北师大版七年级上册数学知识点

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1 北师大版七年级上册数学知识点总结 第一章 丰富的图形世界 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形 圆柱 柱 生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、 正方体）、五棱柱、…… (按名称分) 锥 圆锥 棱锥 4、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧 2 棱；2n 个顶点。 5、正方体的平面展开图：11 种 6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能 是三角形，四边形，五边形，六边形。 7、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 第二章 有理数及其运算 1、有理数的分类 ①          负分数 负整数负有理数 零 正分数 正整数正有理数 有理数 ②            负分数 正分数分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 整数和分数统称为有理数。 注意：因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和 无限循环小数都看作分数． 2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反 数是零 3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画 数轴时，三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个 点来表示。 3 4、倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数 等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做 该数的绝对值，（|a|≥0）。若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对 值是 0。互为相反数的两个数的绝对值相等。 6、有理数比较大小：正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数； 数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对 值大的反而小。 7、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数 个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有 一个数为零，积就为零。 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝 对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 互为相反数的两个数相加和为 0。 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！ 有理数乘法法则： 4 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，积仍为 0。 有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何非 0 的数都得 0。 注意：0 不能作除数。 有理数的乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方。 正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂 是负数。 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面 的。 （3）运算律 加法交换律 abba  加法结合律 )()( cbacba  乘法交换律 baab  乘法结合律 )()( bcacab  乘法对加法的分配律 acabcba  )( 8、科学记数法 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 na 10 的形式，其中 101  a ，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数 -1） 第三章整式及其加减 5 1、代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数 的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代 数式。 注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有 括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等 式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数 式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意 义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 ※代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如 a 3 12 应写作 a3 7 ； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4÷（a-4） 应写作 4 4 a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起 来，再将单位名称写在式子的后面，如 )( 22 ba  平方米。 2、整式：单项式和多项式统称为整式。 ①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单 6 项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做 这个单项式的系数。 注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零 数的次数是 0；3.当单项式的系数为 1 或-1 时，这个“1”应省略不 写，如-ab 的系数是-1，a3b 的系数是 1。 ②多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式 叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 3、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫 做同类项。 注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指 数也相同。 ②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； ③几个常数项也是同类项。 4、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数 不变。 5、去括号法则 ①根据去括号法则去括号： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各 项都不改变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号 去掉，括号里各项都改变符号。 ②根据分配律去括号： 括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据 乘法的分配律用+1 或-1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。 6、添括号法则 添“＋”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“－” 号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。 7、整式的运算： 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 第四章 基本平面图形 7 1、线段、射线、直线 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 l B A 直线 AB(或 BA) 直线 l 无端点 无法度量 射线 M O 射线 OM 1 个 无法度量 线段 l B A 线段 AB(或 BA) 线段 l 2 个 可度量长 度 2、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（两点确定一条 直线。） （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比 较大小。 3、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（两点之间 线段最短。） （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的 距离。 （3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 4、线段的中点： 8 点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM，点 M 叫做线 段 AB 的中点。AM = BM =1/2AB （或 AB=2AM=2BM）。 5、角： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点 叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成 是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 6、角的表示 角的表示方法有以下四种： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ， ∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角） 的角，如∠B，∠C 等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。 注意：用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间， 边上的字母写在两侧。 7、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的 角，单位是度，用“°”表示，1 度记作“1°”，n 度记作“n°”。 把 1°的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1’”。 把 1’ 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1””。 9 1°=60’，1’=60” 8、角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 9、角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大 小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较，角可以参与运算。 10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成 一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重 合时，所形成的角叫做周角。 11、多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连 组成的封闭平面图形叫做多边形。连接不相邻两个顶点的线段叫做多 边形的对角线。 从一个 n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各 顶点，可以画（n-3）条对角线，把这个 n 边形分割成（n-2）个三角 形。 12、圆：平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点 形成的图形叫做圆。固定的端点 O 称为圆心，线段 OA 的长称为半径 的长（通常简称为半径）。 圆上任意两点 A、B 间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧 AB” 或“弧 AB”；由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA、OB 所 10 组成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 第五章 一元一次方程 1、方程 含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质 （1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果 仍是等式。 （2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为 0 的 数），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做 一元一次方程。 5、移项：把方程中的某一项,改变符号后,从方程的一边移到另 一边,这种变形叫做移项. 6、解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号 后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。）（4）合并同类项 （5）将未知数的系数化为 1 第六章 数据的收集与整理 11 1、普查与抽样调查 为了特定目的对全部考察对象进行的全面调查，叫做普查。其中 被考察对象的全体叫做总体，组成总体的每一个被考察对象称为个 体。 从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中 从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 2、扇形统计图 扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，扇形的大 小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。 （各个扇形所占的百分比之和为 1） 圆心角度数＝360°×该项所占的百分比。（各个部分的圆心角度 数之和为 360°） 3、频数直方图 频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行 了分组画在横轴上，纵轴表示各组数据的频数。 4、各种统计图的特点 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。 折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。