2018-2019学年湖北省长阳县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年湖北省长阳县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

长阳一中2018—2019学年度第一学期期中考试 高二数学（理科）试卷 考试时间：120分钟    试卷总分：150 分 命题人：覃迎春  审题人：宋旭 一、 选择题 ‎1．为了适应新高考改革，尽快推行不分文理教学，对比学生考试情况，采用分层抽样的方法从文科生900人，理科生1800人，教师人中抽取150人进行问卷分析，已知文科生抽取的人数为45人，那么教师被抽取的人数为（ ）‎ A．12人 B．15人 C．21人 D．24人 ‎2．已知命题：，则 （ ） ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 是直线与直线垂直的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 ‎4．设是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的为 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7.已知，均为正实数，且直线与直线互相平行，则的最大值为（ ）‎ ‎ A． 1 B． C． D． ‎ ‎8.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是 DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．直线与相交于A，B两点，，则的值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．如图在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ( )‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ C A B D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ P E F ‎12. 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，‎ 则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格 ‎（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7.0‎ ‎6.5‎ ‎3.8‎ ‎2.2‎ 已知和具有线性相关关系，且回归方程为，那么表中的值为 ．‎ ‎14．右图是一个几何体的三视图，侧(左）视图是一个等边 三角形，根据图中尺寸(单位：cm),可知这个几何体的体积 是 ；‎ ‎15．锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，‎ ‎ 则A与C之间的距离为　 ；‎ ‎16.过圆内一点作两条相互垂直的弦AB和CD, 则四边形ACBD的 面积的最大值为________．‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．(本题满分10分) 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》,其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：‎ ‎（1）试确定的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；‎ ‎（2）完成相应的频率分布直方图.‎ ‎（3）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.‎ ‎18. (本题满分12分)已知命题对，不等式恒成立；命题,使不等式成立;若是真命题，是假命题，求的取值范围.‎ ‎19．(本题满分12分) 设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0，‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.‎ ‎（2）若a是从区间［0， 3］中任取的一个数，b是从区间［0， 2］中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.‎ F P E A D C B 第20题图 ‎20．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，分别为的中点，．‎ ‎（1）求证：平面平面．‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎21．(本题满分12分)）已知：以点为圆心的圆与轴交于点,，与y轴交于点,，其中为原点．‎ ‎（1）求证：△的面积为定值；‎ ‎（2）设直线与圆交于点,，若，求圆的方程．‎ ‎22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆的方程为：‎ ‎，以为圆心的圆的方程为：． ‎ ‎（1）若过点的直线沿轴向左平移3个单位，沿轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线被圆截得的弦长；‎ ‎（2）圆是以1为半径，圆心在圆：上移动的动圆 ，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的取值范围 。‎ 长阳一中2018—2019学年度第一学期期中考试高二理科数学（答案）‎ 一、选择题 ‎1—5 BBACB 6—10 BCDCD 11—12 BA 二、填空题 ‎13. 5.5 14. 15. 16. 19 ‎ 三、解答题 ‎17. (1)，众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米. ……4分 ‎(2）其频率分布直方图如图所示：‎ ‎ …………7分 ‎(3)样本平均数为 因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进. …………10分 ‎18. 解：若是真命题，则； …………3分 若Q是真命题则 …………6分 由题意知、一真一假。若真假，则，，‎ 若假真，则， …………11分 故的取值范围是 …………12分 ‎ ‎19.解. （1）设事件A表示x+2ax+b=0，有实数根，当a≥0，b≥0时，方程x+2ax+b=0有实数根的充要条件是（2a）-4b≥0得a≥b …………3分 基本事件有12个（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A包含有9个基本事件（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），‎ ‎（3，1），（3，2）事件A发生的概率为P（A）== …………6分 ‎ （2）实验的全部结果所构成的区域为 构成事件A的区域为 所求的概率为P= ………12分 ‎20．证明：（1）∵四边形是菱形，‎ ‎∴．‎ 在中，，，∴．‎ ‎∴，即．又， ‎ ‎∴． …………………2分 ‎∵平面，平面，‎ ‎∴．又∵，‎ ‎∴平面， …………………………4分 又∵平面，‎ ‎∴平面平面． ………………………………5分 ‎（2）由（1）知平面，而平面，‎ ‎∴平面平面 ………………………6分 ‎∵平面，∴．‎ 由（1）知，又 ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面．……………8分 ‎∴平面是平面与平面的公垂面．‎ 所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……10分 在中，，即．又，‎ ‎∴．所以平面与平面所成的锐二面角的 余弦值为． ……12分 ‎21.解：（1），．‎ ‎ 设圆的方程是 ，‎ ‎ ，得；令，得 ‎ ，即：的面积为定值．……6分 ‎ （2）垂直平分线段．‎ ‎ ，直线的方程是． ，‎ 解得， ‎ 当时，圆心的坐标为，，‎ 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点 当时，圆心的坐标为，，‎ 此时到直线的距离, 圆与直线不相交，不符合题意舍去．‎ 圆的方程为． ……12分 ‎22.解：（1）设直线的方程为，‎ 向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：‎ 依题意得即；所以 ……3分 所以圆心到的距离为．‎ 所以被截得弦长为 …………………. 6分 D ‎ P ‎ P ‎ F ‎ C1 ‎ E ‎ O ‎ x ‎ y ‎ ‎（2）动圆D是圆心在定圆上移动，半径为1的圆 设，则在中，，‎ 有,则 ‎ 由圆的几何性质得，，即，‎ ‎ 则的最大值为，最小值为. 故. ……..12分 ‎