【数学】2018届一轮复习人教A版利用导数探求参数的范围问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版利用导数探求参数的范围问题学案

难点2.1 利用导数探求参数的范围问题 利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生 说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用），其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.‎ ‎1. 与函数零点有关的参数范围问题 函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围．‎ 例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数 为常数， .‎ ‎（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.‎ 思路分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.‎ ‎ 2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题 函数在点处的导数就是相应曲线在点处切线的斜率，即，此类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其他知识综合，往往先求导数，然后转化为关于自变量的函数，通过求值域，从而得到切线斜率的取值范围，或者切斜角范围问题．‎ 例2.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点，若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围.‎ 思路分析：（Ⅰ）先明确函数定义域，再求函数导数，根据导函数零点进行分类讨论：当时，，因此减区间为，当时，递增区间为，递减区间为（Ⅱ）根据导数几何意义得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程，得点的纵坐标，即不等式恒成立，而不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：：‎ 的最大值，利用导数研究函数单调性，为单调递减，再利用洛必达法则得，因此，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解 则、、的关系如下表：‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 所以，所以不满足题意，结合①②③，可得，当时，时，此时点的纵坐标恒小于1. ‎ 点评：该题考查导数的几何意义、斜率的定义等基础知识，考察学生基本运算能力、灵活运用导数知识处理问题的能力，需要注意的是解决问题的途径是将存在问题转化为方程有解问题.利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 ‎3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题 ‎ 含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②‎ 构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.‎ ‎3.1 参变分离法 ‎ 将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．‎ 例3．【安徽省淮南市2018届第四次联考】已知函数（为自然对数的底数）‎ ‎（Ⅰ）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）对总有≥0成立，求实数的取值范围．‎ 思路分析：（I）求出函数的导数，由函数的图像在处的切线与直线垂直可得，从而求出的值；（II）对总有≥0成立，等价于对上恒成立，设，只需即可，利用导数研究函数的单调性可得时， 为增函数， 时， 为减函数，从而，进而可求出的范围.‎ 综合性较高，需要具备良好的数学素质，第二问中参变分离时，要考虑符号．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用 导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. ‎ ‎3.2 构造函数法 ‎ 参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．‎ 例4．已知函数，.‎ ‎（1）若函数有且只有一个极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）对于函数，，，若对于区间上的任意一个，都有，则称函数是函数，在区间上的一个“分界函数”.已知，，问是否存在实数，使得函数是函数，在区间上的一个“分界函数”？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 思路分析：（Ⅰ）先求函数导数：，再根据函数有且只有一个极值点，得在区间上有且只有一个零点，最后结合二次函数实根分布得，解得实数的取值范围是；（Ⅱ）由题意得当时，恒成立，‎ 且恒成立，即问题为恒成立问题，解决方法为转化为对应函数最值问题：记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最大值：当时， 单调递减，最大值为，由，解得；当时，最大值为正无穷大，即在区间上不恒成立，同理记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最小值：由于，所以在区间上单调递增，其最小值为，得.‎ 解得；若，即：的图象是开口向上的抛物线，‎ 存在，使得，从而，在区间上不会恒成立，记，则，∴在区间上单调递增，由恒成立，得，得.‎ 综上，当时，函数是函数，在区间上的一个“分界函数”. ‎ 点评：本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等. ‎ ‎4.与函数单调区间有关的参数范围问题 若函数在某一个区间可导，函数在区间单调递增；函数在区间单调递减.若函数在某一个区间可导，且函数在区间单调递增恒成立；函数在区间单调递减恒成立.‎ ‎4.1 参数在函数解析式中 转化为恒成立和恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理 例5. 【2018辽宁庄河两校联考】已知函数（且）．‎ ‎（Ⅰ）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）令，设函数，且，求证：．‎ 思路分析：(Ⅰ)利用导函数研究函数的单调性，将原问题转化为恒成立的问题，讨论可得实数的取值范围是；(Ⅱ)由题意结合函数的单调性讨论函数g(x)的性质，结合函数的零点性质即可证得题中的结论.‎ ‎（Ⅱ） ，因为，‎ 所以 ，所以 ‎， ，‎ ‎ ，所以 ，‎ 令，，，在上增，在上减，‎ ‎，所以，整理得，‎ 解得或（舍），所以得证．‎ 点评：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. ‎ ‎4.2 参数在定义域中 函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中.‎ 例6.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.注：为自然对数的底数.‎ ‎（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ 思路分析：(1)求函数的导数，由曲线在点处的切线与直线垂直可得，可求出的值，这时，讨论导数的符号知函数仅当时，取得极值，由即可求实数的取值范围；（2）当时，令，令，由证之即可.‎ ‎（2）当时，，即为.令，则.再令，则.‎ 又因为，所以.所以在上是增函数.又因为，所以当时，.‎ 所以在区间上是增函数.所以当时，，又，故.令，则.因为，所以.所以当时，，故函数在区间上是减函数.又， ‎ 所以当时，，所以，即. ‎ 点评：本题考查了利用导数判断函数单调性等基础知识，理解单调性的概念是解题关键.‎ ‎5.与逻辑有关的参数范围问题 新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义.‎ 例7.已知函数在处的切线斜率为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若时，有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎（3）设，若对于，总有，使得，求实数的取值范围.‎ 思路分析：（1）根据导数几何意义得，所以求导数列出等量关系，求解得（2）利用导数研究函数单调变化趋势：在单调递减，在单调递增，再考虑端点值：，所以要有两个零点，需（3）不等式恒成立问题，一般方法为转化为对应函数最值：，由前面讨论可知，所以在有解，即的最大值，先求，最大值，而=利用导数易得时取最大值，即 点评：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图像；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路.‎