2018-2019学年浙江省台州市书生中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省台州市书生中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省台州市书生中学高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 由直线,‎ 可得直线的斜率为，‎ 直线倾斜角的正切值是，‎ 又倾斜角大于或等于且小于，‎ 故直线的倾斜角为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线方程与直线的斜率、倾斜角，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎2．椭圆的离心率为 （　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的标准方程可得，利用离心率公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的方程可得：‎ ‎，‎ 所以椭圆的离心率为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程以及简单性质，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.‎ ‎3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 （　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线离心率为2，列出关于的方程，解之得，从而可得双曲线渐近线的斜率，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的方程是，‎ 双曲线渐近线为，‎ 又离心率为，可得，‎ ‎，即，可得，‎ 由此可得双曲线渐近线为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的离心率与渐近线，意在考查综合应用数学知识解决问题的能力，属于 中档题.‎ ‎4．直线与圆交于两点，则 （　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，,再由垂径定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ 化圆为，‎ 可得圆心坐标为，半径为2，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及待定系数法求直线的方程，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.‎ ‎5．已知定点，点在圆上运动，是线段上的中点，则点的轨迹方程为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由是的中点，可得，利用“逆代法”可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 是的中点，，‎ 又，，‎ 化为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.‎ ‎6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，，则 （　　 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据过抛物线的焦点，可设直线方程为，代入抛物线方程可得，根据韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式即可求出.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 过抛物线的焦点，‎ 设直线方程为，代入抛物线方程可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质,以及韦达定理、弦长公式与中点坐标公式的应用，意在考查数形结合思想、函数与方程思想的应用，属于难题.‎ ‎7．已知双曲线 的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 ，则双曲线的方程为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线离心率为，由到双曲线的同一条渐近线的距离可得右焦点到渐近线的距离为，，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 双曲线离心率为，‎ ‎，‎ 双曲线方程为，‎ 又到双曲线的同一条渐近线的距离，‎ 由梯形中位线定理得右焦点到渐近线的距离为，‎ ‎，‎ 双曲线的方程为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的离心率、双曲线的渐近线方程以及点到直线距离公式的应用，意在考查计算能力、转化与划归思想的应用，属于中档题.‎ ‎8．已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则 （ 　　）‎ A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆与双曲线的焦点重合可得，即，由条件可得，再由离心率公式，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆与双曲线的焦点重合，‎ 可得，即，‎ 又，则，‎ 由 ‎，‎ 则，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆与双曲线的离心率与几何性质，解答本题的关键是利用椭圆与双曲线的焦点重合，得到，本题属于中档题.‎ ‎9．若动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，则点的 轨迹一定不可能是 （ 　　）‎ A． 除两点外的圆 B． 除两点外的椭圆 C． 除两点外的双曲线 D． 除两点外的抛物线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点的轨迹.‎ ‎【详解】‎ 因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数 ，‎ 所以，整理得，‎ 当时，方程的轨迹为双曲线；‎ 当时，且方程的轨迹为椭圆；‎ 当时，点的轨迹为圆，‎ 抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1 ,‎ 故点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③‎ 参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求动点的轨迹方程的.‎ ‎10．已知为椭圆上一个动点，直线过圆的圆心与圆相交于两点，则的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得圆心， 由得椭圆右焦点也是，结合向量的加减运算法则，利用向量的数量积公式用表示出，根据椭圆的几何性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由可得圆心， ‎ 由得椭圆右焦点也是，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的几何运算及平面向量的数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答 二、填空题 ‎11．已知直线，直线，若，则__________；‎ 若，则两平行直线间的距离为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】若，则，解得： ‎ 若，则，解得： ‎ ‎∴两平行直线间的距离为 故答案为： ， ‎ ‎12．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，，动点满足，若点的轨迹为一条直线，则______；若，则点的轨迹方程为_______________；‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由可得，‎ ‎，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，由，‎ ‎，‎ 时，轨迹方程为，表示直线，‎ 时，轨迹方程为，‎ 故答案为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.‎ ‎13．抛物线的准线方程是_________，过此抛物线的焦点的最短弦长为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为，，从而可得准线方程，利用抛物线的几何性质可得当过焦点的直线与对称轴垂直时，弦长最小值为.‎ ‎【详解】‎ 代入，‎ 准线方程为，‎ 由抛物线的几何性质可得，‎ 当过焦点的直线与对称轴垂直时，‎ 弦长最小值为，故答案为 ， .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于简单题.‎ ‎14．若动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，则点的轨迹方程为____________，的最小值为_____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线平行，可得中点的轨迹是与两直线平行且与两直线等距离的直线，设的轨迹方程为，利用平行线的距离公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直线上与直线平行，‎ 中点的轨迹是与两直线平行且与两直线等距离的直线，‎ 设的轨迹方程为，‎ 则，得，‎ 即的轨迹方程为，‎ 原点到直线的距离为，‎ 的最小值为，故答案为，8.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程以及点到直线距离公式、两平行线的距离公式的应用以及数形结合思想的应用，属于中档题.‎ ‎15．设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的一条渐近线为，联立，得，令，则该双曲线的离心率为.‎ ‎16．已知为椭圆的下焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则当的最大时点的坐标为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可得，根据三角形的性质可得当共线时，有最大值，利用直线与椭圆的交点可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆上焦点为，‎ 则 ‎，‎ 当共线时，有最大值9，‎ 直线的方程为与椭圆方程联立，‎ 可得或（舍去），故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.‎ ‎17．设定点，是函数图象上的一动点，若点之间的最短距离为，则__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，利用两点间的距离公式可得,利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 设点，‎ 则 ‎，‎ 令，，‎ 令，‎ ‎①当时，时取得最小值，解得；‎ ‎②当时，在区间上单调递减，在单调递增，‎ 取得最小值，，解得，‎ 综上可知或，故答案为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质、基本不等式求最值、以及两点间距离公式与分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎18．已知直线，直线．.‎ ‎（1）求直线与直线的交点的坐标，并求出过点与原点距离最大的直线方程；‎ ‎（2）过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于点，两点，且（为坐标原点），求直线的方程.．.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立两条直线方程可解得直线与直线的交点的坐标为，利用与过原点和点连线垂直的直线，求出与原点距离最大的直线方程；（2）设直线方程为： .，可得，求出，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）联立两条直线方程： ，解得，‎ 所以直线与直线的交点的坐标为． ‎ 利用与过原点和点连线垂直的直线求出与原点距离最大的直线方程为 .‎ ‎（2）设直线方程为： . ‎ 令 得，因此 令得，因此．‎ ‎，‎ 即，解得 直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的交点坐标以及直线的方程，属于简单题. 在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.‎ ‎19．如图，点是圆上一动点，点，过点作直线的垂线，垂足为．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），可得在以为直径的圆上，从而可得点的轨迹方程为；（2）， 设， ， ，，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.∵，∴在以为直径的圆上 ‎∴点的轨迹方程为； ‎ ‎（2）， ‎ 设， ， ，‎ ‎ ， ‎ 则 ‎ ‎∴，即的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的轨迹方程以及利用辅助角公式求最值，属于中档题. 形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.‎ ‎20．已知椭圆的焦距为，长轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于 A，B两点．若， ‎ 求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的焦距为，长轴长为，求出椭圆的几何量，可得椭圆的标准方程；（2）直线，联立椭圆方程，消去 ,运用韦达定理，由,则有，化简整理即可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆的焦距为，长轴长为，‎ ‎∴，，∴，∴椭圆C的标准方程为 . ‎ ‎（2）设，将直线AB的方程为代入椭圆方程得 ‎， 则， ①. ‎ 又，. ‎ 由OA⊥OB，知 ‎ 将①代入，得，又∵满足，∴．‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎21．已知直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点， 为中点， 的斜率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆的动弦，且其斜率为1，问椭圆上是否存在定点，使得直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）或满足题意.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，椭圆的半焦距，‎ 设， ， ，由在椭圆上列出方程组，得到，‎ 进而求得，再根据，解得的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）假设上存在定点满足题意，设直线方程为，联立方程组，得， ，由，代入化简得，又由它与无关，即可得椭圆上存在点或满足题意.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，椭圆的半焦距，‎ 设， ， ，则， ，又由在椭圆上得 ‎，两式相减得，所以 ‎，‎ 而，所以 又，所以， ，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设上存在定点满足题意，并设直线方程为，‎ ‎， ，联立，消得，则 ‎， ，‎ 由，得，将， ，代入并化简得 ‎ ，‎ 将， 代入并化简得，‎ 由它与无关，只需，解得，或，‎ 而这两点恰好在椭圆上，从而假设成立，‎ 即在椭圆上存在点或满足题意.‎ 点睛：本题对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答此类题目，利用 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎22．如图，已知圆， 为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于．‎ ‎（1）若，求过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）若，求△面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）或；（2）32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，求出，然后求出切线方程；（2）设切线，利用切线与轴交点为，圆心到切线的距离列出关系式，得到关于的二次方程，设两切线斜率分别为，通过韦达定理得到，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，所以,‎ 设切线方程为，即，‎ ‎∴，解得： 或 ‎ ‎∴过点的圆的切线方程 或. ‎ ‎（2）设切线，即，‎ 切线与轴交点为， ‎ 圆心到切线的距离为，‎ 化简得 ‎ 设两切线斜率分别为，‎ 则，， ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以△面积的最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.‎