内蒙古锡林浩特市第六中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

内蒙古锡林浩特市第六中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

数学试卷 一、选择题 ‎1.已知，则（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当，即时，得，故选B。‎ 点睛：函数解析式中特别强调整体思想的应用，在本题中，将条件函数研究对象整体，得，再带入条件函数，就可以解得的值。在函数的解析式相关题型中，整体思想的应用非常广泛，学会灵活应用。‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以，应选答案C。‎ ‎3.已知，则函数（ ）‎ A. 有最大值1，无最小值 B. 有最大值，无最小值 C. 有最大值1，最小值 D. 有最大值，最小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为 ，，所以当 时有最大值 ， 无最小值.‎ ‎4.已知函数f(x)＝则)等于(　　)‎ A. 4 B. －2‎ C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，则，故选B.‎ ‎5. 下列函数是偶函数的是（ ）‎ A. y=x2，x∈[0，1] B. y=x‎3 ‎C. y=2x2﹣3 D. y=x ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：利用偶函数的性质判断即可．‎ 解：A、y=x2，x∈[0，1]，图象不关于y轴对称，不是偶函数；‎ B、f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），此函数为奇函数；‎ C、f（﹣x）=2×（﹣x）2﹣3=2x2﹣3=f（x），此函数为偶函数；‎ D、f（﹣x）=﹣f（x），此函数为奇函数，‎ 故选：C．‎ 考点：函数奇偶性的判断．‎ ‎6.函数在区间上的最大值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是指数型的函数，单调递减，故在x=-2时取得最大值.‎ ‎【详解】‎ 当x=-2时取得最大值为27.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数单调性应用；求解最值其根本还是研究函数的单调性，可以借助基本初等函数单调性、复合函数单调性法则等判断函数单调性.‎ ‎7.函数（且）的图象恒过定点（）‎ A. （0，3） B. （1，3） C. （-1，2） D. （-1，3）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 令x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a0+2＝3，故可得函数y＝ax+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过定点．‎ ‎【详解】令x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a0+2＝3‎ ‎∴函数y＝ax+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（﹣1，3）‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题．‎ ‎8.设，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中条件分别判断出的范围，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，，所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于基础题型.‎ ‎9.函数在上是増函数，则的取值范围是( )。‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，函数 二次项系数含有参数，所以采用分类讨论思想，分别求出当和时，使函数满足在上是増函数的的取值范围，最后取并集，即可求解出结果。‎ ‎【详解】由题意得，‎ 当时，函数在上是増函数；‎ 当时，要使函数在上是増函数，应满足 或，解得或。‎ 综上所述，，故答案选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数在某一区间的单调性求参数的范围，对于二次项系数含参的的函数，首先要分类讨论，再利用一次函数或二次函数的性质，建立参数的不等关系进行求解。‎ ‎10.函数的单调递增区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得内函数和外函数的单调性,结合复合函数的单调性,可求出答案.‎ ‎【详解】设,‎ 函数上单调递增,在上单调递减,‎ 函数是定义域上的减函数,‎ 根据复合函数单调性可知,在上单调递增,在的单调递减.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性,考查了学生分析解决问题的能力,属于基础题.‎ ‎11.函数y＝的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．‎ ‎【详解】∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；‎ 值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；‎ 在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．‎ 分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．‎ ‎12.已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得,可构造函数是上的增函数,原不等式可转化为,再结合增函数的性质可求出答案.‎ ‎【详解】由题意,,‎ 因为且所以函数是上的增函数.‎ ‎,‎ 因为,所以,‎ 则,解得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,构造函数是解决本题的关键,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知集合M＝{x|‎2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____.‎ ‎【答案】m≥1‎ ‎【解析】‎ ‎∵M＝∅，∴‎2m≥m＋1，∴m≥1.‎ 故答案为m≥1‎ ‎14.设f（x）为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b （b为常数），则f（－1）＝ ．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：f（x）为定义在R上的奇函数，所以 考点：函数奇偶性求函数解析式 ‎15.函数的图象恒过定点,点在指数函数的图象上，则 ‎_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的图象过定点，根据此结论求出指数函数的解析式，然后求出．‎ ‎【详解】令，得，此时，‎ 所以函数的图象恒过定点．‎ 设指数函数为 因为点在函数的图象上，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故，‎ 所以 故答案为．‎ ‎【点睛】求对数型函数的图象过的定点时，可令，求得定点的横坐标，然后可得定点的纵坐标为．本题考查对对数函数性质的理解和应用，属于基础题．‎ ‎16.已知函数f(x)＝|2x－2|(x∈(－1,2))，则函数y＝f(x－1)的值域为________．‎ ‎【答案】[0,2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数左右平移不影响函数的值域，只需求出的值域即可.‎ ‎【详解】法一：‎ 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f(x)＝|2x－2|的图象．‎ 由图易得值域为[0,2)．‎ 法二：因为x∈(－1,2)，所以2x∈，2x－2∈，‎ 所以|2x－2|∈[0,2)．因为y＝f(x－1)是由f(x)向右平移1个单位得到的，‎ 所以值域不变，所以y＝f(x－1)的值域为[0,2)．故答案为[0,2).‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.‎ 三、解答题 ‎17.已知集合，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求得，再借助于数列数轴可求得；（2）由，可得关于的不等式，解得的范围．‎ 试题解析：（1）当时，集合，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴，∴．‎ 考点：集合的运算；集合间的关系．‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了集合的运算，集合间的关系．集合的运算方法：（1）数轴图示法：对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．（2）韦恩图示法：对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．‎ ‎18.计算下列各式的值：‎ ‎（Ⅰ)‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据对数运算法则 化简求值（2）根据指数运算法则，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式.‎ ‎（Ⅱ）原式.‎ ‎19.已知幂函数的图象经过点．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设幂函数解析式，再代入点坐标解得参数 ，即得结果.(2)先根据幂指数正负判断增减性，再利用定义证明 ‎【详解】（Ⅰ）∵是幂函数，则设（α是常数），‎ ‎∵的图象过点，‎ ‎∴，‎ 故，即；‎ ‎（Ⅱ）在区间上是减函数．证明如下：‎ 设 ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴在区间上是减函数．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数解析式以及定义法证明单调性，考查基本求解能力与推理论证能力.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）求定义域；‎ ‎（2）判断并证明奇偶性.‎ ‎【答案】(1)；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意得，，从而可得函数的定义域；‎ ‎（2）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性定义证明．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，‎ 解得：﹣1＜x＜1，‎ ‎∴原函数的定义域为（﹣1，1）；‎ ‎（2）f（x）在（﹣1，1）上为奇函数，证明如下，‎ ‎∵f（﹣x）=loga ‎=loga（）﹣1‎ ‎=﹣loga ‎=f（x）；‎ ‎∴f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．‎ ‎21.已知函数，且，.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）解不等式：.‎ ‎【答案】（1）p=-2,q=;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得到关于p,q的方程组，求解方程组即可确定p,q的值；‎ ‎(2)结合函数的解析式求解对数不等式即可.‎ ‎【详解】（1）依题意，得，解得；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 由，得，即，‎ 因为是减函数，所以，，‎ 即不等式的解集是．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数不等式的解法，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22.已知函数的图象过点.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值;‎ ‎（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据图象过点，代入函数解析式求出k的值即可；‎ ‎（Ⅱ）令，则命题等价于，根据函数的单调性求出a的范围即可；‎ ‎（Ⅲ）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可．‎ ‎【详解】（I）函数的图象过点 ‎ ‎ ‎ ‎（II）由（I）知 恒成立 即恒成立 令，则命题等价于 而单调递增 即 ‎ ‎（III） ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ 当时，对称轴 ‎①当，即时 ‎ ‎ ‎，不符舍去. ‎ ‎②当时,即时 ‎.‎ ‎ 符合题意.‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题．‎