中考数学复习专题训练等腰三角形与直角三角形

中考数学复习专题训练等腰三角形与直角三角形

中考复习专题训练 等腰三角形与直角三角形 一、选择题 ‎1.如图，AD＝BC＝BA，那么∠1与∠2之间的关系是（   ） ‎ A. ∠1＝2∠2               B. 2∠1＋∠2＝180°               C. ∠1＋3∠2＝180°               D. 3∠1－∠2＝180°‎ ‎【答案】B ‎ ‎2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=‎2cm，则AB的长度是（ ） ‎ A. ‎2cm                                    B. ‎4cm                                    C. ‎8cm                                    D. ‎‎16cm ‎【答案】C ‎ ‎3.如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（　　） ​ ‎ A. 80°                                     B. 100°                                     C. 140°                                     D. 160°‎ ‎【答案】C ‎ ‎4.O为锐角△ABC的∠C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则△POQ一定是（   ） ‎ A. 等边三角形                    B. 等腰三角形                    C. 直角三角形                    D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎ ‎5.如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为(   )‎ A.25° B.50° C.60° D.30°‎ ‎【答案】A ‎ ‎6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=， 则BC的长为（　　） ‎ A. -1                                B. +1                                C. -1                                D. +1‎ ‎【答案】D ‎ ‎7.在平面直角坐标系中，已知A（1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PAO为等腰三角形，这样的P点有几个（   ） ‎ A. 9                                           B. 8                                           C. 7                                           D. 6‎ ‎【答案】B ‎ ‎8.如图，有一块直角三角形纸片，两条直角边AC=‎6cm，BC=‎8cm.若将直角边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于                  （     ） ‎ A. ‎2cm                                     B. ‎3cm                                     C. ‎4cm                                     D. ‎‎5cm ‎【答案】B ‎ ‎9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（   ） ‎ A. 5                                      B.                                       C.                                       D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎10.如图，△AOB为等边三角形，点A在第四象限，点B的坐标为（4，0），过点C（- 4，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且点E在某反比例函数y=图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，k的值为（   ）   ‎ A.                                   B.                                    C.                                   D. ‎ ‎【答案】C ‎ 二、填空题 ‎ ‎11.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________． ‎ ‎【答案】5或 ‎ ‎12.在△ABC中，AB=AC=‎17cm，BC=‎16cm，AD是角平分线，则△ABC的面积 为________cm2 ． ‎ ‎【答案】120 ‎ ‎13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD=________度． ‎ ‎【答案】110 ‎ ‎14.△ABC中，AB= ，AC=8，∠ACB=30°，则BC的长为________． ‎ ‎【答案】5 或3 ‎ ‎15.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是________ ‎ ‎【答案】144 ‎ ‎16.如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=10，BO=8，则AO的长为________． ‎ ‎【答案】12 ‎ ‎17. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=‎18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是________ cm． ‎ ‎【答案】18 ‎ ‎18.如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路（假设2步为‎1米），却踩伤了花草．‎ ‎【答案】4 ‎ ‎19.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α= ，有以下的结论：①△DBE∽△ACD；②△ADE∽△ACD；③△BDE为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜BE≤5，其中正确的结论是________（填入正确结论的序号） ‎ ‎【答案】①③ ‎ 三、解答题 ‎ ‎20.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°．求∠ACB和∠BAC的度数． ‎ ‎【答案】解：∵AB=AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）， ‎ ‎∵∠ADC=125°， ∴∠CDE=55°， ∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠DCE=70°． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°． ‎ ‎21.如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，求AD的长． ‎ ‎【答案】解：∵AC⊥BC，AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴AC2=AD•AB， ∴AD==6.4． ‎ ‎22.如图①，在△ABC中，AC=BC，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BG∥AC交DE的延长线于点G． ‎ ‎（1）求证：DB=BG； ‎ ‎（2）当∠ACB=90°时，如图②，连接AD、CG，求证：AD⊥CG． ‎ ‎【答案】（1）证明：∵AC=BC， ∴∠A=∠CBA， ‎ ‎∵AC∥BG， ∴∠A=∠GBA，即∠CBA=∠GBA， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=∠GEB， 在△DBE和△GBE中 ∴△DBE≌△GBE（ASA）， ∴DB=BG； （2）证明：∵点D为BC的中点， ∴CD=DB， ∵DB=BG， ∴CD=BG， ∵AC∥BG， ∴∠ACB+∠GBC=180°， ∵∠ACB=90°， ∴∠GBC=∠ACB=90°， 在△ACD和△CBG中 ∴△ACD≌△CBG（SAS）， ∴∠CAD=∠BCG， ∵∠ACG+∠BCG=90°， ∴∠ACG+∠CAD=90°， 即 AD⊥CG． ‎ ‎23.已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． ‎ ‎（1）求证：AD=BE； ‎ ‎（2）求∠AEB的度数； ‎ ‎（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． ①∠AEB的度数为________°； ②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为________．（直接写出答案，不需要说明理由） ‎ ‎【答案】（1）证明：如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE （2）解：如图1，∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=120°， ∴∠BEC=120°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60° （3）90；AE=BE+‎2CM ‎