2018届二轮复习导数的简单应用及定积分课件（全国通用）

2018届二轮复习导数的简单应用及定积分课件（全国通用）

第四讲　 导数的简单应用及定积分 【 知识回顾 】 1. 基本初等函数的八个导数公式 原函数 导函数 f(x )= c(c 为常数 ) f′(x )=__ f(x )= x α (α∈R ) f′(x )=______ f(x )= sinx f′(x )=_____ 0 αx α-1 cosx 原函数 导函数 f(x )= cosx f′(x )=______ f(x )= a x (a >0, 且 a≠1) f′(x )=_____ f(x )=e x f′(x )=__ f(x)=log a x(a>0, 且 a≠1) f′(x )=____ f(x )= lnx f′(x )=__ - sinx a x lna e x 2. 导数的四则运算法则 ① [ f(x)±g(x )]′=_______________; ②[ f(x)·g(x )]′=______________________; ③ =_________________(g(x)≠0). ④ 若 y= f(μ ) ， μ= ax+b ，则 y′ x =____________ ， 即 y′ x =________. f′(x)±g′(x ) f′(x)g(x)+f(x)g′(x ) y′ μ ·μ′ x y′ μ ·a 3. 函数的单调性与导数的关系 ① f′(x )>0⇒f(x) 为 _______; ② f′(x )<0⇒f(x) 为 _______; ③ f′(x )=0⇒f(x) 为常数函数 . 增函数 减函数 4. 导数与极值的关系 若函数的导数存在 , 某点的导数等于零是函数在该点取 得极值的 _____________ 条件 . 必要而不充分 5. 积分的性质 ① kf(x)dx = __________(k 为常数 ) ； ② [f 1 (x)±f 2 (x)]dx=____________________ ； ③ ________= f(x)dx + f(x)dx ( 其中 a0. 2.(2016· 全国卷 Ⅲ) 已知 f(x ) 为偶函数 , 当 x<0 时 , f(x ) =ln(-x)+3x, 则曲线 y= f(x ) 在点 (1,-3) 处的切线方程是 ____________. 【 解析 】 设 x>0, 则 -x<0, 因为 x<0 时 = +3x, 所 以 =lnx-3x, 又因为 为偶函数 , 所以 = lnx - 3x, =1-3=-2, 所以切线方程为 y+3= , 即 2x+y+1=0. 答案 : 2x+y+1=0 3.(2015· 全国卷 Ⅰ) 已知函数 f(x )=ax 3 +x+1 的图象在点 (1,f(1)) 处的切线过点 (2,7), 则 a=__________. 【 解析 】 因为 f ′ (x )=3ax 2 +1, 所以图象在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率 k=3a+1, 所以切线方程为 y-7= (3a+1)(x-2), 即 y=(3a+1)x-6a+5, 又切点为 (1,f(1)), 所以 f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6, 又 f(1)=a+2, 所以 -3a+6=a+2, 解得 a=1. 答案 : 1 热点考向一 　导数与定积分的几何意义 命题解读：主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，或由切线方程求参数值，考查定积分的简单运算或利用定积分求图形的面积，以选择题、填空题为主，有时也会在解答题的第一问出现 . 【 典例 1】 (1)(2016· 全国卷 Ⅲ) 已知 f(x ) 为偶函数 , 当 x≤0 时 , f(x )=e -x-1 -x, 则曲线 y= f(x ) 在点 (1,2) 处的切线方程是 ________. (2)(2015· 全国卷 Ⅱ) 已知曲线 y= x+lnx 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y=ax 2 +(a+2)x+1 相切 , 则 a=__________. (3) 展开式的中间项系数为 20 ，如图阴影部分 是由曲线 y=x 2 和圆 x 2 +y 2 =a 及 x 轴围成的封闭图形，则封 闭图形的面积 S=________. 【 解题导引 】 (1) 先求出当 x>0 时 f(x ) 的解析式 , 再利用导数求切线方程 . (2) 先对函数 y= x+lnx 求导 , 然后将 (1,1) 代入到导函数中 , 求出切线的斜率 , 从而确定切线方程 , 再将切线方程与曲线 y=ax 2 +(a+2)x+1 联立 , 利用 Δ=0 求出 a 的值 . (3) 先利用二项式定理得到中间项系数，解得 a ，再利用定积分求阴影部分的面积 . 【 规范解答 】 (1) 设 x>0, 则 -x<0, 因为 x≤0 时 =e -x-1 -x, 所以 =e x-1 +x, 又因为 为偶函数 , 所以 =e x-1 +x, =e x-1 +1, =e 1-1 +1=2, 所以切线方程为 y-2=2( x-1 ), 即 2x-y=0. 答案 : 2x-y=0 (2)y′=1+ , 则曲线 y= x+lnx 在点 (1,1) 处的切线斜率 为 k= =1+1=2, 故切线方程为 y=2x-1. 因为 y=2x-1 与 曲线 y=ax 2 +(a+2)x+1 相切 , 联立 得 ax 2 +ax+2=0, 显然 a≠0, 所以由 Δ=a 2 -8a=0⇒a=8. 答案 : 8 (3) 因为 展开式的中间项系数为 20 ，中间项 为第四项，系数为 =20 ，解得 a=2 ， 所以曲线 y=x 2 和圆 x 2 +y 2 =2 在第一象限的交点为 (1 ， 1) ， 所以阴影部分的面积为 答案： 【 规律方法 】 1. 求曲线 y= f(x ) 的切线方程的三种类型及方法 (1) 已知切点 P(x 0 ,y 0 ), 求 y= f(x ) 过点 P 的切线方程 : 求出切线的斜率 f′(x 0 ), 由点斜式写出方程 . (2) 已知切线的斜率为 k, 求 y= f(x ) 的切线方程 : 设切点 P(x 0 ,y 0 ), 通过方程 k=f′(x 0 ) 解得 x 0 , 再由点斜式写出方程 . (3) 已知切线上一点 ( 非切点 ), 求 y= f(x ) 的切线方程 : 设切点 P(x 0 ,y 0 ), 利用导数求得切线斜率 f′(x 0 ), 然后由斜率公式求得切线斜率 , 列方程 ( 组 ) 解得 x 0 , 再由点斜式或两点式写出方程 . 2. 利用切线 ( 或方程 ) 与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程 ( 斜率 ) 或其与某线平行、垂直 , 利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程 ( 组 ) 或函数求解 . 3. 利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1) 正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值 . (2) 根据图形的特征，选择合适的积分变量 . 在以 y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为 x= φ (y ) 的形式，同时，积分上、下限必须对应 y 的取值 . 【 题组过关 】 1.(2016· 衡阳一模 ) 计算： cos 2 xdx=__________. 2. 已知函数 f(x )=- x 2 +(a+1)x+(1-a)lnx ， a∈R . (1) 当 a=3 时，求曲线 C ： y= f(x ) 在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程 . (2) 当 x∈[1 ， 2] 时，若曲线 C ： y= f(x ) 上的点 (x ， y) 都 在不等式组 所表示的平面区域内，试求 a 的 取值范围 . 【 解析 】 (1) 当 a=3 时， f(x )=- x 2 +4x-2lnx ， x>0 ， f ′ (x )=-x+4- . 则 f′(1)=-1+4-2=1 ，而 f(1)=- +4= . 所以曲线 C 在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程为 y- =x-1 ， 即 2x-2y+5=0. (2) 依题意当 x∈[1 ， 2] 时，曲线 C 上的点 (x ， y) 都在不 等式组 所表示的平面区域内，等价于当 1≤x≤2 时， x≤f(x)≤x + 恒成立 . 设 g(x )= f(x)-x =- x 2 +ax+(1-a)lnx ， x∈[1 ， 2]. 所以 g′(x )=- x+a + ① 当 a-1≤1 时，即 a≤2 ，当 x∈[1 ， 2] 时， g′(x)≤0 ， g(x ) 为单调减函数， 所以 g(2)≤g(x)≤g(1) ，依题意应有 ② 若 1 ， 所以不合题意 . ③ 当 a-1≥2 ，即 a≥3 时，注意到 g(1)=a- ≥ ， 显然不合题意 . 综上所述， 1≤a≤2. 【 加固训练 】 1.(2016· 揭阳二模 ) 已知函数 f(x )=x 2 -ax 的图象在点 A(1,f(1)) 处的切线 l 与直线 x+3y-1=0 垂直 , 记数列 的前 n 项和为 S n , 则 S 2016 的值为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由题意知 f(x )=x 2 -ax 的图象在点 A(1, f(1)) 处的切线斜率 k=f ′ (1)=2-a=3 ⇒ a=-1, 故 2.(2016· 亳州一模 ) 已知函数 f(x )= axlnx,a∈R , 若 f′(e )=3, 则 a 的值为 __________. 【 解析 】 f ′ (x)=a(1+lnx),a ∈ R,f ′ (e)=3, 所以 a(1+lne)=3, 所以 a= . 答案 : 3.(2016· 长沙二模 ) 曲线 y=e -x +1 在点 (0 ， 2) 处的切线与直线 y=0 和 x=0 围成的三角形的面积为 __________. 【 解析 】 函数的导数 f ′ (x )=- e -x ，则 f ′ (0)=-1 ，则 切线方程为 y-2=-x ，即 y=-x+2 ， 切线与 x 轴的交点为 (2 ， 0) ，与 y 轴的交点为 (0 ， 2) ， 所以切线与直线 y=0 和 x=0 围成的三角形的面积 S= ×2×2=2. 答案： 2 热点考向二 　利用导数研究函数的单调性 命题解读 : 主要考查导函数值与函数单调性之间的关系 , 利用导函数来研究函数的单调性 , 或由函数的单调性求某参数值 ( 或取值范围 ), 三种题型都有可能出现 . 命题角度一　确定函数的单调性 ( 区间 ) 【 典例 2】 (2016· 洛阳一模 ) 已知函数 f(x )= , 其中常数 k>0, (1) 讨论 f(x ) 在 (0,2) 上的单调性 . (2) 若 k∈[4,+∞), 曲线 y= f(x ) 上总存在相异两点 M(x 1 , y 1 ),N(x 2 ,y 2 ) 使得曲线 y= f(x ) 在 M,N 两点处切线互相平行 , 求 x 1 +x 2 的取值范围 . 【 解题导引 】 (1) 求导函数 , 对 k 分类讨论 , 利用导数的正负 , 即可得到 f(x ) 在区间 (0,2) 上的单调性 . (2) 利用过 M,N 点的切线互相平行 , 建立方程 , 结合基本不等式 , 再求最值 , 即可求 x 1 +x 2 的取值范围 . 【 规范解答 】 (1) 因为 f′(x )= ① 当 0k>0, 且 >2, 所以 x∈(0,k) 时 , f′(x )<0,x∈(k,2) 时 , f′(x )>0, 所以函数 f(x ) 在 (0,k) 上是减函数 , 在 (k,2) 上是增函数 ; ② 当 k=2 时 , =k=2,f′(x)<0 在 (0,2) 上恒成立 , 所以 f(x ) 在 (0,2) 上是减函数 , ③ 当 k>2 时 ,0< <2,k> , 所以 x∈(0, ) 时 , f′(x )<0,x∈( ,2) 时 , f′(x )>0, 所以函数 f(x ) 在 (0, ) 上是减函数 , 在 ( ,2) 上是增函 数 ; (2) 由题意 , 可得 f′(x 1 )=f′(x 2 )(x 1 ,x 2 >0, 且 x 1 ≠x 2 ) 令 g(k )=k+ 则 g′(k )= >0 对 k∈[4,+∞) 恒成立 , 所以 g(k)≥g(4)=5, 所以 所以 x 1 +x 2 > , 故 x 1 +x 2 的取值范围为（ ,+∞) . 【 易错警示 】 解答本例容易出现以下错误 : (1) 忽略函数的定义域 , 在函数解析式中含有对数必须满足 x>0. (2) 对 k 分类讨论不全 , 题目中已知 k>0, 对 k 分类讨论时容易对标准划分不准确 , 讨论不全面 . 【 母题变式 】 1. 若把典例 2 条件变为“ k<0”, 其他条件不变 , f(x ) 在 (0,2) 上的单调性如何 ? 【 解析 】 由典例 2(1) 解析知 f ′ (x )= 在 (0,2) 上 f′(x )<0, 故 f(x ) 在 (0,2) 上为减函数 . 2. 在典例 2(1) 中 , 将 (0,2) 改为 (0,+∞), 试求 f(x ) 的单调区间 . 【 解析 】 由典例 2(1) 解析知 f ′ (x )= 因为 ① 当 02 时 ,k> , f(x ) 的减区间为 增区间 为 命题角度二　根据函数的单调性求参数的取值范围 【 典例 3】 (2016· 玉溪三模 ) 若函数 f(x )=x 3 -tx 2 +3x 在区间 [1,4] 上单调递减 , 则实数 t 的取值范围是　 ( 　　 ) 【 解题导引 】 由题意可得 f′(x)≤0 即 3x 2 -2tx+3≤0 在 [1,4] 上恒成立 , 由函数的性质可得 t 的取值范围 . 【 规范解答 】 选 C. 因为函数 f(x )=x 3 -tx 2 +3x, 所以 f′(x )=3x 2 -2tx+3, 若函数 f(x )=x 3 -tx 2 +3x 在区间 [1,4] 上单调递减 , 则 f′(x)≤0, 即 3x 2 -2tx+3≤0 在 [1,4] 上恒成立 , 即 2tx≥3x 2 +3 在 [1,4] 上恒成立 , 所以 t≥ 在 [1,4] 上恒成立 , 令 y= 由对勾函数的图象和性质可得 : 函数在 [1,4] 上为增函 数 , 当 x=4 时 , 函数取最大值 , 所以 t≥ . 即实数 t 的取值范围是 【 规律方法 】 1. 求函数的单调区间的“三个”方法 方法一　第 1 步 : 确定函数 y= f(x ) 的定义域 ; 第 2 步 : 求导函数 y′= f′(x ); 第 3 步 : 解不等式 f′(x )>0 或 f′(x )<0, 解集在定义域内的部分为单调区间 . 方法二　第 1 步 : 确定函数 y= f(x ) 的定义域 ; 第 2 步 : 求导函数 y′= f′(x ), 令 f′(x )=0, 解此方程 , 求出在定义区间内的一切实根 ; 第 3 步 : 把函数 f(x ) 的间断点 ( 即 f(x ) 的无定义点 ) 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 , 然后用这些点把函数 f(x ) 的定义域分成若干个小区间 ; 第 4 步 : 确定 f′(x ) 在各个区间内的符号 , 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 . 方法三　第 1 步 : 确定函数 y= f(x ) 的定义域 ; 第 2 步 : 求导函数 y′= f′(x ), 并将其化简表示为某些基本初等函数的和、差、积、商 . 第 3 步 : 利用相应基本初等函数的图象与性质 , 确定 f′(x ) 在某些区间的正、负 , 进而得到单调区间 . 2. 根据函数 y= f(x ) 在 ( a,b ) 上的单调性 , 求参数范围的方法 (1) 若函数 y= f(x ) 在 ( a,b ) 上单调递增 ; 转化为 f′(x)≥0 在 ( a,b ) 上恒成立求解 . (2) 若函数 y= f(x ) 在 ( a,b ) 上单调递减 , 转化为 f′(x)≤0 在 ( a,b ) 上恒成立求解 . (3) 若函数 y= f(x ) 在 ( a,b ) 上单调 , 转化为 f′(x ) 在 ( a,b ) 上不变号 , 即 f′(x ) 在 ( a,b ) 上恒正或恒负 . (4) 若函数 y= f(x ) 在 ( a,b ) 上不单调 , 转化为 f′(x )=0 在 ( a,b ) 上有解 . 【 变式训练 】 (2016· 亳州一模 ) 已知函数 f(x )=ax 2 +ln(x+1). (1) 当 a=- 时 , 求函数 f(x ) 的单调区间 . (2) 当 x∈[0,+∞) 时 , 函数 y= f(x ) 图象上的点都在 所表示的平面区域内 , 求实数 a 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 当 a=- 时 , f(x )=- x 2 +ln(x+1)(x>-1), f ′ (x )= =- (x>-1), 由 f′(x )>0 解得 -11. 故函数 f(x ) 的单调递增区间为 (-1,1), 单调递 减区间为 (1,+∞). (2) 因为函数 f(x ) 图象上的点都在 所表示的平 面区域内 , 则当 x∈[0,+∞) 时 , 不等式 f(x)≤x 恒成立 , 即 ax 2 + ln(x+1)-x≤0 恒成立 , 设 g(x )=ax 2 +ln(x+1)-x(x≥0), 只需 g(x) max ≤0 即可 . 由 g′(x )= (ⅰ) 当 a=0 时 , g′(x )= 当 x>0 时 , g′(x )<0, 函数 g(x ) 在 (0,+∞) 上单调递减 , 故 g(x)≤g(0)=0 成立 . (ⅱ) 当 a>0 时 , 由 g′(x )= 因为 x∈[0,+∞), ① 若 -1<0, 即 a> 时 , 在区间 (0,+∞) 上 , g′(x )>0, 则函数 g(x ) 在 (0,+∞) 上单调递增 , g(x ) 在 [0,+∞) 上无 最大值 ( 或 : 当 x→+∞ 时 , g(x )→+∞), 此时不满足条件 ; ② 若 -1≥0, 即 00, 解得 :x>3 或 x<1, 令 f′(x )<0, 解得 :10, 解得 :x>2, 所以函数 f′(x ) 在 (-∞,2) 上递减 , 在 (2,+∞) 上递增 , 所以函数 f(x ) 和函数 f′(x ) 同在 [1,2] 上递减 , 在 [3,+∞) 上递增 . 热点考向三 　利用导数研究函数的极值和最值 命题解读 : 主要考查利用函数的极值与导数的关系 , 求某些含有参数的函数的极值、最值以及极值的个数 , 以解答题为主 . 【 典例 4】 (2016· 汕头一模 ) 已知函数 f(x )= ax 2 - (a 2 +1)x+alnx. (1) 若函数 f(x ) 在 上单调递减，求实数 a 的取值范 围 . (2) 当 a∈ 时，求 f(x ) 在 [1 ， 2] 上的最大值和最 小值 .( 注意： ln2<0.7) 【 题目拆解 】 解答本题第二问，可拆成三个小题： ①求 f(x ) 的导函数； ②当 a∈ 时，求 f(x ) 在 [1 ， 2] 上的单调区间； ③求 f(x ) 在 [1 ， 2] 上的最值 . 【 规范解答 】 (1) 因为 f(x ) 在 上单调递减，所以 f ′ (x )=ax-(a 2 +1)+ ≤ 0 在 上恒成立，即 ax+ ≤ a 2 +1. ① 当 a≤0 时，结论成立； ②当 a>0 时，不等式等价为 x+ ≤a+ 在 上恒 成立； 当 x>0 时， h(x )=x+ 在 (0 ， 1) 上是减函数，在 [1 ， +∞) 上是增函数， 所以要使函数 h(x)≤h(a ) 在 上恒成立，则 00 ， 所以 f(x) min =f( )=-a- - alna ， f(2)-f(1)= a-(a 2 +1)+aln2 ， 设 h(x )= x-(x 2 +1)+xln2 ， 0 ， 则 h(x ) 在 0 ，所以 f(x ) 在区间 上是 增函数 . 当 x∈(1 ， 3] 时，有 f′(x )<0 ，所以 f(x ) 在区间 (1 ， 3] 上是减函数 . 所以 f(x ) 在区间 上的最大值为 f(1)=-2. (2) 设过点 P(b ， -b) 的直线与曲线 y= f(x ) 相切于点 Q(x 0 ， y 0 ) ， 则 y 0 = 且切线斜率为 k=f′(x 0 ) 所以 即存在唯一的切点 所以过点 P(b ， -b) 有且只有一条直线与曲线 y= f(x ) 相切 . (3) 当 x=1 时，对任意 a∈R ，不等式显然成立 . 当 x≠1 时，不等式等价于 a≤x 2 + . 当 x∈ 时，不等式等价于 a≤x 2 + 恒成立 . 令 g(x )=x 2 + ， x∈ 时 . 则 g′(x )=2x+ ，当 x∈ 时，显然 g′(x )>0. 所以 g(x ) 在区间 上单调递增， 所以 g(x ) 在区间 上有最小值 所以 a≤ . 当 x∈(1 ， 2] 时，不等式等价于 a≤x 2 + 恒成立 . 令 h(x )=x 2 + ， x∈(1 ， 2]. 当 x∈(1 ， 2] 时 . h(x )=x 2 + =x 2 +1+ >x 2 +1>2. 所以，当 a≤2 时，不等式 a≤x 2 + 对 x∈(1 ， 2] 恒 成立 . 综上，实数 a 的取值范围是 . 【 加固训练 】 (2016· 潍坊一模 ) 已知函数 f(x )=e x (x-lnx-1)(e 为自然对数的底数 ). (1) 求函数 f(x ) 的单调区间 . (2) 是否存在实数 a,b∈(1,+∞),a1 时 , g(x )>0, 因此 f′(x )>0, 此时函数 f(x ) 单调递增 ; 当 00, 所以存在 m∈(1,e), 使得 h′(m )=0. 并且当 x∈(1,m) 时 , h′(x )<0,h(x) 为减函数 ; 当 x∈(m ,+∞) 时 , h′(x )>0,h(x) 为增函数 . 即 h(m ) 为 h(x ) 在 (1,+∞) 上的最小值 . 而 h(1)=f(1)-1=-1<0, 所以 h(x )= f(x)-x 只有一个零点 . 即 f(x )=x 在 (1,+∞) 上只有一个实数根 . 所以不存在实数 a,b∈(1,+∞),a0 ，可得 x<-e ， 令 f′(x )=ln(-x)-1<0 ，可得 -e0 ，当 x>-e -a 时 f′(x )<0 ， 所以 f(x ) 在 [-e 2 ， -e -1 ] 上左增右减， 所以 f(x) max = f(-e -a )=e -a ， 综上： g(a )=