2017-2018学年河北省武邑中学高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年河北省武邑中学高二上学期期末数学理试题（解析版）

河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）‎ A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。‎ 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理。‎ 故选：C.‎ ‎2. 某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）‎ A. 28 B. 23 C. 18 D. 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵高三某班有学生60人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，‎ ‎∴样本组距为60÷4=15，‎ 则3+15=18，‎ 即样本中还有一个学生的编号为18，‎ 故选：C．‎ ‎3. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A. 21 B. 22 C. 23 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.‎ ‎4. 为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：)分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）‎ A. 的平均数 B. 的标准差 C. 的最大值 D. 的中位数 ‎【答案】C ‎【解析】根据平均数，最大值，中位数，标准差的含义知，只有标准差是衡量一组数据稳定性的数字特征，故选B.‎ ‎5. 已知直线,平面,且，给出下列命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则； ④若，则. ‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确。‎ 若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交。所以③不正确。‎ 若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确。‎ 故选：B.‎ ‎6. 供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B. 12月份人均用电量不低于20度的有500人 C. 12月份人均用电量为25度 D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在—组的概率为 ‎【答案】C ‎【解析】根据频率分布直方图知，‎ ‎12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1000×0.04×10=400人，A正确；‎ ‎12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03+0.01+0.01）×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；‎ ‎12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；‎ 在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30，40）一组的频率为0.1，‎ 估计所求的概率为，∴D正确．‎ 故选：C 点睛：点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎7. 已知满足条件，则目标函数从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组的可行域，如图所示：‎ 目标函数的最小值等价于直线的最小纵截距.‎ 平移直线经过点A(-2,0)时最小为，当经过点时，为0，‎ 所有满足条件的点构成的平面区域为，点, 面积为.‎ 故选B.‎ ‎8. 过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,斜率,解得倾斜角 ,故选B.‎ ‎9. 已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（ ）(其中为自然对数的底）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为的图象关于点对称，所以函数为奇函数 当时恒有，所以= ； ，因此，选A.‎ 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.‎ ‎10. 已知，点为斜边的中点，，则等于（ ）‎ A. B. C. 9 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵在，点为斜边的中点，,‎ ‎∴‎ ‎∵,,,‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选D ‎11. 如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在正方体中，连接，则对角线垂直于平面，而为等边三角形，易知正方体绕对角线旋转120°与原正方体重合。故选A ‎12. 在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点)重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点，则的最大值为（ ）‎ A. 7 B. 6 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设，圆心为两次折痕的交点，由得，故，半径，圆，又，故，也就是，所以在 以为直径的圆上，故在圆上，因题中求的最大值，故可设.因圆与圆有公共点，而，故，也就是，故的最大值为.‎ 点睛：因为折叠时点均在圆上，因此圆心在折痕上，故折痕线的交点为圆心.又，故在以为直径的圆上，且该圆与圆有公共点，故利用圆心距小于等于两圆半径之和，大于等于两圆半径之差的绝对值得到的最大值为.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 如图所示，有5组数据，去掉__________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从点的分布看，去掉，余下各组具有较强的线性相关关系，故填.‎ ‎14. 过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据抛物线方程得：焦点坐标F（0，1），‎ 直线AB的斜率为k=tan30°=，‎ 由直线方程的点斜式方程，设AB：y﹣1=x 将直线方程代入到抛物线中，得：x2﹣x﹣1=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=．‎ x1x2=﹣4．‎ 弦长|AB|===．‎ 故答案为：．‎ ‎15. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点若，则________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：由椭圆的方程，可知，利用椭圆的定义可知的周长为 ‎，又因为，所以．‎ 考点：椭圆的定义及标准方程．‎ ‎16. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨、原料2吨；生产每吨乙产品要用原料1吨、原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨，原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是__________万元.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】试题分析：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则依题意可列出x,y的不等式组，然后画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求出最值即可．‎ 试题解析： 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：‎ ‎ ‎ A原料 ‎ B原料 ‎ 甲产品吨 ‎ ‎3 ‎ ‎2 ‎ 乙产品吨 ‎ ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ 则有：，目标函数，不等式组表示的平面区域为四边形OABC（不包含线段OC、OA）及其内部， 如图所示，且B（3，4），而目标函数可看作是直线在y轴上的截距，显然在过点B时截距最大，且此时z最大，最大值为万元．‎ 故当＝3，＝4时可获得最大利润为27万元，‎ 答：生产甲产品3吨，乙产品4吨，可使该企业获得最大利润27万元．‎ 考点：线性规划求最值．‎ ‎【方法点睛】线性规划求最值和值域的步骤：（1）作出不等式组表示的平面区域；（2）对线性目标函数进行变形，考查直线在y轴上的截距与z的大小关系；（3）确定在何处时取得最大值，何处取得最小值，并求出最值；（4）总结答案．‎ 对于非目标函数的最值问题，方法基本同上，只是目标函数的几何意义不同．例如：目标函数可看作是可行域内点（x,y）与点P（-1，-3）连线的斜率．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）若，求面积的最大值；‎ ‎（2）若，求 .‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由余弦定理，基本不等式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎（2）由正弦定理得sinA=2sinB，利用三角形内角和定理可求B=60°﹣A，利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由余弦定理得，‎ ‎，当且仅当时取等号；解得，‎ 故，即面积的最大值为.‎ ‎（2）因为，由正弦定理得，又，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.‎ ‎（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？‎ ‎（参考公式：，）‎ 参考数据：， ‎ ‎.‎ ‎【答案】(1) (2) 该小组所得线性回归方程是理想的 ‎【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．‎ ‎（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由数据求得 由公式求得 再由 所以关于的线性回归方程为 ‎（2）当时，，；‎ 同样，当时，， ‎ 所以，该小组所得线性回归方程是理想的. ‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19. 如图，四面体中，分别是的中点，,.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）连结，则为的中位线，故，所以 平面.（2）由题设，有，结合有，而，故平面，我们可以建立空间直角坐标系，计算与平面法向量的夹角的余弦值，也可以通过等积法计算到平面的距离，从而得到线面角的正弦值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：连结，、分别是、的中点∥，‎ 又平面，平面，‎ ‎∥平面 .‎ ‎（2）法一：连结，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 在中，‎ 由已知可得而 ‎ ‎.‎ 平面.‎ 以分别为轴，建立如图所示的直角坐标系 ‎ ‎ 设平面的法向量，由，则有 ‎，令，得 ‎ 又因为,所以 故直线与平面所成角的正弦值为： ‎ 法二：设到平面的距离为，由,有 ‎，得 ‎ 故直线与平面所成角的正弦值为：.‎ 点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角 ‎20. 遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：‎ ‎（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.‎ ‎（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜‎ ‎8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.‎ ‎【答案】(1) 这种游戏规则不公平(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）甲乙两船各取一数，共有25种取法，其中两数和为偶数共有13种情形，故甲先停靠的概率为，而乙先停靠的概率为，不公平．（2）因为时刻是连续变化的，故问题为几何概型，可设甲船到达的时刻为，乙船到达的时刻为，甲船先停靠为事件，则所有基本事件和随机事件所含有的基本事件都可以用平面区域的面积来度量，从而求出概率为．‎ 解析：（1）这种规则是不公平的 设甲胜为事件，乙胜为事件，基本事件总数为种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 个： ， ， ， ， ， ,,,,,,,，∴甲胜的概率，乙胜的概率，∴这种游戏规则不公平． ‎ ‎（2）设甲船先停靠为事件,甲船到达的时刻为，乙船到达的时刻为，，可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为，，这是一个正方形区域，面积，事件所构成的区域为，，这是一个几何概型，所以．‎ 点睛：判断一个概率模型是古典概型还是几何概型，有一个重要的依据：基本事件的个数是有限还是无限．对于几何概型，要找到所有基本事件的度量方法（测度），常见的度量方法有线段的长度、面积、体积等．‎ ‎21. 如图三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由四边形是菱形可以得到，结合有平面，因此，根据是的中点得到．（2）由题设条件可证明，从而两两相互垂直，设为单位长，则建立如图所示空间直角坐标系，通过计算半平面的法向量的夹角来计算二面角的余弦值．‎ 解析：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，，所以平面．由于平面，故．又，故 ．‎ ‎（2）因为，且为的中点，所以．又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 因为，所以为等边三角形，又，则，．，，设是平面 的法向量，则，即，所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取，，所以二面角的余弦值为． ‎ ‎22. 已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.‎ ‎(1)求椭圆的方程； ‎ ‎(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 线段上存在点 ‎【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，即列两个独立条件，解出，（2）先化简等式：得，其中为线段的中点为，即所以直线为直线的垂直平分线，直线的垂直平分线过点，以下转化为中点弦问题，可利用韦达定理，也可利用点差法，得出t的函数解析式，根据对应参数（直线斜率或中点坐标）的取值范围确定实数的取值范围 试题解析：（1）由题意知，又，所以，‎ ‎，所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）设直线的方程为：，代入，得：‎ ‎，设，线段的中点为，‎ 则，‎ 由得：，‎ 所以直线为直线的垂直平分线，‎ 直线的方程为：，‎ 令得：点的横坐标，‎ 因为， 所以，所以．‎ 所以线段上存在点使得，其中．‎ 考点：椭圆标准方程，中点弦问题 ‎【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程．‎