2018-2019学年安徽省淮北师范大学附属实验中学高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省淮北师范大学附属实验中学高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省淮北师范大学附属实验中学高一下学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．下列说法正确的是（ ）‎ A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角 ‎【答案】A ‎【解析】由钝角的范围判A，C；举例说明B错误；由-180°＜-165°＜-90°，说明-165°是第三象限角．‎ ‎【详解】‎ 解：钝角的范围为，钝角是第二象限角，故A正确；‎ ‎﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；‎ 由钝角的范围可知C错误；‎ ‎-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的概念，是基础题．‎ ‎2．三角函数值，，的大小顺序是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到上的正弦值，借助正弦函数在的单调性比较大小．‎ ‎【详解】‎ 解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．‎ ‎∴sin1≈sin57°，‎ sin2≈sin114°＝sin66°．‎ sin3≈171°＝sin9°‎ ‎∵y＝sinx在上是增函数，‎ ‎∴sin9°＜sin57°＜sin66°，‎ 即sin2＞sin1＞sin3．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的单调性及弧度角的大小估值，是基础题．‎ ‎3．设扇形的弧长为，面积为，则扇形中心角的弧度数是（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．‎ 则αr=2，=2，‎ 解得α=1．‎ ‎4．已知角的终边上一点的坐标为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由任意角的三角函数定义先求得该点到原点的距离，再由的定义求得．‎ ‎【详解】‎ 解：角α的终边上一点的坐标为， 它到原点的距离为r=1，‎ 由任意角的三角函数定义知：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎5．已知，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式及二倍角公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴两边平方可得：，‎ ‎∴ 即 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式及二倍角在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．‎ ‎6．有下列四个命题：‎ ‎①互为相反向量的两个向量模相等；‎ ‎②若向量与是共线的向量，则点必在同一条直线上；‎ ‎③若，则或 ‎④若，则或；‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据相反向量的定义可判断①；由共线向量性质，可判断②；由向量的模相等判断③；由向量数量积判断④.‎ ‎【详解】‎ 方向相反，模相等的两个向量是相反向量，故①正确；因为向量是自由移动的量，所以两向量共线，点不一定共线，故②错；向量有方向，因此模相等时，向量方向不确定，故③错；两向量垂直时，数量积也为0，所以④错.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量，熟记向量的相关知识点即可，属于基础题型.‎ ‎7．若向量，满足同，，，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由向量垂直的充分必要条件有：，‎ 即，据此可得：，‎ 设与的夹角，则：,‎ 故,即与的夹角为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．知，，，均为锐角，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可得，利用三角函数的基本关系式，分别求得的值，利用，化简运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得α，β均为锐角，∴－ <α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，∴cos α＝，‎ ‎∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.∴β＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得，即边BC与BC边上的中线垂直，从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ‎ ‎∴,‎ 由此可得△ABC中，边BC与BC边上的中线垂直.‎ ‎∴△ABC为等腰三角形.选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，解题的关键是得到与边上的中线垂直，属于中档题.‎ ‎10．函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）‎ A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】由函数的最小正周期得，由函数图像平移后为奇函数可得，得到函数的解析式,结合正弦函数的性质求函数的对称中心和对称轴.‎ ‎【详解】‎ 函数的最小正周期为，则.‎ 其图象向左平移个单位可得,‎ 平移后函数是奇函数，则有,‎ 又，则.函数的解析式为,‎ 令,解得,‎ 则函数的对称中心为.选项错误.‎ 令，解得函数的对称轴为.‎ 当时，.选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象和性质，根据函数解析式求函数的对称轴和对称中心时利用了整体代换的思想，解题中注意把握.求解过程中不要忽略了三角函数的周期性.‎ ‎11．函数在区间上至少取得个最大值，则正整数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化函数f（x）为正弦型函数，求出函数的最小正周期T，根据题意a-（-1）T，得出a的取值范围，从而求出a的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数 ‎（1﹣cosx）‎ ‎＝sin（），‎ ‎∴函数的最小正周期为T6；‎ 又f（x）在区间[﹣1，a]上至少取得2个最大值，‎ ‎∴a﹣（﹣1） T7.5，‎ 解得a6.5，‎ ‎∴正整数a的最小值是7．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．‎ ‎12．已知两个向量，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量的线性运算得2的表达式，再由向量模的求法，逆用两角差的正弦公式进行化简，即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵向量，‎ ‎∴2（2cosθ，2sinθ+1），‎ ‎∴‎ ‎＝4﹣4cosθ+4sinθ+4‎ ‎＝8sin（θ）+88+8＝16，当sin（θ）＝1时，取“＝”，‎ ‎ ‎ ‎∴的最大值为4．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及逆用两角差的正弦公式，是基础题目．‎ 二、填空题 ‎13．已知点在终边上，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据P坐标，利用任意角的三角函数定义求出的值，原式分子分母除以 ，利用同角三角函数间基本关系化简，把的值代入计算即可求出值．‎ ‎【详解】‎ 解：∵点P（1，2）在角α的终边上，∴，‎ 将原式分子分母除以，则原式 ‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．‎ ‎14．_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎15．在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得 .‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型. 将已知条件两边平方得 ‎.‎ ‎16．函数在时取到最大值，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先逆用两角差的正弦公式对进行化简为并求出再由题意表示根据诱导公式即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 解： ‎ 其中，‎ 当在时取到最大值，即,‎ ‎ ,‎ 即 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的正弦公式逆用，考查诱导公式，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程：，再根据α范围，确定tanα取值：，最后将所求式子化为切，代入正切值计算结果：‎ ‎（2）利用同角三角函数关系解方程组，注意α范围，在开方时取负值：，因此代入可求的值 试题解析：‎ 解：∵，∴，∴或，又α是第三象限角，‎ ‎（1）．‎ ‎（2）∵且α是第三象限角，∴，∴‎ ‎【考点】切化弦，同角三角函数关系 ‎【名师点睛】‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1．（2）商数关系：tan α＝（α≠＋kπ，k∈Z）．‎ ‎2．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．‎ ‎18．已知，，求的值.‎ ‎【答案】－.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意结合同角三角函数关系可得sin(α－β)＝.cos(α＋β)＝－，然后利用两角和差正余弦公式有：sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]=.‎ 试题解析：‎ 因为＜β＜α＜，所以π＜α＋β＜，0＜α－β＜.‎ 所以sin(α－β)＝＝＝.‎ cos(α＋β)＝－‎ ‎＝－＝－，‎ 则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]‎ ‎＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．‎ ‎19．求值：‎ ‎（1）‎ ‎(2)‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】(1)先切化弦，再逆用两角和的正弦公式，利用诱导公式即可求解.‎ ‎（2）将和分别表示成和，再利用两角差的正余弦公式展开结合诱导公式化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎(1)‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正余弦公式及其逆用，考查诱导公式，考查切化弦，属于基础题.‎ ‎20．已知向量，且与夹角为，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）2 （2）‎ ‎【解析】（1）由结合向量的数量积的定义和性质，计算可得；‎ ‎（2）由向量垂直的条件：数量积为0，计算可得．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，所以，‎ 又因为，与的夹角为 ，‎ ‎∴，‎ 所以;‎ ‎（2）由，‎ 得，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间.‎ ‎（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）增区间是：减区间是：；（Ⅱ）-2，1.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得 的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 由 得，‎ 增区间是：，‎ 由 得 减区间是：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 把向右平移个单位得到函数，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故所在区间上的最大值为1，‎ 最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.‎ ‎22．海南沿海某次超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．一天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为米，圆心角，施工要求按图中所画的那样，在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求使裁下的钢板面积最大．请你帮助王师傅解决此问题．连接，设，过作，垂足为.‎ ‎（1）求线段的长度（用来表示）；‎ ‎（2）求平行四边形面积的表达式（用来表示）；‎ ‎（3）为使平行四边形面积最大，等于何值？最大面积是多少？‎ ‎【答案】（1）（2）（3）当时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米．‎ ‎【解析】（1）先根据题意在中表示，再在中表示即可.‎ ‎（2）由（1）知和， 由可知，表示平行四边形面积，结合二倍角公式，逆用两角和的正弦公式表示即可.‎ ‎（3）由（2）结合，求出函数最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）在中，，，‎ 四边形为平行四边形∥即 ‎ 在中 所以； ‎ ‎（2），‎ 设平行四边形的面积为，‎ 则 ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝；‎ ‎（3）由于，‎ 所以，‎ 当，即时，‎ ‎，‎ 所以当时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角公式，两角和的正弦公式逆用，以及利用三角函数性质求最值，属于基础题.‎