2021高考数学大一轮复习考点规范练26平面向量基本定理及向量的坐标表示理新人教A版

2021高考数学大一轮复习考点规范练26平面向量基本定理及向量的坐标表示理新人教A版

1 考点规范练 26　平面向量基本定理及向量的坐标表示 　考点规范练 B 册第 16 页　 基础巩固 1.向量 a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案:B 解析:由题意知,A 选项中 e1=0,C,D 选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选 B. 2.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ μ=(　　) A.2 B.4 C.1 2 D.1 4 答案:B 解析:以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为 1), 则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1). 所以 a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3). ∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2), ∴ { -λ + 6μ = -1, λ + 2μ = -3, 解得{λ = -2, μ = - 1 2, ∴ λ μ=4. 3.在▱ABCD 中,AD=(2,8),AB=(-3,4),对角线 AC 与 BD 相交于点 M,则AM=(　　) A.( - 1 2, - 6) B.( - 1 2,6) C.(1 2, - 6) D.(1 2,6) 2 答案:B 解析:因为在▱ABCD 中,有AC = AB + AD,AM = 1 2AC, 所以AM = 1 2(AB + AD)=1 2(-1,12)=( - 1 2,6),故选 B. 4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点.若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于(　　) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21) 答案:B 解析:如图,BC=3PC=3(2PQ - PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21). 5.已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c 都可以唯一地表 示成 c=λa+μb(λ,μ 为实数),则 m 的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 答案:D 解析:因为平面内的任一向量 c 都可以唯一地表示成 c=λa+μb(λ,μ 为实数),所以 a,b 一定不共 线,所以 3m-2-2m≠0,解得 m≠2,所以 m 的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选 D. 6.若平面内两个向量 a=(2cos θ,1)与 b=(1,cos θ)共线,则 cos 2θ 等于(　　) A.1 2 B.1 C.-1 D.0 答案:D 解析:由向量 a=(2cosθ,1)与 b=(1,cosθ)共线,知 2cosθ·cosθ-1×1=0,所以 2cos2θ-1=0,所以 cos2θ=0,故选 D. 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),C 为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=π 4 ,且 |OC|=2.若OC=λOA+μOB,则 λ+μ=(　　) A.2 2 B. 2 C.2 D.4 2 3 答案:A 解析:因为|OC|=2,∠AOC=π 4 ,C 为坐标平面第一象限内一点,所以 C( 2, 2). 又OC=λOA+μOB,所以( 2, 2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ). 所以 λ=μ= 2,所以 λ+μ=2 2. 8.(2019 江淮十校联考)已知在△ABC 中,|BC|=|AB - CB|,AB=(1,2),若边 AB 的中点 D 的坐标为 (3,1),点 C 的坐标为(t,2),则 t=　　　　. 答案:1 解析:依题意,得|BC|=|AC|,故△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形,故CD ⊥ AB,所以CD·AB=(3-t,- 1)·(1,2)=3-t-2=0,解得 t=1. 9.已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|=　　　　　. 答案: 5 解析:|b|= 22 + 12 = 5,由 λa+b=0,得 b=-λa, 故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=|b| |a| = 5 1 = 5. 10.若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,b=(2,-1),则 a= . 答案:(-1,1)或(-3,1) 解析:由|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,得 a+b=(1,0)或 a+b=(-1,0),则 a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或 a=(- 1,0)-(2,-1)=(-3,1). 11.如图,在▱ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点.已知AM=c,AN=d,则AB=　　　　　　　　　　,AD =　　　　　　　.(用 c,d 表示) 答案:2 3(2d-c)　2 3(2c-d) 解析:设AB=a,AD=b.因为 M,N 分别为 DC,BC 的中点,所以BN = 1 2b,DM = 1 2a. 4 又{c = b + 1 2a, d = a + 1 2b, 所以{a = 2 3(2d - c), b = 2 3(2c - d), 即AB = 2 3(2d-c),AD = 2 3(2c-d). 能力提升 12.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,点 D 是边 BC 上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=λAB+μAC(λ>0,μ>0), 则当 λμ 取得最大值时,|AD|的值为(　　) A.7 2 B.3 C.5 2 D.12 5 答案:C 解析:因为AD=λAB+μAC,而 D,B,C 三点共线,所以 λ+μ=1,所以 λμ ≤ (λ + μ 2 )2 = 1 4, 当且仅当 λ=μ=1 2时取等号, 此时AD = 1 2AB + 1 2AC, 即 D 是线段 BC 的中点, 所以|AD|=1 2|BC|=5 2.故选 C. 13.若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下的坐标. 现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为(　　) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) 答案:D 解析:∵a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2), ∴a=-2p+2q=(2,4). 令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y), 则{ -x + y = 2, x + 2y = 4, 解得{x = 0, y = 2. 14.(2019 广东广州高三测试)若向量 a=(cos θ,sin θ),b=(1,-1),则|2a-b|的取值范围是(　　) 5 A.[2- 2,2+ 2] B.[0, 2] C.[0,2] D.[1,3] 答案:A 解析:向量 a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),则|2a-b|= (2cosθ - 1)2 + (2sinθ + 1)2 = 6 + 4(sinθ - cosθ) = 6 + 4 2sin(θ - π 4 ),而-4 2 ≤ 4 2sin(θ - π 4 ) ≤ 4 2,故 2- 2 ≤ |2a-b|≤2+ 2,则|2a-b|的取值范围是[2- 2,2+ 2],故选 A. 15.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则 λ+μ 的最大值为(　　) A.3 B.2 2 C. 5 D.2 答案:A 解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 则 A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设 P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得 r=|BC|·|CD| |BD| = 2 × 1 5 = 2 5 5 ,即圆的方程是(x-2)2+y2=4 5. 易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0). 由AP=λAB+μAD,得{x = 2μ, y - 1 = -λ,所以 μ=x 2,λ=1-y, 所以 λ+μ=1 2x-y+1. 设 z=1 2x-y+1,即1 2x-y+1-z=0. 因为点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2=4 5上, 所以圆心 C 到直线1 2x-y+1-z=0 的距离 d≤r, 即|2 - z| 1 4 + 1 ≤ 2 5 5 ,解得 1≤z≤3, 6 所以 z 的最大值是 3,即 λ+μ 的最大值是 3,故选 A. 16.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,且 3aBC+4bCA+5cAB=0,则 a∶b∶c=　. 答案:20∶15∶12 解析:∵3aBC+4bCA+5cAB=0, ∴3a(BA + AC)+4bCA+5cAB=0. ∴(3a-5c)BA+(3a-4b)AC=0. 在△ABC 中, ∵ BA,AC不共线, ∴ {3a = 5c, 3a = 4b,解得{c = 3 5a, b = 3 4a. ∴a∶b∶c=a ∶ 3 4a ∶ 3 5a=20∶15∶12. 高考预测 17.已知向量 a=(m,2m-1),b=(1,-2),若 a∥b,则|4a+2b|=　　　　　. 答案:3 5 解析:∵向量 a=(m,2m-1),b=(1,-2),且 a∥b, ∴-2m=2m-1,解得 m=1 4, ∴a=(1 4, - 1 2),∴4a+2b=(3,-6), ∴|4a+2b|= 32 + ( - 6)2=3 5.