【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第14讲导数的应用第2课时学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第14讲导数的应用第2课时学案

第2课时　导数与函数的极值、最值 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 根据直线与曲线的位置关系,判断满足f'(x)- =0的点的个数及在该点左、右两侧附近f'(x)- 的符号,根据极值点的判断方法进行分析判断. ‎ D　[解析 如图所示,记已知直线与曲线的两个切点分别为M,N,过A,B,C三点分别作一条与MN平行的直线,故在点M,A,N,B,C处都有f'(x)= ,又F'(x)=f'(x)- ,故F(x)有5个极值点.在点M的横坐标的左侧,显然满足f'(x)> ,右侧附近满足f'(x)< ,故点M处的横坐标为函数F(x)的极大值点,同理,点N,C处的横坐标为函数F(x)的极大值点,故函数F(x)有3个极大值点.‎ 例2　[思路点拨 先求导,令x=1,得出f'(1),再按照求极值的步骤求解.‎ B　[解析 f'(x)=-1,∴f'(1)=1,f(x)=2ln x-x,令f'(x)= -1=0,解得x=2.当00,当x>2时,f'(x)<0,所以当x=2时函数取得极大值,极大值为2ln 2-2.‎ 例3　[思路点拨 对函数求导,根据参数a的取值,确定导数的符号,在存在极值的情况下确定a的范围.‎ ‎　[解析 ∵f(x)=x+-1ex,∴f'(x)=ex.设h(x)=x3+ax-a(x∈(1,3)),则h'(x)=3x2+a.a≥0时,h'(x)>0在(1,3)上恒成立,即函数h(x)在(1,3)上为增函数,∴h(x)>h(1)=1>0,即f'(x)>0,函数f(x)在(1,3)上无极值点.a<0时,令h'(x)>0,解得x>或x<-,故h(x)在0,上递减,在,+∞上递增,若≥3,即a≤-27时,h(x)在(1,3)上递减,h(1)>0,若f(x)=x+-1ex在区间(1,3)上有极值点,只需h(3)=27+‎2a<0,解得a<-,∴a≤-27;若≤1,即-3≤a<0,h(x)在(1,3)上递增,h(1)>0,‎ 不合题意;若1<<3,即-270;当-22时,f '(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.‎ ‎2.B　[解析 对函数y=aex+3x求导,得y'=aex+3,若函数y=aex+3x在R上有小于零的极值点,则y'=aex+3=0有负根,显然a≠0,即方程ex=-的解小于零,∴0<-<1,解得a<-3,∴实数a的取值范围为(-∞,-3).‎ ‎3.B　[解析 由f'(2)=0可得c=2或6.当c=2时,结合图像(图略)可知函数先增后减再增,在x=2处取得极小值;当c=6时,结合图像(图略)可知,函数在x=2处取得极大值.所以选B.‎ ‎4.解:(1)f'(x)= +2x+b,由题知f'(1)=4,f(1)=-8,‎ 则解得所以f(x)=12ln x+x2-10x+1.‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x-10=.‎ 令f'(x)>0,解得03,令f'(x)<0,解得20),‎ ‎∴f'(x)=1-+=.‎ 当m≤2时,在[1,e 上有f'(x)≥0,f(x)min=f(1)=2-m;‎ 当m≥e+1时,在[1,e 上有f'(x)≤0,f(x)min=f(e)=e-m-;‎ 当20,解得x>,令f'(x)<0,解得00,得a>0,∴实数a的取值范围是(0,+∞).‎ 例5　[思路点拨 (1)利用柱体、锥体的体积公式计算即得;(2)设PO1=h(m),将已知几何体的容积用h表达出来,再使用导数方法求h为何值时,容积最大.‎ 解:(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.‎ 因为A1B1=AB=6, ‎ 所以正四棱锥P - A1B‎1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3),‎ 正四棱柱ABCD - A1B‎1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).‎ 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).‎ ‎(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则00,V是单调增函数;‎ 当20,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点.‎ ‎(2)当a>0时,Δ=a2‎-8a(1-a)=a(‎9a-8).‎ ‎①当0时,Δ>0,‎ 设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1-,‎ 由g(-1)=1>0,可得-10,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ 当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;‎ 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.‎ 因此,函数有两个极值点.‎ ‎(3)当a<0时,Δ>0,‎ 由g(-1)=1>0,可得x1<-1.‎ 当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ 当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.‎ 所以,函数有一个极值点.‎ 综上所述,‎ 当a<0时,函数f(x)有一个极值点;‎ 当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;‎ 当a>时,函数f(x)有两个极值点.‎ ‎2　[配合例3使用 [2017·河南天一大联考 已知函数f(x)=ln x+.‎ ‎(1)若f(x)在定义域内单调递增,求实数 的值;‎ ‎(2)若f(x)的极小值大于0,求实数 的取值范围.‎ 解:(1)依题意可知f'(x)=(x- )(ln x+1),令f'(x)=0,可得x1= ,x2=.‎ 若x1≠x2,则在x1,x2之间存在一个区间,使得f'(x)<0,不满足题意.‎ 因此x1=x2,即 =.‎ ‎(2)当 <时,若 >0,则f'(x)在上小于0,在上大于0, ‎ 若 ≤0,则f'(x)在上小于0,在上大于0,‎ 因此x=是f(x)的极小值点.∴f=->0,∴< <.‎ 当 >时,f'(x)在上小于0,在( ,+∞)上大于0,‎ 因此x= 是f(x)的极小值点.∴f( )=(1-2ln )>0,∴< <.‎ 当 =时,f(x)没有极小值点,不符合题意.‎ 综上可得 ∈∪.‎ ‎3　[配合例4使用 [2017·泉州质检 函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0≤x≤1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是 (　　)‎ A.a≤0 B.0≤a≤‎ C.a≤ D.a≤1‎ ‎[解析 C　由题意得不等式f(x)≥f(1)对任意x∈[0,1 恒成立,化简得a(1-x)(x2+2x+2)≤(1-x)(x+2)对任意x∈[0,1 恒成立.当x=1时,a∈R;当0≤x<1时,a≤,令t=x+2,则t∈[2,3),==>=,所以a≤.综上,实数a的取值范围是a≤,选C.‎