2020届高考数学一轮复习单元检测(文·新人教A版)八立体几何提升卷

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文档介绍

2020届高考数学一轮复习单元检测(文·新人教A版)八立体几何提升卷

单元检测八 立体几何(提升卷)‎ 考生注意:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.‎ ‎2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.‎ ‎3.本次考试时间100分钟,满分130分.‎ ‎4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是(  )‎ A.25πB.50πC.125πD.都不对 答案 B 解析 长方体的8个顶点都在同一球面上,则这个球是长方体的外接球,所以球直径等于长方体的体对角线长,即R==,所以球的表面积为4πR2=4π·2=50π,故选B.‎ ‎2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(  )‎ A.6cmB.8cmC.(2+3) cmD.(2+2) cm 答案 B 解析 由斜二测画法知,原图四边形OABC为平行四边形,OB⊥OA,OA=1 cm,OB=2cm,所以AB=3cm,因此其周长为(3+1)×2=8cm.‎ ‎3.(2018·广东省广州市培正中学模拟)下列命题中,错误的是(   )‎ A.平行于同一平面的两个平面平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交 D.一条直线与两个平行平面所成的角相等 答案 B 解析 选项A正确,是面面平行的传递性.选项B错误,比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行,但两侧面所在平面相交.选项C正确,由反证法,若直线与另一平面不相交,则直线在平面内或直线与平面平行,与直线与第一个平面相交矛盾.选项D正确,由线面角定义可知正确.‎ ‎4.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,且EF与面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为(  )‎ A.B.5C.6D. 答案 D 解析 分别取AB,CD的中点G,H,连接EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积为,所以整个多面体的体积为.‎ ‎5.如图,一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边的长为1,那么这个几何体的体积为(   )‎ A.B.C.D.1‎ 答案 A 解析 由三视图还原可知,原图形是底面是直角边为1的等腰直角三角形,两侧面也是直角边为1的等腰直角三角形,另一侧面是边长为的等边三角形的三棱锥.‎ 所以体积为V=××1=,选A.‎ ‎6.设a,b是异面直线,则以下四个命题:①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面;②存在分别经过直线a和b的两个平行平面;③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b;④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b,其中正确的个数为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ 答案 C 解析 对于①,可以在两个互相垂直的平面中,分别画一条直线,当这两条直线异面时,可判断①正确;对于②,可在两个平行平面中,分别画一条直线,当这两条直线异面时,可判断②正确;对于③,当这两条直线不垂直时,不存在这样的平面满足题意,可判断③错误;对于④,假设过直线a有两个平面α,β与直线b平行,则平面α,β相交于直线a,过直线b作一平面γ与平面α,β相交于两条直线m,n都与直线b平行,可得a与b平行,所以假设不成立,所以④正确,故选C.‎ ‎7.(2018·广东省广州市培正中学模拟)如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,∠DAD ‎1=45°,∠CDC1=30°,那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是(   )‎ A.B.C.D. 答案 C 解析 由∠DAD1=45°,∠CDC1=30°,可设AD=DD1=1,CD=.连接BC1,BD.‎ 由AD1∥BC1,所以异面直线AD1与DC1所成的角,即∠BC1D.‎ 在△BDC1中,BC1=,BD=2,C1D=2,由余弦定理可得cos∠BC1D===,‎ 所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是,选C.‎ ‎8.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(  )‎ A.相交B.平行C.异面D.不确定 答案 B 解析 ∵l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,‎ ‎∴l⊥平面ABC.‎ ‎∵m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C,BC,AC⊂平面ABC,‎ ‎∴m⊥平面ABC,‎ ‎∴l∥m,故选B.‎ ‎9.已知α,β是两个平面,直线l⊄α,l⊄β,若以①l⊥α;②l∥β;③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确的命题有(  )‎ A.①③⇒②;①②⇒③‎ B.①③⇒②;②③⇒①‎ C.①②⇒③;②③⇒①‎ D.①③⇒②;①②⇒③;②③⇒①‎ 答案 A 解析 因为α⊥β,所以在β内找到一条直线m,使m⊥α,又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β,所以l∥β,即①③⇒②;因为l∥β,所以过l可作一平面γ∩β=n,所以l∥n,又因为l⊥α,所以n⊥α,又因为n⊂β,所以α⊥β,即①②⇒③.故选A.‎ ‎10.已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(  )‎ A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n 答案 C 解析 ∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m, n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m与β相交,∵n⊥β,l⊂β,∴n⊥l.故选C.‎ ‎11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC与MN所成的角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ 答案 C 解析 连接BC1,AD1,D1C.‎ ‎∵M,N分别为BC,CC1的中点,∴MN∥BC1.‎ 又易证得BC1∥AD1,∴MN∥AD1.‎ ‎∴∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.‎ ‎∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴AC=AD1=D1C.即△D1AC为正三角形,‎ ‎∴∠D1AC=60°.故C正确.‎ ‎12.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动,并且保持AP⊥BD1,则点P的轨迹为(  )‎ A.线段B1C B.BB1的中点与CC1的中点连成的线段 C.线段BC1‎ D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段 答案 A 解析 ∵AP⊥BD1恒成立,‎ ‎∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.‎ ‎∵AC⊥BD1,AB1⊥BD1,AC∩AB1=A,AC,AB1⊂平面AB1C,‎ ‎∴BD1⊥平面AB1C,∴P点在线段B1C上运动.故选A.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共70分)‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)‎ ‎13.往一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,则此球的半径为________厘米.‎ 答案 12‎ 解析 V=Sh=πr2h=πR3,‎ R===12.‎ ‎14.如图,E,F分别为正方体的平面ADD1A1、平面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是____________.(填序号)‎ 答案 ②③‎ 解析 因为正方体是对称的几何体,‎ 所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为:自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影,‎ 也就是在平面ABCD、平面CDD1C1、平面BCC1B1上的射影.四边形BFD1E在平面ABCD和平面CDD1C1上的射影相同,如图②所示;‎ 四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内,它在平面BCC1B1上的射影显然是一条线段,如图③所示.‎ 故②③正确.‎ ‎15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=__________.‎ 答案 90°‎ 解析 因为C1B1⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,所以C1B1⊥MN.‎ 又因为MN⊥MB1,MB1,C1B1⊂平面C1MB1,MB1∩C1B1=B1,所以MN⊥平面C1MB1,‎ 所以MN⊥C1M,所以∠C1MN=90°.‎ ‎16.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC和△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________;与AP垂直的直线有________.‎ 答案 AB,BC,AC AB 解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC;∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,‎ ‎∴AB⊥平面PAC,∴与AP垂直的直线是AB.‎ 三、解答题(本题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(12分)如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.‎ ‎(1)求证:AC⊥B1C;‎ ‎(2)求证:AC1∥平面CDB1.‎ 证明 (1)∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,‎ ‎∴CC1⊥平面ABC,‎ 又AC⊂平面ABC,∴CC1⊥AC.‎ 又∵AC=9,BC=12,AB=15,‎ ‎∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.‎ ‎∵CC1,BC⊂平面BB1C1C,CC1∩BC=C,‎ ‎∴AC⊥平面BB1C1C,‎ 又B1C⊂平面BB1C1C,∴AC⊥B1C.‎ ‎(2)取A1B1的中点D1,连接C1D1,D1D和AD1,‎ ‎∵AD∥D1B1,且AD=D1B1,‎ ‎∴四边形ADB1D1为平行四边形,∴AD1∥DB1,‎ 又∵AD1⊄平面CDB1,DB1⊂平面CDB1,‎ ‎∴AD1∥平面CDB1.‎ ‎∵CC1∥DD1,且CC1=DD1,‎ ‎∴四边形CC1D1D为平行四边形,∴C1D1∥CD,‎ 又∵CD⊂平面CDB1,C1D1⊄平面CDB1,‎ ‎∴C1D1∥平面CDB1,‎ ‎∵AD1∩C1D1=D1,AD1,C1D1⊂平面AC1D1,‎ ‎∴平面AC1D1∥平面CDB1,‎ 又AC1⊂平面AC1D1,∴AC1∥平面CDB1.‎ ‎18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.‎ ‎(1)求证:PB∥平面EAC;‎ ‎(2)求证:AE⊥平面PCD;‎ ‎(3)当为何值时,PB⊥AC?‎ ‎(1)证明 连接BD交AC于O,连接EO,‎ 因为O,E分别为BD,PD的中点,所以EO∥PB,‎ 因为EO⊂平面EAC,PB⊄平面EAC,所以PB∥平面EAC.‎ ‎(2)证明 ‎ ⇒‎ ⇒平面PDC⊥平面PAD,‎ 正三角形PAD中,E为PD的中点,所以AE⊥PD,‎ 又平面PDC∩平面PAD=PD,所以AE⊥平面PCD.‎ ‎(3)解 设N为AD中点,连接PN,则PN⊥AD.‎ 又平面PAD⊥底面ABCD,所以PN⊥底面ABCD.‎ 所以,NB为PB在平面ABCD上的射影.‎ 要使PB⊥AC,只需NB⊥AC,在矩形ABCD中,设AD=BC=1,AB=x,AN=,由∠ANB=∠BAC,‎ 得Rt△NAB∽Rt△ABC,=⇒AB2=AN·BC⇒x2=,解得x=,‎ 所以,当=时,PB⊥AC.‎ ‎19.(13分)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCD为菱形,AB=2,BD=2,M,N分别是线段PA,PC的中点.‎ ‎(1)求证:MN∥平面ABCD;‎ ‎(2)求异面直线MN与BC所成角的大小.‎ ‎(1)证明 连接AC交BD于点O,‎ ‎∵M,N分别是线段PA,PC的中点,‎ ‎∴MN∥AC,‎ ‎∵MN⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴MN∥平面ABCD.‎ ‎(2)解 由(1)知,∠ACB就是异面直线MN与BC所成的角或其补角.‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,AB=2,BD=2,‎ ‎∴在Rt△BOC中,BC=2,BO=,∴∠OCB=60°,‎ ‎∴异面直线MN与BC所成的角为60°.‎ ‎20.(13分)(2017·北京)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.‎ ‎(1)求证:PA⊥BD;‎ ‎(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;‎ ‎(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.‎ ‎(1)证明 因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB,BC⊂平面ABC,AB∩BC=B,‎ 所以PA⊥平面ABC,‎ 又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.‎ ‎(2)证明 因为AB=BC,D为AC中点,所以BD⊥AC,‎ 由(1)知,PA⊥BD,AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ 又因为BD⊂平面BDE,‎ 所以平面BDE⊥平面PAC.‎ ‎(3)解 因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=DE,‎ 所以PA∥DE.‎ 因为D为AC的中点,所以DE=PA=1,BD=DC=.‎ 由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.‎ 所以三棱锥E-BCD的体积V=BD·DC·DE=.‎
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