高考数学复习资料五章 平面向量

高考数学复习资料五章 平面向量

第五章 平面向量 1、非零向量 ba与 不共线，若 a +b =c ， - = d ，则 ⊥ d 是| |=| |的 （ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件 1、A 【思路分析】法一： ⊥  • =（ + ）•（ - ）= | |2 - | |2 = 0 | | = | | 法二：作OA a ，OB b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则 =OC ， = BA. ⊥ OACB 为菱形 | | = | |. 【命题分析】考查向量的有关概念，几何意义与运算，简易逻辑等基础知识. 2．已知a ，b 是两个单位向量，命题：（2a + b ）⊥ 是命题〈 ， 〉= 3 2 π 成立的（ ） 条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分且必要 D．非充分且非必要 2．解答： 01)b,acos(20b)ba2(b)ba2(   cos〈a ， b 〉=－ 2 1 〈 a ， b 〉= 3 2 π 选 C 评析：考察充要条件及向量数量积的简单知识 3．（文）己知 A（1，2）B（－3，1）则向量 AB按向量（－1，2）平移后得到的向量坐标 是（ ） A．（－4，－1） B．（－5，1） C．（ 0，4） D．（ 2，－1） 3．（文）解答： ）1，4（）2，1（）1，3（AB  无论怎样平移， AB仍是（－4，－1） 选 A 评析：考察考生问题概念、平移性质。 4．（文）已知△ABC 中，a、b、c 三边长分别为 3，4，5，则 ABACBCACBCAB  的值为（ ） A．7 B．－7 C．－25 D．25 4．（文）解答： ABACBCACBCAB  =c·a(－cosB)+0+b·c cosA =－a2+b2 =7 选 A 评析：本题考察考生平面向量运算及应用能力。 5、设命题 P：非零向量 a 、b ， |||| ba  是 )()( baba  的充要条件； 命题 q ： M 为平面上的一动点， A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是存在角  ，使 MCMBMA  22 cossin ，则 A. qp  为真命题 B. qp  为假命题 C. qp  为假命题 D. qp  为真命题 5、C 由向量的几何意义和菱形的性质知 P 为真命题；由教材上例题 A、B、C 三点共线的 充要条件为 MCtMBtMA )1(  ， )( Rt  ，而 ]1,0[sin 2  ，为必要非充分条件， 故 q 为假命题，故选 C . 6．给定两个向量 ,,ab| a |=3,| b |=2,< ,ab>=600,如果(3 5 ) ( )a b ma b+ ^ - 则 m 的值 等于（ ） A． 32 23 B． 23 42 C． 29 42 D． 42 23 6、C 【思路分析】：由已知得：(3 5 ) ( )a b ma b+-＝0，即 22 3 (5 3) 5 0ma m ab b+ - - = ，解 得 29 42m = 【命题分析】：考察向量的基本运算和向量垂直的性质 7、已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 DBCD 2 ， ACSABrCD  ，则 Sr  的值 是 （ ） A、 3 2 B、 3 4 C、 3 D、0 7 、 （ 分 析 ： ∵ ∴ CBCD 3 2 又 ∴ )(3 2 3 2 ACABCBACSABr  ∴ 3 2r 3 2s 选 D 项） 8 、已知等差数列 na 的前 n 次和为 ns ，且 55,10 52  ss ，则过点 ),( nanP 和 ),2( 2 nanQ （ *Nn  ）的直线一个方向向量的坐标可以是 （ ） A、（ 2 1,2 ） B、（ 2,2 1  ） C、（ 1,2 1  ） D、（ 1,1  ） 8、（分析： 55 10 5 2   S S 即 552 )(5 102 )( 51 21   aa aaa ∴ 22 10 51 21   aa aa ∴ 4,123  dd ∴ 62 1 a ; 31 a ∴ 144)1(3  nnan ， )14,( nnP ， )74,2(  nnQ ， 42 8 PQK 方向向量 ),1( k ，故选（B）。 9．已知 1||||||  cba ，且 0 cba ，则 a 与b 的夹角为（ ） A．300 B．600 C．900 D．1200 9．D [思路分析]：法 1： cba  ， 1)()( 22  cba ，∴ 12 22  bbaa ，则 { { { ba  = cos||||2 1  ba ，∴ 2 1cos  ， 0120 。 法 2：由模都为 1 及向量的加法法则知， a ，b ， c 对应的点应均匀分布在单位圆 上，∴ a 与b 的夹角为 1200。 10．（理）已知 )1,1(),1,1(  xbx xa ，其中 2x ，则 ba  的最小值是（ ） A． 2 B． 2 C． 2 5 D． 3 11．已知直线l 与 yx, 轴分别相交于点 A 、B , jiAB 32  (i 、 j 分别是与轴 yx, 正半轴 同方向的单位向量), 则直线 的方程是 A． 0623  yx B。 0623  yx C。 0632  yx D。 0632  yx 11． B【思路分析】： )3,0(),0,2(  BA 【命题分析】：考察向量平移、相等概念和直线方程 12 ．（文 ） 已知|a|=1,|b|= 2 , 且 (a － b) 和 a 垂直, 则 a 与 b 的 夹 角 为 材 ___________________ 12．（文） 4  13．e1,e2是夹角为60o的两个单位向量，则向量a=2e1+e2,和b=2e2-3e1的夹角是（ ） A、30o B、60o C、120o D、150o 13C 14．理 C【思路分析】： )1,( xxba  ,∴ 2 51 2 2  xxba )2( x ，故选 C. 14．【命题分析】：考查向量的坐标运算，长度的计算，求值域，综合解题能力. 15．（文） 21, ee 是平面内不共线两向量，已知 212121 3,2, eeCDeeCBekeAB  ， 若 DBA ,, 三点共线，则 k 的值是（ ） A．2 B． 3 C． 2 D．3 15．文 A【思路分析】： 21 2eeCBCDBD  ，又 A、B、D 三点共线，则 ADAB  . 即        2 1 k ，∴ 2k ，故选 A . 【命题分析】：考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用. 16．（ 12 分）已知 )12sin3sin,1(),1,(cos 44  xxbxa ，若函数 baxf )( . （1）若 31)( xf ，且 ]0,2[ x ，求 x 的值； （2）若函数 y=sin2x 的图象按向量 )2(),(  hkhc 平移后得到函数 y=f(x)的图象，求 实数 h、k 的值. 16．【思路分析】：（1） xxxxxxbaxf 22244 )(cossin(cos12sin2sincos)(  + 1)6 52sin(212sin32cos12sin3)sin2  xxxxx . （2 分） 31)( xf ，即 2 3)6 52sin(  x ， ∵ 02  x ， ∵ ]6 5,6[6 52  x . 故 36 52  x 或 3 2  ， ∵ 4 x 或 12 x . （6 分） （2）设 ),( yxP 是函数 xy 2sin 图象上任意一点，按向量 c 平移后对应点为 ),( yxP  ， 根据平移公式有：    kyy hxx ，即 1]6 5)(2sin[  hxky . （8 分） 则 xkhxy 2sin1)]6 52(2[sin   . ∴          2 01 26 52   h k kh ，得      112 5 k h  . （12 分） 【命题分析】：考查向量的数量积，三角函数式的化简、求值，函数图象的平移变换， 要求考生熟记公式，掌握常见变形技巧与方法。 17．已知 a、b、c 为斜三角形 ABC 的三边，A、B、C 为三边所对的角， ),( bax  ， )0,(cy  ， 若 |||| ytx  ， )( Rt  ，求 CBA tan)cot(cot  的值。 （12′） 17．[思路分析] 由 |||| ytx  知，a2+b2=t2·c2，………………………………………………2′ 由于△ABC 为斜△，∴t2≠1 …………………………………………………3′  CBA C C C B B A ACBA cos 1 sinsin sin cos sin)sin cos sin cos(tan)cot(cot 2 = 1 222 2222 2 222 2  tcba c cba ab ba c ………………………………12′ [命题分析]：本题重在考查三角函数、余弦定理、正弦定理，结合向量模的概念。 18、（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， cba ,, 分别是角 A、B、C 的对边， ),2( bcax  ， )cos,(cos CBy  且 0 yx （1）求 B 的大小；（2）若 3b ，求 ca  的最大值。 18、（本题体现了向量与三角知识的交汇，小而巧） 解：（1） 0coscos)2(  CbBcayx 由正弦定理 0coscoscos2  CSinBBSinCBSinA ∴ 0)(cos2  CBSinBSinA ∴ 0)1cos2( BSinA ∵ ),0(, BA ∴ 0SinA ， 2 1cos B ∴ 3 2B （2） accaaca  222 )(3 2cos23  ， 22 )2(33)( caacca  ∴ 4)( 2  ca 2ca ∴ 2)( max  ca 19．(本题满分 12 分)已知向量 m =（sinB，1－cosB)，且与向量 n = （2，0）所成角为 3 p ， 其中 A, B, C 是⊿ABC 的内角． （1）求角Ｂ的大小； （2）求 sinA+sinC 的取值范围． 19、【思路分析】：（1）∵ m =（sinB，1-cosB) , 且与向量 n = （2，0）所成角为 ,3 p ∴1 cos 3,sin B B - = ……………………………………………………………………3’ ∴tan 23 0 , , ,2 2 3 3 3 BBB A Cppb p p= < < = = + =又 即 ………………6’ （2）：由（1）可得∴ sin sin sin sin( )3 13sin cos sin( )2 2 3 A C A A A A A p p + = + - = + = + …………………………8’ ∵ 0 3A p<< ∴ 2 3 3 3Ap p p< + < ……………………………………10’ ∴ 33sin( ) , 1 , sin sin , 13 2 2A A Cp 纟纟珑+ 蝄 +?珑珑珑梃 当且仅当 , sin sin 16A C A Cp= = + =时 …………………………………12’ 【命题分析】：考察向量的基本知识与三角函数的运算 20、（12 分）已知向量 m＝(sin B，1－cos B)，且与向量 n＝(1，0)的夹角为 3  ，其中 A、B、 C 是  ABC 的内角，求sin sinAC 的取值范围． 20、【思路分析】由已知 B B cos22 sin ||||3cos   nm nm ，即 2 1 cos22 sin   B B …2 分 ∴ 2sin cos 1122 cos2 2 22sin 2 BB B B    ……………………………………………4 分 又 0＜B＜ ， 32 B ，即 33 2   CAB ， ……………………6 分 ∴ )3sin(cos2 3sin2 1)3sin(sinsinsin   AAAAACA …………8 分 ∵0＜A＜ 3  ， ∴ 3 2 33   A ∴ 2 3()3sin(  A ，1]， ∴ 2 3(sinsin  CA ，1] …………12 分 21．（12 分）已知向量 mnm ),1,(sin),1,3 2(cos    与 n 为共线向量，且 ]0,2[   （Ⅰ）求  cossin  的值 （Ⅱ）求   cossin 2sin  的值 21．（ Ⅰ）∵m 与 n 为共线向量，∴ ,0sin)1(1)3 2(cos   即 .3 2cossin   （Ⅱ） .9 72sin,9 2)cos(sin2sin1 2   .9 16)3 2(2)cos(sin,2)cos(sin)cos(sin 2222   又 .3 4cossin,0cossin],0,2[   因此， .12 7 cossin 2sin    22．（12 分）设 yx. R，i，j 为直角坐标系的单位向量，a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－ 2）j，|a|+|b|=8 （1）求动点 M（x，y）的轨迹 C 的方程 （2）过 A（0，3）作直线 L 与曲线 C 交于 A、B 两点，若 OBOAOP  是否存在直线 L 使得 OAPB 为矩形，若存在，求出直线 L 的方程，若不存在，说明理由 22．解（1）∵a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8 ∴动点 M（x，y）是到定点 F1（0，－2）， F2（0，2）的距离之和 8 ∴曲线 C 的轨迹方程为 11612 22  yx （2）直线 L 过 N（0，3），若 L 是 y 轴，则 A，B 是椭圆的顶点 ∵OP =OA+OB =0，∴P 与 O 重合与 OAPB 为矩形矛盾 ∴直线 L 的斜率存在，设 L：y=kx+3 A（x1，y1）B（x2，y2） 由      11612 3 22 yx kxy 得（4+3k2）x2+8kx－21=0 ∵△=64k2+845（4+3k2）＞0 恒成立 ∴由韦达定理得 x1+x2= 43 8 2 k k x1·x2= 4 21 2 k ∵ = + ∴OAPB 是平行四边形 若存在 L，使它为矩形，则OA⊥ 即 · =0 ∴x1·x2+y1·y2=0 即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，∴（1+k2）·（－ 234 21 k ）+3k·（－ 234 18 k k  ）+9=0 k2= 16 5 k=± 4 5 所求直线 L 的方程：y=± x+3