【数学】2019届一轮复习人教A版二次函数与幂函数学案
第五节 二次函数与幂函数
1．五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x1
2 y＝x－1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇
非奇非
偶
奇
单调性 增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
增 增
(－∞，0)
和
(0，＋∞)
减
公共点 (1,1)
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象与性质
解
析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图
象
定
义域
(－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值
域 [
4ac－b2
4a ，＋∞) (－∞，4ac－b2
4a ]
单
调性
在[－ b
2a，＋∞)上单调递增；
在(－∞，－ b
2a]上单调递减
在(－∞，－ b
2a]上单调递增；
在[－ b
2a，＋∞)上单调递减
奇
偶性
当 b＝0 时为偶函数，当 b≠0 时为非奇非偶函数
顶
点 (－ b
2a，4ac－b2
4a )
对
称性
图象关于直线 x＝－ b
2a成轴对称图形
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝2x 是幂函数．( )
(2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2
4a .( )
(5)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口
大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是( )
解析：选 C 令 f(x)＝xα，则 4α＝2，∴α＝1
2，∴f(x)＝x ，则 f(x)的图象如选项 C 中
所示．
3．函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数 m 的值
是( )
A．－1 B．2 C．3 D．－1 或 2
解析：选 B ∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，
1
3
1
2
∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2.
又 f(x)在 x∈(0，＋∞)上是增函数，所以 m＝2.
4．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是( )
A.(0， 1
20) B.(－∞，－ 1
20) C.(
1
20，＋∞) D.(－ 1
20，0)
解析：选 C 由题意知Error!即Error!解得 a> 1
20.
5．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，若 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数 a 的取
值范围为________．
解析：由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，
所以要使 f(x)在[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
6．已知 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则 y＝f(x)的值域
为________．
解析：因为 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，所以其定义域[a－1,2a]关于原点对称，
所以 a－1＝－2a，所以 a＝1
3，因为 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，即 f(－x)＝f(x)，所以
b＝0，所以 f(x)＝1
3x2＋1，x∈[－2
3，2
3]，其值域为[1，31
27].
答案：[1，31
27]
考点一 幂函数的图象与性质 (基础送分型考点——自主练透)
[考什么·怎么考]
高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难度不大，一般以选择题、填空题的形式
呈现，其中幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围，结合指数、对数比较大小等问题
较常见．
1．已知幂函数 f(x)的图象经过点(9,3)，则 f(2)－f(1)＝( )
A．3 B．1－ 2
C. 2－1 D．1
解析：选 C 设幂函数 f(x)＝xα，则 f(9)＝9α＝3，即 α＝1
2，所以 f(x)＝x ＝ x，所以 f(2)
－f(1)＝ 2－1，故选 C.
2．当 x∈(0，＋∞)时，幂函数 y＝(m2＋m－1)x－5m－3 为减函数，则实数 m 的值为( )
1
2
A．－2 B．1
C．1 或－2 D．m≠
－1 ± 5
2
解析：选 B 因为函数 y＝(m2＋m－1)x－5m－3 既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所
以Error!解得 m＝1.
3．已知 a＝3 ，b＝4 ，c＝12 ，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．b
b>c，故选 C.
4．若(a＋1) <(3－2a) ，则实数 a 的取值范围是________．
解析：易知函数 y＝x 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以
Error!解得－1≤a<2
3.
答案：[－1，2
3) [怎样快解·准解]
1．幂函数的图象与性质
幂函数 y＝xα 的图象和性质因 α 的取值不同而不同，一般可从三方面考察：
(1)α 的正负：α>0 时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0 时图
象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1 时曲线下凹，0<α<1 时曲线上凸，α<0 时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇
偶性定义判断其奇偶性．
2．比较幂值大小的常见类型及解决方法
同底不
同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不
同底
利用幂函数单调性进行比较
既不同
底
又不同
指
常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值
的大小来判断两个幂值的大小
4
5
2
5
1
2
1
2
1
2
考点二 求二次函数的解析式 (重点保分型考点——师生共研)
高考单独考查求二次函数的解析式较少，大多同其性质一同考查，多结合图象求解，
难度中等.
[典题领悟]
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函
数的解析式．
解：法一：(利用二次函数的一般式)
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得Error!解得Error!
故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函数的顶点式)
设 f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝2＋(－1)
2 ＝1
2.
∴m＝1
2，又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a(x－1
2 )2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a(2－1
2 )2＋8＝－1，解得 a＝－4，
∴f(x)＝－4(x－1
2 )2＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用两根式)
由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1，
故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值 ymax＝8，即4a(－2a－1)－a2
4a ＝8.
解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[解题师说]
求二次函数解析式的方法
[冲关演练]
已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈
R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，
∴f(x)的对称轴为 x＝2.
又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，
∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.
设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)，
即 f(x)＝x2－4x＋3.
考点三 二次函数的图象与性质 (题点多变型考点——追根溯源)
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不
等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图
象与性质的应用.,常见的命题角度有：
(1)二次函数图象的识别；
(2)二次函数的单调性问题；
(3)二次函数的最值问题；
(4)与二次函数有关的恒成立问题.
[题点全练]
角度(一) 二次函数图象的识别
1．(2018·重庆五中模拟)一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中
的图象大致是( )
解析：选 C 若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
开口向上，故可排除 A；若 a<0，一次函数 y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的
图象开口向下，故可排除 D；对于选项 B，看直线可知 a>0，b>0，从而－ b
2a<0，而二次函
数的对称轴在 y 轴的右侧，故应排除 B，选 C.
[题型技法] 识别二次函数图象应学会“三看”
角度(二) 二次函数的单调性问题
2．若二次函数 y＝kx2－4x＋2 在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数 k 的取值范围为
( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
解析：选 A 二次函数 y＝kx2－4x＋2 的对称轴为 x＝2
k，当 k>0 时，要使函数 y＝kx2－
4x＋2 在区间[1,2]上是增函数，只需2
k≤1，解得 k≥2.
当 k<0 时，2
k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数 y＝kx2－4x＋2 在区
间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数 k 的取值范围是[2，＋∞)．
[题型技法] 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依
据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间 A 上单调递减(单调递增)，则 A⊆(－∞，－ b
2a]A
⊆－ b
2a，＋∞，即区间 A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
角度(三) 二次函数的最值问题
3．(2017·浙江高考)若函数 f(x)＝x 2＋ax＋b 在区间[0,1]上的最大值是 M，最小值是
m，则 M－m( )
A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关
解析：选 B f(x)＝(x＋a
2 )2－a2
4 ＋b，
①当 0≤－a
2≤1 时，f(x)min＝m＝f(－a
2 )＝－a2
4 ＋b，f(x) max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝
max{b,1＋a＋b}，
∴M－m＝max {
a2
4 ，1＋a＋a2
4 }与 a 有关，与 b 无关；
②当－a
2<0 时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a 与 a 有关，与 b 无关；
③当－a
2>1 时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a 与 a 有关，与 b 无关．
综上所述，M－m 与 a 有关，但与 b 无关．
[题型技法] 求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设 a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当－ b
2a∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是 f(－ b
2a )＝4ac－b2
4a ；若－ b
2a≤m＋n
2 ，f(x)的
最大值为 f(n)；若－ b
2a≥m＋n
2 ，f(x)的最大值为 f(m)．
(2)当－ b
2a∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－ b
2af(2m＋mt2)对任意实数 t 恒成立，知－4t>2m＋mt2 对任意实数 t 恒成立，
即 mt2＋4t＋2m<0 对任意实数 t 恒成立，故有Error!解得 m∈(－∞，－ 2)，故选 A.
[题型技法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是Error!
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是Error!
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[题“根”探求]
1．无论题型如何变化，都是围绕二次函数的图象与性质，变换不同的角度来考查．角
度(一)中二次函数的图象识别问题是基础问题，角度(二)中二次函数的单调性问题是根本问
题，角度(三)与角度(四)是在角度(一)和角度(二)的基础上的重点考查问题，数形结合思想是
解决这类问题的基本策略．
2．二次函数在闭区间上最值问题的实质
二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值，它们只能在区间的端点或二次函数图
象的顶点处取得(若对称轴不在给定区域内则只考虑端点)．分别求出函数值，通过比较大小
确定最值．
[冲关演练]
1．已知函数 f(x)＝x2－2x＋4 在区间[0，m](m>0)上的最大值为 4，最小值为 3，则实
数 m 的取值范围是( )
A．[1,2] B．(0,1]
C．(0,2] D．[1，＋∞)
解析：选 A 作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当 1≤m≤2 时，函数 f(x)＝x2
－2x＋4 在区间[0，m](m>0)上的最大值为 4，最小值为 3.故选 A.
2．已知函数 f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切 x∈[
1
2，2 ]，f(x)>0 都成立，则实数 a 的取值
范围为( )
A.[
1
2，＋∞) B.(
1
2，＋∞)C．[－4，＋∞) D．(－4，＋∞)
解析：选 B 由题意得，对一切 x∈[
1
2，2 ]，f(x)>0 都成立，
即 a>2x－2
x2 ＝－ 2
x2＋2
x＝－2(
1
x－1
2 )2＋1
2，
而－2(
1
x－1
2 )2＋1
2≤1
2，
则实数 a 的取值范围为(
1
2，＋∞).
(一)普通高中适用作业
A 级——基础小题练熟练快
1．幂函数 y＝f(x)经过点(3， 3)，则 f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选 D 设幂函数的解析式为 y＝xα，将(3， 3)代入解析式得 3α＝ 3，解得 α＝1
2，∴
y＝x1
2，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
2．已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数，则 m＝( )
A．1 B．2 C．1 或 2 D．3
解析：选 A ∵函数 f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1
或 m＝2.当 m＝1 时，幂函数 f(x)＝x2 为偶函数，满足条件．当 m＝2 时，幂函数 f(x)＝x3 为
奇函数，不满足条件．故选 A.
3．函数 f(x)＝2x2－mx＋3，当 x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当 x∈(－∞，－2]
时，f(x)是减函数，则 f(1)的值为( )
A．－3 B．13
C．7 D．5
解析：选 B 函数 f(x)＝2x2－mx＋3 图象的对称轴为 x＝m
4，由函数 f(x)的增减区间可
知m
4＝－2，所以 m＝－8，即 f(x)＝2x2＋8x＋3，所以 f(1)＝2＋8＋3＝13.
4．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( )
A．0.20.2＞0.30.2 B．2 ＜3
C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＞0.93.1
解析：选 D A 中，∵函数 y＝x0.2 在(0，＋∞)上为增函数，0.2＜0.3，∴0.2 0.2＜0.30.2，
故 A 不正确；
B 中，∵函数 y＝x 在(0，＋∞)上为减函数，
∴2 ＞3 ，故 B 不正确；
C 中，∵0.8－1＝1.25，y＝1.25x 在 R 上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即 0.8－
0.1＜1.250.2，故 C 不正确；D 中，1.70.3＞1,0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1，故选 D.
5．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选 A 由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－ b
2a＝2，∴4a＋b
＝0，又 f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是 a>0，故选 A.
6．若函数 f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线 x＝0 对称，则 f(x)的最大值是( )
A．－4 B．4
C．4 或－4 D．不存在
解析：选 B 依题意，函数 f(x)是偶函数，则 y＝x2＋ax－5 是偶函数，故 a＝0，f(x)＝
(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当 x2＝3 时，f(x)取得最大值 4.
7．若函数 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数 a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则
该函数的解析式 f(x)＝________.
解析：f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2.
由已知条件 ab＋2a＝0，又 f(x)的值域为(－∞，4]，
则Error!因此 f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
8．已知二次函数 y＝f(x)的顶点坐标为(－3
2，49)，且方程 f(x)＝0 的两个实根之差等于
7，则此二次函数的解析式是________．
解析：设 f(x)＝a(x＋3
2 )2＋49(a≠0)，
方程 a(x＋3
2 )2＋49＝0 的两个实根分别为 x1，x2，
−1
3
−1
3
−1
3
−1
3
−1
3
则|x1－x2|＝2 －49
a ＝7，
所以 a＝－4，所以 f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
9．当 0＜x＜1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x ，h(x)＝x－2，则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是
________________．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知 h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：h(x)＞g(x)＞f(x)
10．如果存在实数 x，使得关于 x 的不等式 ax2－4x＋a－3＜0 成立，则实数 a 的取值
范围是______________．
解析：当 a＝0 时，原不等式变为－4x－3＜0，
解得 x＞－3
4，显然成立．
当 a＞0 时，需 Δ＝(－4)2－4a(a－3)＞0，
即 a2－3a－4＜0，解得 0＜a＜4，
当 a＜0 时，显然成立，
综上可知，实数 a 的取值范围是(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
B 级——中档题目练通抓牢
1．若函数 y＝x2－3x－4 的定义域为[0，m]，值域为[－25
4 ，－4]，则 m 的取值范围是
( )
A．[0,4] B.[
3
2，4 ]
C.[
3
2，＋∞) D.[
3
2，3 ]解析：选 D
1
2
二次函数图象的对称轴为 x＝3
2，且 f(
3
2 )＝－25
4 ，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如
图所示)可得 m∈[
3
2，3 ].
2.如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－
3,0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选 B 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确．
对称轴为 x＝－1，即－ b
2a＝－1,2a－b＝0，②错误．
结合图象，当 x＝－1 时，y＞0，即 a－b＋c＞0，③错误．
由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a＜0，所以 5a＜2a，即 5a＜
b，④正确．
3．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 a＞b＞c，a＋b＋c＝0，则( )
A．∀x∈(0,1)，都有 f(x)＞0
B．∀x∈(0,1)，都有 f(x)＜0
C．∃x0∈(0,1)，都有 f(x0)＝0
D．∃x0∈(0,1)，都有 f(x0)＞0
解析：选 B 由 a＞b＞c，a＋b＋c＝0，可知 a＞0，c＜0.
抛物线开口方向向上，因为 f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，
即 1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根，
所以∀x∈(0,1)，都有 f(x)＜0.故选 B.
4．(2017·山西一模)已知函数 f(x)＝x2－m 是定义在区间[ －3－m，m2－m]上的奇函数，
则 f(m)＝________.
解析：由题意得 m2－m＝3＋m，即 m2－2m－3＝0，
∴m＝3 或 m＝－1.
当 m＝3 时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，
f(x)在 x＝0 处无意义，故舍去．
当 m＝－1 时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，∴f(m)＝f(－1)＝
(－1)3＝－1.
答案：－1
5．已知 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对 x∈[－3,1]，f(x)＞0 恒成立，则实数 a 的取值
范围为________．
解析：因为 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴为 x＝－(a－2)，
对 x∈[－3,1]，f(x)＞0 恒成立，
所以Error!或Error!或Error!
解得 a∈∅或 1≤a＜4 或－1
2＜a＜1，
所以实数 a 的取值范围为(－1
2，4).
答案：(－1
2，4)6．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a 的值．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为 x＝－3
2∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f(－3
2 )＝9
4－9
2－3＝－21
4 ，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数 f(x)的值域为[－21
4 ，15].
(2)∵函数 f(x)的对称轴为 x＝－2a－1
2 .
①当－2a－1
2 ≤1，即 a≥－1
2时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即 a＝－1
3，满足题意；
②当－2a－1
2 ＞1，即 a＜－1
2时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即 a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－1
3或－1.
7．已知函数 f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5，最小值
2.
(1)求 a，b 的值；
(2)若 b<1，g(x)＝f(x)－mx 在[2,4]上单调，求 m 的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当 a>0 时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故Error!⇒Error!⇒Error!
当 a<0 时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故Error!⇒Error!⇒Error!
故当 a>0 时，a＝1，b＝0，当 a<0 时，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即 f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴2＋m
2 ≤2 或m＋2
2 ≥4.
∴m≤2 或 m≥6.
故 m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
C 级——重难题目自主选做
1．(2018·合肥质检)函数 f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若 f(g(x))≥0 对 x∈[0,1]恒
成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.(－1
2，0]解析：选 C 如图所示，在同一坐标系中画出 y＝x2＋1，y＝2x，y＝
x2＋3
2的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x0 时，f(x)＝x|x|＋c 在 R 上单调递增，故方程 f(x)＝0 只有
一个实根，②正确．由①可知 c＝0 时，f(x)的图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋bx＋c 的图象
由 y＝x|x|＋bx 的图象向上平移 c 个单位得到的，故关于点(0，c)对称，③正确；当 b＝－1，c
1
2
＝0 时，f(x)＝x|x|－x＝x(|x|－1)＝0，则 x＝0 或 x＝±1，④错误，故选 C.
法二：当 c＝0 时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故 f(x)是奇函数，①
正确，排除 D；当 b＝0，c＞0 时，令 f(x)＝x|x|＋c＝0，则当 x≥0 时，x2＋c＝0 无解，当 x
＜0 时，f(x)＝－x2＋c＝0，x＝－ c只有一个实数根，②正确，排除 A、B，选 C.
6.当 0＜x＜1 时，f(x)＝x 2，g(x)＝x ，h(x)＝x －2，则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是
________________．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知 h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：h(x)＞g(x)＞f(x)
7.(2017·山西一模)已知函数 f(x)＝x 2－m 是定义在区间[ －3－m，m2－m]上的奇函数，
则 f(m)＝________.
解析：由题意得 m2－m＝3＋m，即 m2－2m－3＝0，
∴m＝3 或 m＝－1.
当 m＝3 时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，
f(x)在 x＝0 处无意义，故舍去．
当 m＝－1 时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，
∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
8.已知二次函数 y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时函数的解析式为________．
解析：由题意可知 y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以该函数的顶点坐标为
(－k，－k2－2k＋3)．
设顶点的纵坐标为 y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以当 k＝－1 时，顶点位置最高，
此时函数的解析式为 y＝x2－2x＋5.
答案：y＝x2－2x＋5
9.已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值 1；
1
2
当 x＝－5 时，f(x)取得最大值 37.
(2)函数 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2 的图象的对称轴为直线 x＝－a，
因为 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5 或－a≥5，即 a≤－5 或 a≥5.
故实数 a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
10．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a 的值．
解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴为 x＝－3
2∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f(－3
2 )＝9
4－9
2－3＝－21
4 ，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴函数 f(x)的值域为[－21
4 ，15].
(2)∵函数 f(x)的对称轴为 x＝－2a－1
2 .
①当－2a－1
2 ≤1，即 a≥－1
2时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即 a＝－1
3，满足题意；
②当－2a－1
2 ＞1，即 a＜－1
2时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即 a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－1
3或－1.
B 级——拔高题目稳做准做
1.已知函数 f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实
数 m 的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选 D 当 m＝0 时，令 f(x)＝0，得－3x＋1＝0，则 x＝1
3＞0，符合题意；
当 m＞0 时，由 f(0)＝1，可知要满足题意，
则需Error!解得 0＜m≤1；
当 m＜0 时，由 f(0)＝1 可知，函数图象恒与 x 轴正半轴有一个交点．
综上可知，m 的取值范围是(－∞，1]．
2．(2018·合肥质检)函数 f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若 f(g(x))≥0 对 x∈[0,1]恒
成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.(－1
2，0]解析：选 C 如图所示，在同一坐标系中画出 y＝x2＋1，y＝2x，y
＝x2＋3
2的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2xf(a－1)
的实数 a 的取值范围．
解：(1)因为 m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数，所以 m2＋m
为偶数，
所以函数 f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为
增函数．
(2)因为函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，
所以 2＝2(m2＋m)－1，即 2 ＝2(m2＋m)－1，
所以 m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2.
又因为 m∈N*，所以 m＝1，f(x)＝x .
又因为 f(2－a)>f(a－1)，
所以Error!解得 1≤a<3
2，
故函数 f(x)的图象经过点(2， 2)时，m＝1.满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范
围为[1，3
2 ).
6.已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1，F(x)＝Error!求 F(2)＋F(－2)的值；
(2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立，试求 b 的取值范围．
解：(1)由已知 c＝1，a－b＋c＝0，且－ b
2a＝－1，
解得 a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝Error!
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.
(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1 在(0,1]上恒成立，
即 b≤1
x－x 且 b≥－1
x－x 在(0,1]上恒成立．
又1
x－x 的最小值为 0，－1
x－x 的最大值为－2，
∴－2≤b≤0，故 b 的取值范围是[－2,0]．
1
2
1
2
