人教版八年级上册分式小结与复习

人教版八年级上册分式小结与复习

《 小结与复习 》 第十五章 分 式 人教版 · 八年级上册 一、分式 1. 分式的概念： 一般地，如果 A 、 B 都表示整式，且 B 中含有字母，那么称 为分式 . 其中 A 叫做分式的分子， B 为分式的分母 . 2. 分式有意义的条件： 对于分式 ： 当 _______ 时分式有意义； 当 _______ 时无意义 . B≠0 B=0 3. 分式值为零的条件： 当 ___________ 时，分式 的值为零 . A =0 且 B ≠ 0 4. 分式的基本性质： 5. 分式的约分： 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 公因式 约去，叫做分式的 约分 ． 最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子，叫做 最简分式 注意： 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为 最简分式或整式 . 约分的基本步骤 (1) 若分子 ﹑ 分母都是 单项式 ，则 约去 系数的最大公约数 ，并约去相同字母的 最低次幂 ； (2) 若分子 ﹑ 分母含有 多项式 ，则先将多项式 分解因式 ，然后约去分子 ﹑ 分母所有的 公因式 ． 6. 分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘 适当的整式（即最简公分母）， 把 分母不相同 的分式变成 分母相同 的分式，这种变形叫分式的通分. 最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的 所有因式 的 最高次幂 的积作公分母，叫做最简公分母 . 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则： 2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则： (2) 异分母分式的加减法则： 4. 分式的混合运算： 先算 乘方， 再算 乘除， 最后算 加减， 有括号的 先算括号里面的 . 计算结果要化为 最简 分式或整式． 三、分式方程 1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程 叫做 分式方程 . 2. 分式方程的解法 (1) 在方程的两边都乘以 最简公分母 ，约去分母，化成整式方程 . (2) 解这个整式方程 . (3) 把整式方程的解代入 最简公分母 ，如果最简公分母的值 不为 0 ，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去 . 3. 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1) 审 : 清题意，并设未知数； (2) 找 : 相等关系； (3) 列 : 出方程； (4) 解 : 这个分式方程； (5) 验 : 根（包括两方面 : 是否是分式方程的根；  是否符合题意）； (6) 写 : 答案 . 考点一 分式的有关概念 例 1 如果分式 的值为 0 ，那么 x 的值为 . 【 解析 】 根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0 ，列出关于 x 的方程，求出 x 的值，并检验当 x 的取值时分式的分母的对应值是否为零 . 由题意可得： x 2 -1=0 , 解得 x =±1 . 当 x =-1 时， x +1=0 ; 当 x =1 时， x +1 ≠0. 【 答案 】 1 1 分式有意义的条件是分母不为 0 ， 分式无意义的条件是分母的值为 0 ；分式的值为 0 的条件是：分子为 0 而分母不为 0 . 归纳总结 针对训练 2. 如果分式 的值为零，则 a 的值为 . 2 1. 若分式 无意义，则 a 的值 . -3 考点二 分式的性质及有关计算 B 例 2 如果把分式　　 中的 x 和 y 的值都扩大为原来 的 3 倍，则分式的值（　　） A. 扩大为原来的 3 倍　 B. 不变　 C. 缩小为原来的　 D. 缩小为原来的 针对训练 C 3. 下列变形正确的是 ( ) 例 3 已知 x = , y = ， 求 的值 . 【 解析 】 本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值 . 把 x = , y = 代入得 解：原式 = 原式 = 对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值 . 但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法 . 归纳总结 例 4 解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显然现在解不出 a 的值，如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了． 利用 x 和 1/ x 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁． 归纳总结 5. 已知 x 2 -5 x +1=0 , 求出 的值 . 解： 因为 x 2 -5 x +1=0, 得 即 所以 针对训练 考点三 分式方程的解法 例 5 解下列分式方程：        【 解析 】 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可确定出分式方程的解． 解：（ 1 ）去分母得 x +1+ x ﹣1=0 ，解得 x =0 ， 经检验 x =0 是分式方程的解； （ 2 ）去分母得 x ﹣4=2 x +2﹣3 ，解得 x =﹣3 ， 经检验 x =﹣3 是分式方程的解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 归纳总结 解：最简公分母为（ x +2 ）（ x ﹣2 ）， 去分母得（ x ﹣2 ） 2 ﹣ （ x +2 ）（ x ﹣2 ） =16 ， 整理得 ﹣4 x +8=16 ，解得 x =﹣2 ， 经检验 x =﹣2 是增根，故原分式方程无解． 针对训练 考点四 分式方程的应用 例 6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍． (1) 求普通列车的行驶路程； 解析： (1) 根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍，两数相乘即可； 解： (1) 根据题意得 400×1.3 ＝ 520( 千米 ) ． 答：普通列车的行驶路程是 520 千米； (2) 若高铁的平均速度 ( 千米 / 时 ) 是普通列车平均速度 ( 千米 / 时 ) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度． 解析：设普通列车的平均速度是 x 千米 / 时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，列出分式方程，然后求解即可． 解：设普通列车的平均速度是 x 千米 / 时，则高铁的平均速度是 2.5 x 千米 / 时，根据题意得 解得 x ＝ 120 ，经检验 x ＝ 120 是原方程的解，则高铁的平均速度是 120×2.5 ＝ 300( 千米 / 时 ) ． 答：高铁的平均速度是 300 千米 / 时． 针对训练 7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果提前 3 天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. D 8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支 . 求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得 解得 x =4. 经检验，故 x =4 原分式方程的解 . 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元 . 考点五 本章数学思想和解题方法 主元法 例 7. 已知： ，求 的值 . 【 解析 】 由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式，可得 ，代入约分即可求值 . 解：∵ ， ∴ . ∴ 已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值 . 这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元 . 那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用 . 归纳总结 解：由 ，得 ， 把 代入可得原式 = 9. 已知 ，求 的值 . 本题还可以由已知条件设 x =2 m , y =3 m . 针对训练 分式 分式 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二设三列四解五检六写，尤其不要忘了验根 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法 课堂小结