江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题 第Ⅰ卷（必做题，160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．已知，，则__________．‎ ‎2．复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限．‎ ‎3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．‎ ‎4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．‎ ‎（第4题）‎ ‎（第13题）‎ ‎5．抛物线的焦点坐标为__________．‎ ‎6．若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从1，2两个数中任取的一个数，则关于的一元二次方程有实根的概率是__________．‎ ‎7．已知某圆锥底面圆的半径，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________．‎ ‎8．已知等差数列中，，，则的前10项和是__________．‎ ‎9．已知函数，则的值为__________．‎ ‎10．已知点A（0，3），直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，且圆心C在直线l上．若圆C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为__________．‎ ‎11．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________．‎ ‎12．已知，，且，则的最大值为__________．‎ ‎13．如图，已知，，，圆是以为圆心半径为1的圆，圆是以为圆心的圆．设点，分别为圆，圆上的动点，且，则的取值范围是__________．‎ ‎14．若，是函数，的两个极值点，且，则的取值范围为__________．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B＋bcos A＝‎ ．‎ ‎（1）求证：A＝C；‎ ‎（2）若b＝2，·＝1，求sin B的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥平面BCC1B1，AD⊥DB．求证：‎ ‎（1）BC∥平面ADD1A1；‎ ‎（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．‎ ‎（第16题）‎ B A C D D1‎ B1‎ A1‎ C1‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，圆是一半径为米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中两点在上，恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在四点处安装四盏照明设备，从圆心点出发，在地下铺设条到四点线路．‎ ‎（1）若正方形边长为米，求广场的面积；‎ ‎（2）求铺设的条线路总长度的最小值．‎ ‎（第17题）‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x＝4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于M，N两点（其中，M在x轴上方）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设线段MN的中点为D，若直线OD的斜率为－，求k的值；‎ ‎（3）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若＝，求M的坐标．‎ l x y F A B O M N x＝4‎ ‎（第18题）‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数f(x)＝lnx＋＋1，a∈R．‎ ‎（1）若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；‎ ‎（2）记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0，)上有最小值，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若当a＝0时，关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立．‎ ‎（1）当＝1时，‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②若求数列的前项的和Tn；‎ ‎（2）是否存在实数，使数列是等差数列．如果存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ 南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题 第Ⅱ卷（选做题，40分）‎ ‎21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M＝．‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）求矩阵M的特征值和特征向量．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．‎ O y B x M A C P l l1‎ l2‎ ‎（第22题）‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 对于给定正整数，设，记．‎ ‎（1）计算的值；‎ ‎（2）求．‎ 南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题参考答案及评分标准 第Ⅰ卷（必做题，160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1． 2．二 3．6 4．5‎ ‎5． 6． 7． 8．‎ ‎9．12 10． 11． 12．‎ ‎13． 14．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由正弦定理＝＝＝2R ，得a＝2RsinA ，b＝2RsinB，c＝2RsinC，‎ 代入acosB＋bcosA＝，得 (sinAcosB＋sinBcosA) cosC＝sinCcosA，…………2分 即sin(A＋B)cosC＝sinCcosA．‎ 因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，‎ 所以sinCcosC＝sinCcosA，…………4分 因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA．‎ 又因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C．…………6分 ‎（2）由（1）知，因为A＝C，所以a＝c，所以cosB＝＝．…………8分 因为·＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3．…………10分 所以cosB＝．…………12分 因为B∈(0，π)，所以sinB＝＝．…………14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为AD∥平面BCC1B1，ADÌ平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，‎ 所以AD∥BC．…………4分 又因为BCË平面ADD1A1，ADÌ平面ADD1A1，‎ 所以BC∥平面ADD1A1．…………6分 ‎（2）由（1）知AD∥BC，因为AD⊥DB，所以BC⊥DB，…………8分 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，BCÌ底面ABCD，‎ 所以DD1⊥BC，…………10分 又因为DD1Ì平面BDD1B1，DBÌ平面BDD1B1，DD1∩DB＝D，‎ 所以BC⊥平面BDD1B1，…………12分 因为BCÌ平面BCC1B1，‎ 所以平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．…………14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（1）连接，因为正方形边长为米，‎ 所以，则，所以，…………2分 所以广场的面积为 答：广场的面积为平方米．…………6分 ‎（2）作于，于，记，‎ 则，…………8分 由余弦定理得 ‎，…………12分 所以,当且仅当时取等号，‎ 所以，‎ 因此求条小路的总长度的最小值为米．‎ 答：条小路的总长度的最小值为米．…………14分 ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（1）设椭圆的焦距为2c (c＞0)．‎ 依题意，＝，且＝4，解得a＝2，c＝1．‎ 故b2＝a2－c2＝3．‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1．…………4分 ‎（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1．‎ 两式相减，得＋＝0，＋··＝0，‎ 所以＋·k·(－)＝0，得k＝． …………8分 ‎（3）由题意，＝，即＝，整理可得＝，…………10分 所以＝2．‎ 代入坐标，可得，即．…………12分 又点M，N在椭圆C上，所以，解得．‎ 所以M的坐标为(，)．…………16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（1）f′(x)＝－，则f′(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，则f(x)＝lnx－＋1，‎ 此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，‎ 代入切线方程，得b＝－2，‎ 所以a＝－1，b＝－2．…………2分 ‎（2）g(x)＝f(x)＋ax＝lnx＋＋ax＋1，g′(x)＝－＋a＝．‎ ‎①当a＝0时，g′(x)＝＞0，则g(x)在区间(0，)上为增函数，‎ 则g(x)在区间(0，)上无最小值．…………4分 ‎②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，‎ 则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，‎ 由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2．‎ 设函数m(x)＝ax2＋x－a(x＞0)，‎ ‎（i）若a＞0，‎ 若x2∈(0，) ，则m(0)＝－a＜0 ，m()＝＋－a＞0 ，解得0＜a＜．‎ 此时x∈(0，x2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；x∈(x2，)时，m(x)＞0，则g(x)递增，‎ 当x＝x2时，g(x)取极小值，即为最小值．‎ 若x2≥，则x∈(0，)，m(x)＜0，g(x)在(0，)单调减，无最小值．…………6分 ‎（ii）若a＜0，‎ 此时x∈(0，x2)时，m(x)＞0，则g(x)递增；x∈(x2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，‎ 在区间(0，)上，g(x)不会有最小值．‎ 所以a＜0不满足条件．‎ 综上，当0＜a＜时，g(x)在区间(0，)上有最小值．…………8分 ‎（3）当a＝0时，由方程f(x)＝bx2，得lnx＋1－bx2＝0，‎ 记h(x)＝lnx＋1－bx2，x＞0，则h′(x)＝－2bx＝．‎ ‎①当b≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，‎ 则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx2至多只有一个实数根，‎ 所以b≤0不符合题意．…………10分 ‎②当b＞0时，‎ 当x∈(0，)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)递增； ‎ 当x∈(，＋∞)时，h′(x)＜0，所以函数h(x)递减，‎ 则h(x)max＝h()＝ln＋．‎ 要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，‎ 则h()＝ln＋＞0，解得0＜b＜．…………12分 ‎（i）当0＜b＜时，h()＝－＜0．‎ ‎ 又()2－()2＝＜0，则＜，‎ 所以存在唯一的x1∈(，)，使得h(x1)＝0．…………14分 ‎（ii）h()＝ln＋1－＝－lnb＋1－，记k(b)＝－lnb＋1－，0＜b＜，‎ 因为k′(b)＝－＋＝，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，‎ 则k(b)max＝k(1)＝0，则h()≤0．‎ 又()2－()2＝＞0，即＞，‎ 所以存在唯一的x2∈(，]，使得h(x2)＝0，‎ 综上，当0＜b＜时，方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根．…………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（1）①若，因为，‎ 则，．‎ 又∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 化简，得．①‎ ‎∴当时，．②‎ ‎②－①，得，即．‎ ‎∵当时，，时上式也成立，‎ ‎∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，．…………4分 ‎②因为，∴．‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以．…………8分 ‎（2）令，得．令，得．‎ 要使数列是等差数列，必须有，解得．‎ 当时，，且．…………10分 当时，，‎ 整理，得，，‎ 从而，‎ 化简，得，所以．…………14分 综上所述，，‎ 所以时，数列是等差数列．…………16分 第Ⅱ卷（选做题，40分）‎ ‎21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 解：（1） M＝ ＝ ．…………4分 ‎（2）矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－3)．‎ 令f(λ)＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 ‎①当λ＝1时， ＝，得 令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为．…………8分 ‎②当λ＝3时， ＝3，得 令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为．‎ 因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为，．…………10分 B．选修4—4：坐标系与参数方程 解：分别化为普通方程得直线与圆，…………4分 易得直线与圆切于点Q，…………6分 所以交点Q的极坐标是．…………10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）因为l过M(2，0)，且当l垂直于x轴时，AB＝4，‎ 所以抛物线经过点(2，2)，‎ 代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1．…………2分 ‎（2）设直线l方程为：y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立消去x，得ky2－2y－4k＝0，‎ 则y1＋y2＝，y1y2＝－4．…………4分 因为C为AB中点，所以yC＝＝，‎ 则直线l1方程为：y＝．…………6分 因为直线l2过点M且与l垂直，则l2方程为：y＝－(x－2)，‎ 联立…………8分 解得即P(1，)，‎ 所以，点P在定直线x＝1上．…………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（1）；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．…………4分 ‎（2）由二项式定理得，， ‎ 因为 ‎，…………8分 所以 ‎．…………10分