天津市南开中学2020届高三上学期数学统练（5）试题

天津市南开中学2020届高三上学期数学统练（5）试题

南开中学2020届高三数学统练（5）‎ 一、选择题 ‎1.设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ ‎2.设x、y、z为正数，且，则 A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，则，，‎ ‎∴，则，‎ ‎，则，故选D.‎ 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.‎ ‎3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，，所以 ‎，故；同理，‎ ‎，故.因为，故.故最低费用为.故选B.‎ ‎4.已知函数，函数为奇函数，则函数的零点个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：为奇函数，，，，，则的两根为，，所以，的极小值为．又，，存在，使．综上，函数的零点个数为,故应选B．‎ 考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的是奇函数，求出函数解析式中的参数 的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得和，，从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用．‎ ‎5.设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】设，，‎ 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ‎ ‎，当时，；当时，.‎ 所以，函数的最小值为.‎ 又，‎ 直线恒过定点且斜率为，‎ 故且，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.‎ ‎6.设函数满足则时，( )‎ A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】函数满足，‎ ‎，令，‎ 则，‎ 由，得，令，‎ 则 在上单调递减，在上单调递增，‎ 的最小值为.‎ 又在单调递增，‎ 既无极大值也无极小值，故选D.‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.‎ ‎【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.‎ 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.‎ ‎7.若函数为奇函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用为奇函数，求出，由此求出该函数的定义域，不等式，即，由在区间s递减，可得的取值范围.‎ ‎【详解】由函数为奇函数，可得.‎ 即：，，则，‎ 所以，，得，解得.‎ ‎①当时，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，不合乎题意；‎ ‎②当时，，由，解得，该函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，函数为奇函数.‎ 对于函数，内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，‎ 所以，函数在上单调递增.‎ 所以，函数在上单调递减，且，‎ 由得，，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.‎ ‎8.定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有‎2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎,01010011;010101011,共14个 ‎【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．‎ ‎9.已知f(x)为偶函数，且在上为增函数，，满足不等式的x取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为，即可得到结论.‎ ‎【详解】解：由题意：f(x)为偶函数，且在上为增函数，，可得f(x) 在上为减函数，且，等价于，即，‎ 则，解得：或，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.‎ 二、填空题（共6小题：共30分）‎ ‎10.对于复数，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，，故答案为.‎ ‎11.在二项式的展开式中，的系数为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.‎ ‎【详解】结合二项式定理通项公式有：，‎ 令可得：，则的系数为：.‎ ‎【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎12.已知，，，则的值为______.‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得为奇函数, ,且，可得的值.‎ ‎【详解】解：令，可得为奇函数，且，‎ 由，可得，‎ ‎，可得，可得，‎ 由为奇函数，可得，故，‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.‎ ‎13.已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围.‎ ‎【详解】解：由，可得，‎ 设，，‎ 当，，，函数单调递增，‎ 当，，，函数单调递增；‎ ‎，，函数单调递减；‎ 由f(x)在处取得极大值，可得，‎ 当时，单调递增，当，，单调递减；‎ 当，，单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；‎ 当时，即，可得：在单调递增，所以当，‎ ‎，当，，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；‎ 当时，即，在单调递增，在单调递减，‎ 所以当，，单调递减，与题意不符；‎ 当，即可，当，，函数单调递增；‎ 当，，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.‎ ‎14.给出下列结论：‎ ‎①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；‎ ‎②函数的单调递减区间是；‎ ‎③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；‎ ‎④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.‎ 则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎①正确，根据函数是奇函数，可得 ，而，所以 ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得 的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.‎ ‎【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.‎ ‎15.已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.‎ ‎【详解】使得，‎ 使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图 只需，即，即的最大值是 ‎【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.‎ 三、解答题（共5小题：共65分）‎ ‎16.设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数值域即可.‎ 试题解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，‎ 即，‎ 又为钝角，因此，‎ 故，即；‎ ‎(Ⅱ)由（1）知，‎ ‎，∴，‎ 于是 ‎，‎ ‎∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．‎ 考点：正弦定理、三角变换，二次函数有关知识和公式的应用.‎ ‎17.如图,是边长为的正方形，平面平面，，,,.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由平面平面，可推出，再根据是正方形，可推出平面，从而可证平面；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，设，，求出平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求出.‎ 试题解析：(1)证明：∵，，，‎ ‎∴. ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵是正方形 ‎∴‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面. ‎ 又∵‎ ‎∴ . ‎ ‎(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，， ‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，,即，,则 ‎ ‎∴. ‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎(3)解：点在线段上，设，，则，‎ 设平面的法向量为，则 ‎,即，‎ 令则， ，整理得：‎ 解得：， 此时.‎ ‎18.设数列的前n项和为.已知.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用数列前项和与通项的关系求解；‎ ‎（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以，，故 当时，此时，即 所以，‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 当时，‎ 所以，‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以，两式相减，得 所以，‎ 经检验，时也适合，‎ 综上可得：.‎ ‎【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑的情况，属于中档题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；‎ ‎(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.‎ 详解：（1）的定义域为，.‎ ‎（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.‎ ‎（ii）若，令得，或.‎ 当时，；‎ 当时，.所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.‎ 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ‎，‎ 所以等价于.‎ 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.‎ 所以，即.‎ 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.‎ ‎20.设函数x∈R，其中a,b∈R.‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）存极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；‎ ‎（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，可分三种情况研究：①；②；③.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.‎ ‎（2）当时，令，解得，或.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎＋ ‎ ‎0 ‎ ‎－ ‎ ‎0 ‎ ‎＋ ‎ ‎ ‎ 单调递增 ‎ 极大值 ‎ 单调递减 ‎ 极小值 ‎ 单调递增 ‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，‎ 由题意，得，即，‎ 进而.‎ 又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.‎ ‎（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：‎ ‎（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此 ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）当时，‎ ‎，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此 ‎.‎ ‎（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，‎ ‎，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此 ‎.‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.‎ ‎【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 ‎【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤：‎ ‎（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；‎ ‎（2）求导函数f ′（x）；‎ ‎（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集；‎ ‎（4）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．‎ ‎2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ‎ ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．‎