数学理（重点班）卷·2017届陕西省黄陵中学高三上学期期末考试（2017

数学理（重点班）卷·2017届陕西省黄陵中学高三上学期期末考试（2017

‎ 高三期末考试理科重点班 数学试题 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）‎ A．4 B． 5 C． 6 D． 7‎ ‎4.已知是钝角三角形，若，且的面积为，则（ ）‎ A． B． C. D．3‎ ‎5.设是公比为的等比数列，则“”是“为单调递增数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6. 已知数列 满足 ，则“ 数列为等差数列” 是“ 数列 为 等差数列” 的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 设实数满足约束条件，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴， 过点 的直线与线段交于点，与轴交于点，直线 与轴交于点，若，则 的离心率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数 ，则使得 成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 向量在向量上的投影为 .‎ ‎14.函数的最小值为 .‎ ‎15.设为椭圆 的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若 是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为 ．‎ ‎16. 已知是函数在内的两个零点，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）当时，的最小值为2，求的值.‎ ‎19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角 的余弦值．‎ ‎20. （本小题满分12分）已知抛物线，圆.‎ ‎（1）若抛物线的焦点在圆上，且为 和圆 的一个交点，求；‎ ‎（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值．‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）当时，函数有最小值． 记的最小值为，求函 数的值域．‎ ‎22. （本小题满分10分）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．‎ 已知在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线:.‎ ‎（Ⅰ）将的方程化为普通方程，并求出的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线和两交点之间的距离.‎ 理科数学参考答案 一、 选择题：‎ ‎1-5DACBD 6-10ACDBA 11-12AD 二、填空题：‎ ‎13. 14. （15）＋＝1 （16） 三、解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得：‎ ‎2sinBcosB＝sinAcosAcosB－sinBsin2A－sinCcosA ‎＝sinAcos(A＋B)－sinCcosA ‎＝－sinAcosC－sinCcosA ‎＝－sin(A＋C)‎ ‎＝－sinB，‎ ‎∵sinB≠0，‎ ‎∴cosB＝－，B＝． …6分 ‎（Ⅱ）由b2＝a2＋c2－2accosB，b＝a，cosB＝－得 c2＋ac－6a2＝0，解得c＝2a， …10分 由S△ABC＝acsinB＝a2＝2，得a＝2． …12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（I）函数 ‎， ……………………4分 ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）证明：连接AC，则△ABC和△ACD 都是正三角形．‎ 取BC中点E，连接AE，PE，‎ 因为E为BC的中点，‎ 所以在△ABC中，BC⊥AE，‎ 因为PB＝PC，所以BC⊥PE，‎ 又因为PE∩AE＝E，‎ 所以BC⊥平面PAE，又PAÌ平面PAE，‎ 所以BC⊥PA．‎ 同理CD⊥PA，‎ 又因为BC∩CD＝C，‎ 所以PA⊥平面ABCD．‎ ‎ …6‎ ‎（Ⅱ）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，‎ 则B(，－1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，‎ ＝(0，2，－2)，＝(－，3，0)，‎ 设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则cosám，nñ＝＝，‎ 所以二面角A-PD-B的余弦值是． ‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y．‎ 解方程组，得yA＝－2，所以|AF|＝－1． ‎ ‎（Ⅱ）设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，‎ 整理得x0x－py－py0＝0． ‎ 由|ON|＝1得|py0|＝＝，‎ 所以p＝且y－1＞0， ‎ 所以|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1‎ ‎＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，当且仅当y0＝时等号成立，‎ 所以|MN|的最小值为2，此时p＝． ‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），‎ 当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，‎ 所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝． ‎ ‎（Ⅱ）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（Ⅰ）及x∈(0，e]得：‎ ①当a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，‎ 当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－． ‎ ②当a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，‎ 所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，‎ 当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，‎ 当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，‎ 所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a)． ‎ 令h(a)＝G(t)＝－t，‎ 因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1]．‎ 综上，h(a)∈[－，－1]． ‎ ‎（22）解：‎ ‎22.解：（1）消参后得为.‎ 由得 的直角坐标方程为.…………5分 ‎（2）圆心到直线的距离 ‎…………10分 ‎23.解：(1)由得，‎ 即 ………5分 ‎（2）由(Ⅰ)知令 则 ‎∴的最小值为4，故实数的取值范围是．………10分