+1=1⇒m2=k2+1。
由x22+y2=1y=kx+m得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0
因为直线l与椭圆交于不同的两点A,B．设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴Δ>0⇒k2>0⇒k≠0，x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2
y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2=m2-2k21+2k2
∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=1+k21+2k2=λ⇒23≤1+k21+2k2≤34⇒12≤k2≤1
∴AB=1+k2x1+x22-4x1x2=22k4+k24k4+k2+1
设u=k4+k212≤k2≤1，则K]AB=212-124u+1,u∈[34,2]在34,2上单调递增 ，∴62≤AB≤43．
