数学理卷·2018届内蒙古包铁一中高二下学期期末考试(2017-07)

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数学理卷·2018届内蒙古包铁一中高二下学期期末考试(2017-07)

包铁一中2016—2017学年度高二年级期末试题 理科数学 命题人:陈海新审题人:苗译文 2017. 7‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ ‎1.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=(  ) A.-3     B.-2     C.2      D.3‎ ‎2.函数的单调递增区间是(  )‎ A.(-∞,-3)   B.(-∞,-1)  C.(-1,+∞)  D.(1,+∞)‎ ‎3.函数的零点个数为(  ) A.0     B.1     C.2    D.3‎ ‎4.若幂函数y=f(x)的图象过点(5,),则为(  ) A.     B.    C.    D.-1‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是(  ) A.4   B.   C.     D.-1‎ ‎6.已知函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)(a∈R).命题p:∃a∈R,函数f(x)是偶函数;命题q:∀a∈R,函数f(x)在定义域内是增函数.那么下列命题为真命题的是(  ) A.¬q  B.p∧q ‎ C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)‎ ‎7.盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也摸出新球的概率为(  ) A. B. C. D.‎ ‎8.有一天,某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石.报案后,经过三个月的侦察,查明作案人肯定是甲.乙.丙.丁中的一人.经过审讯,这四个人的口供如下: 甲:钻石被盗的那天,我在别的城市,所以我不是罪犯. 乙:丁是罪犯. 丙:乙是盗窃犯,三天前,我看见他在黑市上卖一块钻石.丁:乙同我有仇,有意诬陷我.因为口供不一致,无法判断谁是罪犯.经过测谎试验知道,这四人只有一个人说的是真话,那么你能判断罪犯是(  ) A.甲       B.乙       C.丙       D.丁 ‎9.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f(x+)=f(x-).则f (8)=(  ) A.-2       B.-1       C.0        D.2‎ ‎10.函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)和f(cx)的大小关系是(  ) A.f(bx)≤f(cx)       B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx)       D.大小关系随x的不同而不同 ‎11.某堂训练课上,一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击,已知他至少命中一次的概率为,则四次射击中,他命中2次的概率为(  ) A.   B.   C.   D.以上都不对 ‎12.已知函数f(x)=lnx+(x-b)2(b∈R)在区间上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是(  ) A.   B.   C.(-∞,3)   D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ ‎13.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本,其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人,则该校学生总人数是 ______ .‎ ‎14.在某项测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2),(σ>0),‎ 若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(2,+∞)上取值的概率为 ______ .‎ ‎15.‎ 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示),则月收入在[2000,3500)范围内的人数为 ______ .‎ ‎16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)为g(x)的导函数,对∀x∈R,总有g′(x)>2x,则g(x)<x2+4的解集为 ______ ‎ ‎.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)‎ ‎17(10分).已知集合E={x||x-1|≥m},F=. (1)若m=3,求E∩F; (2)若E∩F=∅,求实数m的取值范围.‎ ‎18.(12分)某校高三年级研究性学习小组共6人,计划同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观顺序,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,所有展厅参观结束后集合返回,设事件A为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;事件B为:在参观的第二个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人. (Ⅰ)求P(A)及P(B|A); (Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为ξ,则在事件A发生的前提下,求ξ的概率分布列及数学期望.‎ ‎19.(12分)下表数据为某地区某基地某种农产品的年产量x(单位:吨)及对应销售价格y(单位:万元/吨).‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ (1) 若y与x有较强的线性相关关系,请用最小二乘法求出y关与x的线性回归方程; (2)若每吨该农产品的成本为1万元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少吨时,年利润z最大?最大利润是多少? 参考公式:‎ ‎ 20.(12分)已知函数f(x)= (1)判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;(3)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 21. ‎(12分)已知函数. (1)当a=1时,求函数在点(1,-)处的切线方程; (2)若函数g(x)=f(x)-x有两个极值点x1,x2,求a的取值范围. (3)在(2)的条件下,求证:+>2‎ ‎ 22.(12分)已知曲线C的极坐标方程为ρ=,直线l的参数方程为 (Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线C的形状; (Ⅱ)若直线l经过点(1,0),求直线l被曲线C截得的线段AB的长。‎ 包铁一中2016—2017学年度高二年级期末考试题 ‎(理科数学)‎ ‎【答案】 1.B    2.A    3.B    4.C    5.D    6.C    7.B    8.A    9.D    10.A    11.C    12.B     13.7500 14.0.1 15.700 16.(-∞,-1) 17.解:(1)由|x-1|≥3,得 x-1≥3或x-1≤-3, 解得x≥4或x≤-2, 所以 E=(-∞,-2]∪[4,+∞); 由-1>0,得>0; 即(x-4)(x+6)<0, 解得-6<x<4; 所以F=(-6,4); 所以E∩F=(-6,-2]; (2)E∩F=∅, 则有m>0,E=(-∞,1-m]∪[1+m,+∞), 即, 解得, 所以实数m的取值范围是m≥7. ‎ ‎18.解:(I)P(A)==.P(B|A)==. (II)在事件A发生的前提下,可知已经有2人参观过甲展厅,该小组在甲展厅的人数ξ=0,1,2,3,4. P(ξ=0)=P(参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=4)==; P(ξ=1)=P(参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=3)==; P(ξ=2)=P(参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=2)==; P(ξ=3)=P(参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=1)==; P(ξ=4)=P(参观的第二个小时时间内该小组在甲展厅的人数ξ=0)==.‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ p(X)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2. 19.解:(1)由表格得,,,…(2分),,…(4分) 故所求的线性回归方程为.…(6分) (2)由题意得,年利润,…(10分) 所以,预测当年产量为2.5吨时,年利润最大,最大利润为6.25万元.…(12分) 20.解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞), 则f(-x)===-=-f(x), 则f(x)为奇函数. (2)f(x)===1-, 则f(x)在R上的单调性递增, 证明:设x1<x2‎ ‎, 则f(x1)-f(x2)=1--(1-)=(-)=, ∵x1<x2, ∴<, ∴-<0, 即f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),即函数为增函数. (3)若存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立, 则f(x2-t2)≥-f(x-t)=f(t-x). 即x2-t2≥t-x. 即x2+x≥t2+t恒成立, 设y=x2+x=(x+)2-, ∵x∈[1,2], ∴y∈[2,6], 即t2+t≤2, 即t2+t-2≤0. 解得-2≤t≤1, 即存在实数t,当-2≤t≤1时使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立. 21.解:(1)a=1时,f(x)=xlnx-x2, 则f′(x)=lnx+1-x, 则f′(1)=0, 故切线方程是:y+=0(x-1), 即y=-; (2)函数g(x)=f(x)-x有两个相异的极值点x1,x2, 即g′(x)=lnx-ax=0有两个不同的实数根, ①当a≤0时,g′(x)单调递增, g′(x)=0不可能有两个不同的实根; ②当a>0时,设h(x)=lnx-ax,, 当时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 当时,h′(x)<0,h(x)单调递减; ∴,∴, (3)不妨设x2>x1>0,∵‎ ‎, ∴lnx2-ax2=0,lnx1-ax1=0,lnx2-lnx1=a(x2-x1), 要证,即证, 即证, 令,即证,设, 则, 函数φ(t)在(1,+∞)单调递减, ∴φ(t)<φ(1)=0, ∴. 22.解:(1)曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ, 得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x, 故曲线C是顶点为O(0,0),焦点为F(1,0)的抛物线; (2)直线l的参数方程为( t为参数,0≤α<π). 故l经过点(0,1); 若直线l经过点(1,0),则, ∴直线l的参数方程为(t为参数). 代入y2=4x,得t+2=0 设A、B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-6,t1t2=2. |AB|=|t1-t2|===8.‎
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