数学文卷·2018届河北省邯郸市曲周县第一中学高三上学期12月质量检测（四）试题（解析版）

数学文卷·2018届河北省邯郸市曲周县第一中学高三上学期12月质量检测（四）试题（解析版）

‎2018届12月质量检测（四）‎ 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，集合，则的元素个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得,‎ ‎∴。‎ ‎∴的元素个数为3.选C。‎ ‎2. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴复数在复平面内对应的点为，在第一象限。选A。 ‎ ‎3. 如图，边长为的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得圆的半径为1，故圆的面积为。‎ 根据几何概型概率公式可得该点落在圆内的概率为。选A。‎ ‎4. 设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则的充分条件为（ ）‎ A. ， B. ，， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】选项A中，由，可得不一定成立，故A不正确；‎ 选项B中，由，，不能得到，故B不正确；‎ 选项C中，由，可得，故C正确；‎ 选项D中，由，可得，故D不正确。‎ 综上选C。‎ ‎5. 已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且渐近线方程为，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，双曲线焦点在轴上，且，又渐近线方程为，可得，所以，故选A．‎ 考点：1．双曲线的性质与方程．‎ ‎6. 已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴。选B。‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依次运行程序框图中的程序，可得：‎ 第一次：，满足条件，；‎ 第二次：，满足条件，；‎ 第三次：，满足条件，；‎ 第四次：，满足条件，；‎ 第五次：，满足条件，；‎ 第六次：，满足条件，；‎ 第七次：，满足条件，；‎ 第八次：，满足条件，；‎ 第八次：，不满足条件，输出。选D。‎ ‎8. 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图可得该几何体由前后两部分组合而成，前面为半圆柱（底面圆半径为1，高为1），后面为三棱柱（底面为腰为的等腰直角三角形，高为2）。故其体积为 ‎。选A。 ‎ ‎9. 已知函数（），，的零点分别为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数 分别与 图像交点,可知选C.‎ ‎10. 设等比数列前项和为，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵数列为等比数列，‎ ‎∴，，，成等比数列，且公比为。‎ ‎∴。选B。‎ 点睛：‎ ‎（1）若等比数列前项和为，则，，，,…仍成等比数列。‎ ‎（2）在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度。解题中要注意挖掘已知和“隐含”的条件．‎ ‎11. 设函数的导数为，对任意都有成立，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小不确定 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设，，则，‎ ‎∴，，∴.‎ 考点：1.导数的运算；2.特殊函数法.‎ ‎12. 如图，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之差的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线的方程为，‎ 由消去x整理得，‎ 显然，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 由题意得，即，‎ 解得或（舍去）。‎ ‎∴直线与x轴的交点为 ‎∴‎ ‎，当且仅当，即时等号成立。‎ 故与面积之差的最小值是。选C。‎ 点睛：‎ ‎（1）设直线方程时，当直线斜率是否存在不知道时，为了避免讨论，可将直线方程设为的形式，其中当时表示斜率不存在的情形。‎ ‎（2）解析几何中求最值时，可将所需求最值的量用某一参数表达出来，然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值。若用基本不等式求最值，不要忘了等号成立的条件。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，，，且，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 答案：‎ ‎14. 若，满足约束条件则的最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示。‎ 表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图形知，可行域内的点A与原点连线的斜率最大。由，解得，即.‎ ‎∴。‎ 答案：‎ ‎15. 已知的角，，所对的边分别是，，，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，即，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 又的外接圆半径为，‎ ‎∴。‎ 由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立。‎ ‎∴‎ 答案：‎ 点睛：‎ 解三角形时，余弦定理、三角形的面积公式经常结合在一起考查，解题时要注意公式的变形，如，经过变形便出现了和的形式，为整体代换创造了条件。另外对于三角形面积最值的问题要注意基本不等式的应用，根据便可得到的最大值，然后根据面积公式求解即可，不过解题时要注意不等式中等号成立的条件。‎ ‎16. 已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，且平面，若，，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由余弦定理得,从而三角形外接圆半径为，因此球的半径等于，球的表面积为 考点：外接球表面积 ‎【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 等差数列中，公差，，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记为数列前项的和，其中，，若，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查等差数列通项公式的求法及含有绝对值的数列的求和。（Ⅰ）由等差数列的性质可得求得，，可得数列的公差，进而可求得通项公式。（Ⅱ）将去掉绝对值后转化为数列的求和问题，求得后结合解不等式可得，故可得的最小值。 ‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），‎ 由 解得（舍去），‎ ‎∴，，‎ ‎∴等差数列的公差 ‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ ‎∴当时，；当时，.‎ 故当时，不成立。‎ 当时，‎ ‎。‎ 由，‎ 得，‎ 解得，‎ 又,‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎18. 为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取名学生的数学成绩（百分制）作为样本，按成绩分成组：，，，，，频率分布直方图如图所示．成绩落在中的人数为．‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高三年级学生数学成绩的平均数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）成绩在分以上（含分）为优秀，样本中成绩落在中的男、女生人数比为，成绩落在中的男、女生人数比为，完成列联表，并判断是否有的把握认为数学成绩优秀与性别有关．‎ 参考公式和数据：．‎ 男生 女生 合计 优秀 不优秀 合计 ‎【答案】（Ⅰ）,．（Ⅱ）,．（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查频率分布直方图及其应用和独立性检验。（Ⅰ）由所有频率和为1可得；根据频率、频数和样本容量的关系可得。（Ⅱ）根据平均数为各组中点値和频率之积的和可得，然后利用中位数将频率分布直方图分为面积相等的两部分求得中位数。（Ⅲ）根据题意给出的数据求得后再结合临界值表进行判断。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意可得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由题意，各组的频率分别为，，，，，‎ ‎∴．‎ 即高三年级学生数学成绩的平均数为。‎ 由，‎ 解得．‎ 即高三年级学生数学成绩的中位数为75.‎ ‎（Ⅲ）由题意，优秀的男生为人，女生为人，不优秀的男生为人，女生为人，列联表如下：‎ 男生 女生 合计 优秀 不优秀 合计 由表中数据可得，‎ ‎∴没有的把握认为数学成绩优秀与性别有关．‎ 点睛：利用频率分布直方图估计样本的数字特征 ‎（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．‎ ‎（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．‎ ‎（3）众数：最高的矩形的中点的横坐标．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，‎ ‎，，，为的中点，点在线段上．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积等于四棱锥体积的时，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理及勾股定理先证明，可得，再由勾股定理得，进而可得结论；（Ⅱ）到平面的距离为，由可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，连接，‎ 因为，，，‎ 由余弦定理得， 得， ‎ 所以，即，又∥，‎ 所以， ‎ 又，，所以，，‎ 所以平面，所以． ‎ ‎（Ⅱ）因为为的中点， ‎ ‎ ‎ 设到平面的距离为 ‎ ‎ 所以 ‎20. 已知圆：关于直线：对称的圆为．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与圆交于，两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形（和为对角线）中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）存在直线和.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查圆方程的求法和直线与圆的位置关系。（Ⅰ）根据对称公式求得圆的圆心即可得到结果。（Ⅱ）由得平行四边形为矩形，故．然后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系利用代数方法根据判断直线是否存在即可。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）圆化为标准方程为，‎ 设圆心关于直线：的对称点为，‎ 由，解得：，‎ 所以圆的圆心坐标为，半径为3.‎ 故圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由，得平行四边形为矩形，‎ 所以．‎ 要使，必须满足．‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 由解得或 ‎ 直线与圆的两交点为，．‎ 因为，‎ 所以，‎ 即直线：满足条件．‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．‎ 由消去y整理得 ‎．‎ 由于点在圆内部，所以恒成立，‎ 设，‎ 则，，‎ 所以 ‎，‎ 整理得：‎ 解得，‎ 所以直线的方程为 综上可得，存在直线和，使得在平行四边形（和为对角线）中．‎ 点睛：‎ ‎（1）解决圆中探索性问题的步骤：①假设符合要求的结论存在；②从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解，看能否得到矛盾，若得到矛盾的结果，则假设不成立，否则假设成立；③确定符合要求的结论存在或不存在；④给出明确结果．‎ ‎（2）对于条件中给出的向量等式，要明确其实质，解题时要先将向量问题转化为几何图形的位置关系或数量关系。‎ ‎21. 已知函数，（）．‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查利导数在研究函数问题中的应用。（Ⅰ）由题意得，根据函数图象的特点分和两种情况讨论的符号，从而确定函数的单调增区间。（Ⅱ）由条件得（），故可将问题转化为，是方程的两根的问题处理，然后根据，的关系可得 ，构造函数，‎ ‎，求其最小值即可。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意得，，‎ ‎∴ ，‎ 令，则其图象的对称轴为 ‎①当时，，所以在上单调递增；‎ ‎②当时，由，得，,‎ 由，解得或，‎ ‎∴的单调递增区间为，‎ 综上所述，当时，的单调递增区间为 当时，的单调递增区间为，‎ ‎（Ⅱ）由题意得，（）‎ ‎∴ （），‎ ‎∵有两个极值点，，‎ ‎∴，是方程的两根，‎ ‎∴，，‎ ‎∴ ，，‎ ‎ ‎ 令，‎ 则 ‎ 当时，，在上单调递减，‎ ‎∴ 的最小值为，‎ 即的最小值为 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系，曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（Ⅰ）写出，的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）点，分别是曲线，上的动点，且点在轴的上侧，点在轴的左侧，与曲线相切，求当最小时，直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； ．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平方法消去参数可得的普通方程，平方后，利用可得的直角坐标方程；（Ⅱ） ，可得 ，直线的斜率为可得直线的直角坐标方程，化成极坐标即可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为；‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）连结，.‎ 因为与单位圆相切于点，所以.‎ 所以.‎ 因为 ，‎ 又因为点在轴的上侧，所以当且仅当点位于短轴上端点时最小，‎ 此时，‎ 在中，，所以，‎ 又因为点在轴的左侧，‎ 所以直线的斜率为.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ 所以直线的极坐标方程为.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数（其中，）．‎ ‎（Ⅰ）若，，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查绝对值不等式的知识。（Ⅰ）将，代入不等式，根据零点分区间法将不等式转化为三个不等式组求解即可。（Ⅱ）先运用绝对值的三角不等式消去变量x，然后根据基本不等式证明。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当，时，不等式即为，‎ 等价于或或，‎ 解得或。‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当且，即时等号成立。‎ ‎∴ ．‎ ‎ ‎