河北省衡水中学2016届高三(上)六调数学试卷(理科)(解析版)

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文档介绍

河北省衡水中学2016届高三(上)六调数学试卷(理科)(解析版)

‎2015-2016学年河北省衡水中学高三(上)六调数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)‎ ‎1.已知集合A={x||x+1|≤2,x∈z},B={y|y=x2,﹣1≤x≤1},则A∩B=(  )‎ A.(﹣∞,1] B.[﹣1,1] C.{0,1} D.{﹣1,0,1}‎ ‎2.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z的值为(  )‎ A.﹣3+i B.﹣3﹣i C.3+i D.3﹣i ‎3.已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为(  )‎ A.<,S2甲<S2乙 B.<,S2甲>S2乙 C.>,S2甲>S2乙 D.>,S2甲<S2乙 ‎4.设x,y满足,若目标函数z=ax+y(a>0)最大值为14,则a为(  )‎ A. B.23 C.2 D.1‎ ‎5.设Sn是等比数列{an}的前n项的和,Sm﹣1=45,Sm=93,则Sm+1=189,则m=(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎6.在△ABC中,点D满足,点E是线段AD上的一个动点,若,则t=(λ﹣1)2+μ2的最小值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有(  )‎ A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 ‎8.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为(  )‎ A.3 B.4 C.2和5 D.3和4‎ ‎9.已知函数f(x)=,若存在x1,x2,当0≤x1<4≤x2≤6时,f(x1)=f(x2),则x1•f(x2)的取值范围是(  )‎ A.[0,1) B.[1,4] C.[1,6] D.[0,1]∪[3,8]‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的表面积为(  )‎ A.10+6+4π(cm2) B.16+6+4π(cm2) C.12+4π(cm2) D.22+4π(cm2)‎ ‎11.已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.关于曲线C:,给出下列四个命题:‎ A.曲线C关于原点对称 B.曲线C有且只有两条对称轴 C.曲线C的周长l满足 D.曲线C上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中,真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.为了测量一古塔的高度,某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°,沿着A向北偏东30°前进100米到达B地(假设A和B在海拔相同的地面上),在B地测得塔尖的仰角为30°,则塔高为   米.‎ ‎14.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)9的展开式中,x2项的系数是  (用数字作答)‎ ‎15.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1(a>0,b>0)交于A、B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是  .‎ ‎16.半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球,则小球半径r可能的最大值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共六小题共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数 ‎(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;‎ ‎(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[﹣π,0]上的值域.‎ ‎18.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥面ABCD.AD=1,,BC=4.‎ ‎(1)求证:BD⊥PC;‎ ‎(2)求直线AB与平面PDC所成角;‎ ‎(3)设点E在棱PC、上,,若DE∥面PAB,求λ的值.‎ ‎19.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间情况,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名.其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如表:‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?‎ ‎(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;‎ ‎(3)从(2)中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列及数学期望.‎ 参考公式:,其中n=a+b+c+d. ‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20.已知椭圆的两个焦点分别为F1(﹣c,0)和F2(c,0)(c>0),过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)求直线AB的斜率;‎ ‎(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求的值.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(2)是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.‎ ‎ ‎ 选修4一1:几何证明选讲 ‎22.已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD;‎ ‎(Ⅱ)求BC的长.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程是以极点为原点,极轴为x轴正方向建立直角坐标系,点M(﹣1,0),直线l与曲线C交于A,B两点.‎ ‎(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;‎ ‎(2)线段MA,MB长度分别记|MA|,|MB|,求|MA|•|MB|的值.‎ ‎ ‎ 选修4一5不等式选讲 ‎24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|‎ ‎(1)求不等式f(x)≤3的解集;‎ ‎(2)若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f(x)(a≠0,a∈R,b∈R)恒成立,求实数x的范围.‎ ‎ ‎ ‎2015-2016学年河北省衡水中学高三(上)六调数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)‎ ‎1.已知集合A={x||x+1|≤2,x∈z},B={y|y=x2,﹣1≤x≤1},则A∩B=(  )‎ A.(﹣∞,1] B.[﹣1,1] C.{0,1} D.{﹣1,0,1}‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】分别求出A和B,由此能求出A∩B.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x||x+1|≤2,x∈z}‎ ‎={x|﹣3≤x≤1,x∈Z}={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},‎ B={y|y=x2,﹣1≤x≤1}={y|0≤y≤1},‎ ‎∴A∩B={0,1}.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z的值为(  )‎ A.﹣3+i B.﹣3﹣i C.3+i D.3﹣i ‎【考点】复数代数形式的混合运算.‎ ‎【分析】由(3+z)i=1,可得 z=,再利用两个复数代数形式的除法法则,运算求出z的值.‎ ‎【解答】解:∵(3+z)i=1,∴z==﹣3﹣i,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为(  )‎ A.<,S2甲<S2乙 B.<,S2甲>S2乙 C.>,S2甲>S2乙 D.>,S2甲<S2乙 ‎【考点】极差、方差与标准差;茎叶图.‎ ‎【分析】由茎叶图,分别求出和,由茎叶图知:甲的数据较分散,乙的数所较集中,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:由茎叶图,得:‎ ‎=(15+24+23+31+36+37+39+49+44+50)=34.8,‎ ‎=(18+16+14+13+28+26+23+51)=23.625,‎ ‎∴>,‎ 又由茎叶图知:甲的数据较分散,乙的数所较集中,‎ ‎∴<,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.设x,y满足,若目标函数z=ax+y(a>0)最大值为14,则a为(  )‎ A. B.23 C.2 D.1‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】由线性约束条件画出可行域,然后结合目标函数的最大值.求出a的值.‎ ‎【解答】解:画出约束条件的可行域,如图:目标函数z=ax+y(a>0)最大值为14,即目标函数z=ax+y(a>0)在的交点M(4,6)处,目标函数z最大值为14,‎ 所以4a+6=14,所以a=2.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.设Sn是等比数列{an}的前n项的和,Sm﹣1=45,Sm=93,则Sm+1=189,则m=(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由题意得===2,再由Sm==93解得a1=3,从而求m.‎ ‎【解答】解:∵===2,‎ ‎∴Sm===93,‎ 故a1=3,‎ 故am=3•2m﹣1=48,‎ 解得,m=5,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.在△ABC中,点D满足,点E是线段AD上的一个动点,若,则t=(λ﹣1)2+μ2的最小值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k,,0≤k≤1,然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到,从而得到.代入t,进行配方即可求出t的最小值.‎ ‎【解答】解:如图,‎ E在线段AD上,所以存在实数k使得;‎ ‎;‎ ‎∴==;‎ ‎∴;‎ ‎∴=;‎ ‎∴时,t取最小值.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有(  )‎ A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 ‎【考点】组合及组合数公式.‎ ‎【分析】解法一,根据题意,按A、B的元素数目不同,分9种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案;‎ 解法二,根据题意,B中最小的数大于A中最大的数,则集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,按A、B中元素数目这和的情况,分4种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案.‎ ‎【解答】解:‎ 解法一,若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有C52=10种;‎ 若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C53=10种;‎ 若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C54=5种;‎ 若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有C55=1种;‎ 若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C53=10种;‎ 若集合A中有两个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C54=5种;‎ 若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C55=1种;‎ 若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C54=5种;‎ 若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C55=1种;‎ 若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C55=1种;‎ 总计有49种,选B.‎ 解法二:集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,‎ 从5个元素中选出2个元素,有C52=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;‎ 从5个元素中选出3个元素,有C53=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;‎ 从5个元素中选出4个元素,有C54=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;‎ 从5个元素中选出5个元素,有C55=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;‎ 总计为10+20+15+4=49种方法.选B.‎ ‎ ‎ ‎8.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为(  )‎ A.3 B.4 C.2和5 D.3和4‎ ‎【考点】概率的意义;集合的含义.‎ ‎【分析】分别从集合A和B中随机取一个数a和b,组成一个有序数对,共有2×3中方法,要计算事件Cn的概率最大时n的所有可能值,要把题目中所有的情况进行分析求解,比较出n的所有可能值.‎ ‎【解答】解:事件Cn的总事件数为6.只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可.‎ 当n=2时,落在直线x+y=2上的点为(1,1);‎ 当n=3时,落在直线x+y=3上的点为(1,2)、(2,1);‎ 当n=4时,落在直线x+y=4上的点为(1,3)、(2,2);‎ 当n=5时,落在直线x+y=5上的点为(2,3);‎ 显然当n=3,4时,事件Cn的概率最大为,‎ 故选D ‎ ‎ ‎9.已知函数f(x)=,若存在x1,x2,当0≤x1<4≤x2≤6时,f(x1)=f(x2),则x1•f(x2)的取值范围是(  )‎ A.[0,1) B.[1,4] C.[1,6] D.[0,1]∪[3,8]‎ ‎【考点】分段函数的应用.‎ ‎【分析】根据已知将x1•f(x2)转化为x1f(x1),再根据函数y=xf(x)的性质求解.‎ ‎【解答】解:当0≤x1<4≤x2≤6时,因为f(x1)=f(x2),由f(x1)=f(x2)=1或f(x1)=f(x2)=2,得到x1的取值范围是[1,3],‎ 所以x1•f(x2)=x1•f(x1)=x1(1﹣|x1|﹣2)=,即x1f(x2)的范围是[1,4].‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的表面积为(  )‎ A.10+6+4π(cm2) B.16+6+4π(cm2) C.12+4π(cm2) D.22+4π(cm2)‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,三棱柱的是一个底面是腰长为2的等腰直角三角形,高是3,圆柱的底面半径是1,高是3,写出表面积.‎ ‎【解答】解:由三视图知,几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,‎ 三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形,高是3,‎ 半圆柱的底面半径是1,高是3,‎ ‎∴组合体的表面积是2×2+2×3+2×3+π+π×1×32=10+6+4π.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数y=x2(p>0)在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值.‎ ‎【解答】解:由抛物线C1:y=x2(p>0)得x2=2py(p>0),‎ 所以抛物线的焦点坐标为F(0,).‎ 由﹣y2=1得a=,b=1,c=2.‎ 所以双曲线的右焦点为(2,0).‎ 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,‎ 即①.‎ 设该直线交抛物线于M(),则C1在点M处的切线的斜率为.‎ 由题意可知=,得x0=,代入M点得M(,)‎ 把M点代入①得:.‎ 解得p=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.关于曲线C:,给出下列四个命题:‎ A.曲线C关于原点对称 B.曲线C有且只有两条对称轴 C.曲线C的周长l满足 D.曲线C上的点到原点的距离的最小值为 上述命题中,真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】曲线与方程.‎ ‎【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可.‎ ‎【解答】解:把曲线C中的(x,y )同时换成(﹣x,﹣y ),方程不变,∴曲线C关于原点对称,即A正确;‎ 曲线方程为,交换x,y的位置后曲线方程不变,∴曲线C关于直线y=x对称,同理,y=﹣x,x,y轴是曲线的对称轴,即B不正确;‎ 在第一象限内,因为点(,)在曲线上,由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方,且为凹函数如图:‎ 由以上分析可知曲线C的周长l满足,正确.‎ 曲线C上的点到原点的距离的最小值为(,)到原点的距离,为,即D正确.‎ 真命题有3个,故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.为了测量一古塔的高度,某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°,沿着A向北偏东30°前进100米到达B地(假设A和B在海拔相同的地面上),在B地测得塔尖的仰角为30°,则塔高为 50  米.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【分析】理解方位角、仰角的含义,画出图形,确定△ABD中的边与角,利用余弦定理,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:如图,CD为古塔的高度,设为hm,由题意,CD⊥平面ABD,AB=100米,∠BAD=60°,∠CAD=45°,∠CBD=30°‎ 在△CBD中,BD=hm,在△CAD中,AD=hm,‎ 在△ABD中,BD=hm,AD=hm,AB=100m,∠BAD=60°,‎ ‎∴3h2=10000+h2﹣2×100hcos60°‎ ‎∴(h﹣50)(h+100)=0‎ ‎∴h=50或h=﹣100(舍去)‎ 故答案为:50‎ ‎ ‎ ‎14.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)9的展开式中,x2项的系数是 120 (用数字作答)‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)9的展开式中,x2项的系数是C22+C32+…+C92,然后利用组合数公式的性质求解.‎ ‎【解答】解:在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)9的展开式中,x2项的系数是C22+C32+…+C92=C103=120.‎ 故答案为:120.‎ ‎ ‎ ‎15.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1(a>0,b>0)交于A、B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标,利用三角形是直角三角形求出顶点坐标,代入双曲线方程,利用双曲线的几何量之间的关系,求出离心率的表达式,然后求解即可.‎ ‎【解答】解:抛物线焦点F(1,0),由题意0<a<1,且∠AFB=90°并被x轴平分,‎ 所以点(﹣1,2)在双曲线上,得,即,‎ 即,所以,‎ ‎∵0<a<1,∴e2>5,‎ 故.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球,则小球半径r可能的最大值为 ﹣2 .‎ ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【分析】由题意,四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大,以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r,该正四面体的中心(外接球球心)就是大球的球心,求出正四面体的外接球半径,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:由题意,四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大.‎ 以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r,该正四面体的中心(外接球球心)就是大球的球心,‎ 该正四面体的高为=r,‎ 设正四面体的外接球半径为x,则x2=(r﹣x)2+(r)2,‎ ‎∴x=r,‎ ‎∴1=r+r,‎ ‎∴r==﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共六小题共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数 ‎(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;‎ ‎(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[﹣π,0]上的值域.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式,结合辅助角公式进行化简,即可求f(x)的单调递减区间;‎ ‎(Ⅱ)根据三角函数的图象变换,进行化简求解即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ) ==,‎ 由,k∈Z,‎ 得,k∈Z,‎ 所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.‎ ‎(Ⅱ)将的图象向左平移个单位,得到=,‎ 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到.‎ ‎∵x∈[﹣π,0],∴.∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴函数y=g(x)在[﹣π,0]上的值域为.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥面ABCD.AD=1,,BC=4.‎ ‎(1)求证:BD⊥PC;‎ ‎(2)求直线AB与平面PDC所成角;‎ ‎(3)设点E在棱PC、上,,若DE∥面PAB,求λ的值.‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的性质;与二面角有关的立体几何综合题.‎ ‎【分析】(1)根据余弦定理求出DC的长,而BC2=DB2+DC2,根据勾股定理可得BD⊥DC,而PD⊥面ABCD,则BD⊥PD,PD∩CD=D,根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC,而PC在面PDC内,根据线面垂直的性质可知BD⊥PC;‎ ‎(2)在底面ABCD内过D作直线DF∥AB,交BC于F,分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系,根据(1)知BD⊥面PDC,则就是面PDC的法向量,设AB与面PDC所成角大小为θ,利用向量的夹角公式求出θ即可.‎ ‎(3)先求出向量,,,,,设=(x,y,z)为面PAB的法向量,根据•=0, •=0,求出,再根据DE∥面PAB,则•=0求出λ即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠DAB=90°,AD=1,AB=,∴BD=2,∠ABD=30°,‎ ‎∵BC∥AD∴∠DBC=60°,BC=4,由余弦定理得DC=2,‎ BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,‎ ‎∵PD⊥面ABCD,∴BD⊥PD,PD∩CD=D,∴BD⊥面PDC,‎ ‎∵PC在面PDC内,∴BD⊥PC ‎(2)在底面ABCD内过D作直线DF∥AB,交BC于F,‎ 分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系,‎ 由(1)知BD⊥面PDC,∴就是面PDC的法向量,‎ A(1,0,0),B(1,,0),P(0,0,a)=(0,,0),=(1,,0),‎ 设AB与面PDC所成角大小为θ,cosθ==,‎ ‎∵θ∈(0°,90°)∴θ=30°‎ ‎(3)在(2)中的空间坐标系中A、(1,0,0),B、(1,,0),P(0,0,a)C、(﹣3,,0),‎ ‎=(﹣3,,﹣a),=(﹣3λ,λ,﹣aλ),‎ ‎=+=(0,0,a)+(﹣3λ,λ,﹣aλ)=(﹣3λ,λ,a﹣aλ)‎ ‎=(0,,0),=(1,0,﹣a),‎ 设=(x,y,z)为面PAB的法向量,‎ 由•=0,‎ 得y=0,由•=0,得x﹣az=0,取x=a,z=1, =(a,0,1),‎ 由D、E∥面PAB得:⊥,∴•=0,﹣3aλ+a﹣aλ=0,∴λ=‎ ‎ ‎ ‎19.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间情况,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名.其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如表:‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?‎ ‎(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;‎ ‎(3)从(2)中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列及数学期望.‎ 参考公式:,其中n=a+b+c+d. ‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(1)计算K2的值,与临界值比较,可得结论;‎ ‎(2)从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法,比例为3:2,选出5人赠送营养面膜1份,可得结论.‎ ‎(3)X的取值为1,2,3,再求出X取每一个值的概率,即可求得X的分布列和数学期望.‎ ‎【解答】解:(1)由题意,K2=≈0.65<0.708,‎ ‎∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关;‎ ‎(2)从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法,比例为3:2,选出5人赠送营养面膜1份,所抽取的5人中“微信控”有3人,“非微信控”的人数有2人;‎ ‎(3)X=1,2,3,则 P(X=1)==0.3,P(X=2)==0.6,P(X=3)==0.1.‎ X的分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.1‎ X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8.‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆的两个焦点分别为F1(﹣c,0)和F2(c,0)(c>0),过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)求直线AB的斜率;‎ ‎(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求的值.‎ ‎【考点】椭圆的应用;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】(1)由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|,得,从而,由此可以求出椭圆的离心率.‎ ‎(2)由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2,设直线AB的方程为,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则它们的坐标满足方程组,整理,得(2+3k2)x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0.再由根的判别式和根与系数的关系求解.‎ ‎(III)解法一:当时,得,.线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心,因此外接圆的方程为.由此可以推导出的值.‎ 解法二:由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线,由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形.由此入手可以推导出的值.‎ ‎【解答】(1)解:由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|,‎ 得,从而 整理,得a2=3c2,故离心率 ‎(2)解:由(I)得b2=a2﹣c2=2c2,‎ 所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2‎ 设直线AB的方程为,即y=k(x﹣3c).‎ 由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则它们的坐标满足方程组 消去y整理,得(2+3k2)x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0.‎ 依题意,‎ 而①‎ ‎②‎ 由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c=2x2③‎ 联立①③解得,‎ 将x1,x2代入②中,解得.‎ ‎(III)解法一:由(II)可知 当时,得,由已知得.‎ 线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心,‎ 因此外接圆的方程为.‎ 直线F2B的方程为,‎ 于是点H(m,n)的坐标满足方程组,‎ 由m≠0,解得故 当时,同理可得.‎ 解法二:由(II)可知 当时,得,由已知得 由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线,‎ 因为点H(m,n)在△AF1C的外接圆上,‎ 且F1A∥F2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形.‎ 由直线F2B的方程为,‎ 知点H的坐标为.‎ 因为|AH|=|CF1|,所以,解得m=c(舍),或.‎ 则,所以.当时同理可得 ‎ ‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(2)是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;不等式的证明.‎ ‎【分析】(1)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出单调区间,讨论满足fˊ(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值点,求出极值.‎ ‎(2)对a进行讨论,当a≤0时,f(x)>0恒成立,关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞)符合题意.当a>0时,关于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0,+∞).‎ ‎【解答】解:(Ⅰ).‎ 故当x∈(0,1)时,f'(x)>0,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.‎ 所以f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.‎ 由此知f(x)在(0,+∞)的极大值为f(1)=ln2,没有极小值.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当a≤0时,‎ 由于,‎ 故关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞).‎ ‎(ⅱ)当a>0时,由知,其中n为正整数,‎ 且有ln(1+)<⇔<﹣1⇔n>﹣log2(﹣1).‎ 又n≥2时,.‎ 且.‎ 取整数n0满足,,且n0≥2,‎ 则,‎ 即当a>0时,关于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0,+∞);‎ 综合(ⅰ)(ⅱ)知,存在a,使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞),且a的取值范围为(﹣∞,0].‎ ‎ ‎ 选修4一1:几何证明选讲 ‎22.已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD;‎ ‎(Ⅱ)求BC的长.‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明;圆內接多边形的性质与判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,再证明OC∥AD,即可证得AC平分∠BAD.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而BC=CE,利用ABCE四点共圆,可得∠B=∠CED,从而有,故可求BC的长.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,‎ 因为CD为半圆的切线,所以OC⊥CD,‎ 又因为AD⊥CD,所以OC∥AD,‎ 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,∴BC=CE,‎ 连接CE,因为ABCE四点共圆,∠B=∠CED,所以cosB=cos∠CED,‎ 所以,所以BC=2.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程是以极点为原点,极轴为x轴正方向建立直角坐标系,点M(﹣1,0),直线l与曲线C交于A,B两点.‎ ‎(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;‎ ‎(2)线段MA,MB长度分别记|MA|,|MB|,求|MA|•|MB|的值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.‎ ‎【分析】(1)将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程,再化成直线l的极坐标方程,曲线C的极坐标方程化成:ρsinθ=ρ2cos2θ,最后再化成普通方程即可;‎ ‎(2)将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程,再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2.‎ ‎【解答】解(1)将直线l的参数方程消去参数t得:x=﹣1+y,‎ ‎∴直线l的极坐标方程,‎ 曲线C的极坐标方程化成:ρsinθ=ρ2cos2θ,‎ 其普通方程是:y=x2‎ ‎(2)将代入y=x2‎ 得,3分 ‎∵点M(﹣1,0)在直线上,‎ ‎∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2.‎ ‎ ‎ 选修4一5不等式选讲 ‎24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|‎ ‎(1)求不等式f(x)≤3的解集;‎ ‎(2)若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f(x)(a≠0,a∈R,b∈R)恒成立,求实数x的范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式;函数恒成立问题.‎ ‎【分析】(1)根据绝对值的代数意义,去掉函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|中的绝对值符号,画出函数函数f(x)的图象,根据图象求解不等式f(x)≤3,‎ ‎(2)由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|,得2|a|≤|a|f(x),由a≠0,得2≤f(x),从而解得实数x的范围.‎ ‎【解答】解:(1),… 所以解集[0,3]…‎ ‎(2)由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|,…‎ 得2|a|≤|a|f(x),由a≠0,得2≤f(x),…‎ 解得x或x …‎ ‎ ‎ ‎2016年11月8日
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