中考数学模拟压轴试卷含解析

中考数学模拟压轴试卷含解析

‎2016年广东省中考数学模拟压轴试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）‎ A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3‎ ‎2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．计算﹣a2+3a2的结果为（　　）‎ A．﹣2a2 B．2a2 C．4a2 D．﹣4a2‎ ‎4．分解因式：y3﹣4y2+4y=（　　）‎ A．y（y2﹣4y+4） B．y（y﹣2）2 C．y（y+2）2 D．y（y+2）（y﹣2）‎ ‎5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（　　）‎ A．3 B．5 C．8 D．10‎ ‎7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2‎ ‎9．若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（　　）‎ A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm ‎10．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：‎ ‎①抛物线的开口向下；‎ ‎②对称轴为直线x=1；‎ ‎③顶点坐标为（﹣1，3）；‎ ‎④x＞1时，y随x的增大而减小，‎ 其中正确结论的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约960万平方千米，这个数据用科学记数法可表示为　　　　　　平方千米．‎ ‎12．不等式2x＜4x﹣6的最小整数解为　　　　　　．‎ ‎13．若m+n=10，mn=24，则m2+n2=　　　　　　．‎ ‎14．如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于　　　　　　．‎ ‎15．观察下列等式 ‎12=1=×1×2×（2+1）‎ ‎12+22=×2×3×（4+1）‎ ‎12+22+32=×3×4×（6+1）‎ ‎12+22+32+42=×4×5×（8+1）…‎ 可以推测12+22+32+…+n2=　　　　　　．‎ ‎16．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　　　　　　．（结果保留π）‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分66分）‎ ‎17．计算：2tan60°﹣+（2﹣π）0﹣（）﹣1．‎ ‎18．先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．‎ ‎19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°‎ ‎（1）作边AB的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在已知的图中，若MN交AC于点D，连结BD，求∠DBC的度数．‎ ‎20．为了减少雾霾，美化环境，小王上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小王家距单位的路程是15千米，在相同的路线上，小王驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小王骑自行车的速度．‎ ‎21．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎22．某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．‎ ‎（1）求本次被调查的学生人数；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？‎ ‎23．如图，B为双曲线y=（x＞0）上一点，直线AB平行于y轴交直线y=x于点A，交x轴于点D，y=与直线y=x交于点C，若OB2﹣AB2=4‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；‎ ‎（3）双曲线上是否存在点B，使△ABC∽△AOD？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎24．已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．‎ ‎（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；‎ ‎（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．‎ ‎①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；‎ ‎②求线段PQ的长．‎ ‎25．在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．‎ ‎（1）求证：△AMN∽△ABC；‎ ‎（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？‎ ‎（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎　‎ ‎2016年广东省中考数学模拟压轴试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）‎ A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3‎ ‎【考点】有理数大小比较．‎ ‎【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．‎ ‎【解答】解：∵正数和0大于负数，‎ ‎∴排除2和3．‎ ‎∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4，‎ ‎∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，‎ ‎∴﹣4＜﹣2＜﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．计算﹣a2+3a2的结果为（　　）‎ A．﹣2a2 B．2a2 C．4a2 D．﹣4a2‎ ‎【考点】合并同类项．‎ ‎【分析】根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．‎ ‎【解答】解：原式=（﹣1+3）a2‎ ‎=2a2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．分解因式：y3﹣4y2+4y=（　　）‎ A．y（y2﹣4y+4） B．y（y﹣2）2 C．y（y+2）2 D．y（y+2）（y﹣2）‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=y（y2﹣4y+4）=y（y﹣2）2，‎ 故选B ‎　‎ ‎5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．‎ ‎【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ‎（n﹣2）×180°=2×360，‎ 解得：n=6．‎ 即这个多边形为六边形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（　　）‎ A．3 B．5 C．8 D．10‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．‎ ‎【解答】解：∵摸到红球的概率为，‎ ‎∴P（摸到黄球）=1﹣=，‎ ‎∴=，‎ 解得n=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】平行四边形的判定与性质．‎ ‎【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以．‎ ‎【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，‎ ‎∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，‎ ‎∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（　　）‎ A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，‎ ‎∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，‎ ‎∴它的第三边长不可能为：17cm．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：‎ ‎①抛物线的开口向下；‎ ‎②对称轴为直线x=1；‎ ‎③顶点坐标为（﹣1，3）；‎ ‎④x＞1时，y随x的增大而减小，‎ 其中正确结论的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：①∵a=﹣＜0，‎ ‎∴抛物线的开口向下，正确；‎ ‎②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；‎ ‎③顶点坐标为（﹣1，3），正确；‎ ‎④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；‎ 综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约960万平方千米，这个数据用科学记数法可表示为　9.6×106　平方千米．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将960万平方千米用科学记数法表示为：9.6×106平方千米．‎ 故答案为：9.6×106．‎ ‎　‎ ‎12．不等式2x＜4x﹣6的最小整数解为　4　．‎ ‎【考点】一元一次不等式的整数解．‎ ‎【分析】移项，合并同类项，系数化成1，即可求出不等式的解集，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵2x＜4x﹣6，‎ ‎∴2x﹣4x＜﹣6，‎ ‎∴﹣2x＜﹣6，‎ ‎∴x＞3，‎ ‎∴不等式2x＜4x﹣6的最小整数解为4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎13．若m+n=10，mn=24，则m2+n2=　52　．‎ ‎【考点】整式的混合运算；完全平方公式．‎ ‎【分析】利用完全平方公式把条件整体代入整理即可求解．‎ ‎【解答】解：∵m+n=10，mn=24，‎ ‎∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=100﹣48=52．‎ 故本题答案为：52．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于　30°　．‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=AD，得到△ADC是等边三角形，求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数．‎ ‎【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD=AD，又CD=AC，‎ ‎∴△ADC是等边三角形，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠A=30°．‎ 故答案为：30°．‎ ‎　‎ ‎15．观察下列等式 ‎12=1=×1×2×（2+1）‎ ‎12+22=×2×3×（4+1）‎ ‎12+22+32=×3×4×（6+1）‎ ‎12+22+32+42=×4×5×（8+1）…‎ 可以推测12+22+32+…+n2=　n（n+1）（2n+1）　．‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】根据已知4个等式发现连续自然数的平方和等于×最后一数×（最后一数+1）×（2×最后一数+1），据此可写出第n个等式．‎ ‎【解答】解：∵第1个等式：12=1=×1×2×（2×1+1）；‎ 第2个等式：12+22=×2×3×（2×2+1）；‎ 第3个等式：12+22+32=×3×4×（2×3+1）‎ 第4个等式：12+22+32+42=×4×5×（2×4+1）‎ ‎…‎ ‎∴第n个等式：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1），‎ 故答案为： n（n+1）（2n+1）．‎ ‎　‎ ‎16．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　　．（结果保留π）‎ ‎【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．‎ ‎【分析】由于将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．‎ ‎【解答】解：如图：S扇形ACA′===6π；‎ S扇形BCB′===π；‎ 则S阴影=6π﹣=．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分66分）‎ ‎17．计算：2tan60°﹣+（2﹣π）0﹣（）﹣1．‎ ‎【考点】分母有理化；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据60°角的正切值、分母有理化、零指数幂以及负整数指数幂的概念进行计算．‎ ‎【解答】解：2tan60°﹣+（2﹣π）0﹣（）﹣1‎ ‎=2×﹣+1﹣‎ ‎=2﹣+1+1﹣3‎ ‎=﹣1‎ ‎　‎ ‎18．先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先化简分式，再由分式有意义可得x=﹣1，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：（﹣）÷‎ ‎=[﹣]×，‎ ‎=2x+8，‎ 由分式有意义可得x≠﹣2、0或2，‎ 当x=﹣1时，原式=2×（﹣1）+8=6．‎ ‎　‎ ‎19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°‎ ‎（1）作边AB的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在已知的图中，若MN交AC于点D，连结BD，求∠DBC的度数．‎ ‎【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）分别以A、B点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN，即MN为线段AB的垂直平分线；‎ ‎（2）由AB的垂直平分线MN交AC于D，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，又由∠A=40°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得∠DBC的度数．‎ ‎【解答】解：（1）如图：‎ ‎（2）解：∵AB的垂直平分线MN交AC于D，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵∠A=40°，‎ ‎∴∠ABD=∠A=40°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C==70°，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．‎ ‎　‎ ‎20．为了减少雾霾，美化环境，小王上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小王家距单位的路程是15千米，在相同的路线上，小王驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小王骑自行车的速度．‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．依据“小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．‎ ‎【解答】解：设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．‎ 根据题意，得=．‎ 解得x=15．‎ 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．‎ 答：骑自行车的速度为15千米/时．‎ ‎　‎ ‎21．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：此车没有超速．理由如下：‎ 过C作CH⊥MN，垂足为H，‎ ‎∵∠CBN=60°，BC=200米，‎ ‎∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），‎ BH=BC•cos60°=100（米），‎ ‎∵∠CAN=45°，‎ ‎∴AH=CH=100米，‎ ‎∴AB=100﹣100≈73（m），‎ ‎∴车速为m/s．‎ ‎∵60千米/小时=m/s，‎ 又∵14.6＜，‎ ‎∴此车没有超速．‎ ‎　‎ ‎22．某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．‎ ‎（1）求本次被调查的学生人数；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；‎ ‎（2）用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图；‎ ‎（3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少．‎ ‎【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有10人，占25%，‎ 故总人数有10÷25%=40人；‎ ‎（2）喜欢足球的有40×30%=12人，‎ 喜欢跑步的有40﹣10﹣15﹣12=3人，‎ 故条形统计图补充为：‎ ‎（3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多1200×=90人．‎ ‎　‎ ‎23．如图，B为双曲线y=（x＞0）上一点，直线AB平行于y轴交直线y=x于点A，交x轴于点D，y=与直线y=x交于点C，若OB2﹣AB2=4‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；‎ ‎（3）双曲线上是否存在点B，使△ABC∽△AOD？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】反比例函数综合题．‎ ‎【分析】（1）设D点坐标为（a，0），根据分别直线上点的坐标特征和反比例函数图象上点的坐标特征得到A点坐标为（a，a），B点坐标为（a，），则AB=a﹣，BD=，在Rt△OBD中，利用勾股定理得OB2=BD2+OD2=（）2+a2，由于OB2﹣AB2=4，所以（）2+a2﹣（a﹣）2=4，然后解方程可得到k=2；‎ ‎（2）作CM⊥AB于M，解方程组可得到C点坐标为（，），由于点B的横坐标为4，所以A点坐标为（4，4），B点坐标为（4，），则AB=4﹣=，然后根据三角形面积公式计算S△ABC；‎ ‎（3）由于△ABC∽△AOD，根据相似的判定得到△ACB为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，根据等腰直角三角形斜边上的中线性质得CM=AB，‎ 设B点坐标为（a，），则A点坐标为（a，a），则AB=|a﹣|，而C点坐标为（，），所以CM=|a﹣|，于是得到|a﹣|=|a﹣解得a=或a=﹣（舍去），则B点坐标为（，），此时C与B重合，所以不构成三角形，故不存在．‎ ‎【解答】解：（1）设D点坐标为（a，0），‎ ‎∵AB∥y轴，点A在直线y=x上，B为双曲线y=（x＞0）上一点，‎ ‎∴A点坐标为（a，a），B点坐标为（a，），‎ ‎∴AB=a﹣，BD=，‎ 在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2=（）2+a2，‎ ‎∵OB2﹣AB2=4，‎ ‎∴（）2+a2﹣（a﹣）2=4，‎ ‎∴k=2；‎ ‎（2）作CM⊥AB于M，如图，‎ 解方程组得或，‎ ‎∴C点坐标为（，）‎ ‎∵点B的横坐标为4，‎ ‎∴A点坐标为（4，4），B点坐标为（4，），‎ ‎∴AB=4﹣=，‎ ‎∴S△ABC=CM•AB ‎=•（4﹣）•‎ ‎=7﹣；‎ ‎（3）不存在．理由如下：‎ ‎∵△ABC∽△AOD，‎ 而△OAD为等腰直角三角形，‎ ‎∴△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，‎ ‎∴CM=AB，‎ 设B点坐标为（a，），则A点坐标为（a，a），‎ ‎∴AB=|a﹣|，‎ ‎∵C点坐标为（，）‎ ‎∴CM=|a﹣|，‎ ‎∴|a﹣|=|a﹣|，‎ ‎∴（a﹣）2=•，即（a﹣）2=•，‎ ‎∴（a﹣）2•[4a2﹣（a+）2]=0，解得a=或a=﹣（舍去），‎ ‎∴B点坐标为（，），则此时C与B重合，所以不构成三角形，故不存在．‎ ‎　‎ ‎24．已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．‎ ‎（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；‎ ‎（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．‎ ‎①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；‎ ‎②求线段PQ的长．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．‎ ‎（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．‎ ‎（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，连接OQ．‎ ‎∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，‎ ‎∴OQ⊥OP．‎ 又∵BP=OB=OQ=2，‎ ‎∴PQ===2，即PQ=2；‎ ‎（2）OQ⊥AC．理由如下：‎ 如图②，连接BC．‎ ‎∵BP=OB，‎ ‎∴点B是OP的中点，‎ 又∵PC=CQ，‎ ‎∴点C是PQ的中点，‎ ‎∴BC是△PQO的中位线，‎ ‎∴BC∥OQ．‎ 又∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，‎ ‎∴OQ⊥AC．‎ ‎（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即PQ2=2×6，‎ 解得PQ=2．‎ ‎　‎ ‎25．在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．‎ ‎（1）求证：△AMN∽△ABC；‎ ‎（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？‎ ‎（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎【考点】二次函数综合题；切线的判定；相似三角形的判定．‎ ‎【分析】（1）欲证△AMN∽△ABC，可以通过应用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，（AM：AN=AB：AC=4：3，∠A=∠A）得出；‎ ‎（2）MN为直径的⊙O与直线BC相切，则圆心O到直线BC的距离等于半径，列出函数关系式，求出x的值；‎ ‎（3）因为∠A=90°，△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积分为两种情况：等于S△PMN，或等于S△MNP﹣S△PEF，列出y关于x的函数表达式，求出当时，y值最大，最大值是8．‎ ‎【解答】（1）证明：∵，∠A=∠A，‎ ‎∴△AMN∽△ABC．‎ ‎（2）解：在Rt△ABC中，BC==10．‎ 由（1）知△AMN∽△ABC．‎ ‎∴‎ ‎∴MN=5x，‎ ‎∴⊙O的半径r=‎ 可求得圆心O到直线BC的距离d=‎ ‎∵⊙O与直线BC相切 ‎∴=．解得x=‎ 当x=时，⊙O与直线BC相切．‎ ‎（3）解：当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点．‎ 故以下分两种情况讨论：‎ ‎①当0＜x≤1时，y=S△PMN=6x2，‎ ‎∴当x=1时，y最大=6×12=6．‎ ‎②当1＜x＜2时，设MP交BC于E，NP交BC于F MB=8﹣4x，MP=MA=4x ‎∴PE=4x﹣（8﹣4x）=8x﹣8‎ y=S△MNP﹣S△PEF==‎ ‎∴当时，y最大=8．‎ 综上所述，当时，y值最大，最大值是8．‎