宁夏银川长庆高级中学2018-2019高二下学期第二次月考数学（理）试卷
长庆高中高二（下）第一次月考数学试卷
共150分，考试时间120分钟。
分卷I
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：
①－3是函数y＝f(x)的极值点；
②－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；
④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是( )
A． ①② B． ③④ C． ①③ D． ②④
2.函数f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．R B．[0，＋∞) C．(－∞，0] D．[－1,1]
3.函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内存在极小值，则下列关系成立的是( )
A．b>0 B． 0
0恒成立，则下列不等式成立的是( )
A．f(－3)0时，有xf′(x)>f(x)，则不等式f(x)>x的解集是( )
A． (－1,0) B． (1，＋∞) C． (－1,0)∪(1，＋∞) D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)
分卷II
二、 填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
注意：本题答案写在下页，否则无效
13.＝________.
14.已知函数f(x)＝lnx－x，若f(x)－m＋1≤0恒成立，则m的取值范围为________．
15.若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
16.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________(填序号)．
二、填空题
13.________. 14.________.
15.________. 16.________.
三、解答题(共6小题,17题10分，其余每小题12.0分,共70分)
17.计算.
(1)求函数y＝2xsin(2x－5)的导数； (2)求值。
18.如图，设A(2,4)是抛物线C：y＝x2上的一点．
(1)求该抛物线在点A处的切线l的方程；
(2)求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．
19.已知F(x)＝dt(x)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求函数F(x)在上的最值．
20.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋12在点x＝2处取得极值－4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值与最小值．
21.函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
(1)若a＝－2，函数h(x)＝f(x)－g(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2)若a＝2，b＝1，若函数k＝g(x)－2f(x)－x2在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围．
22.已知函数f(x)＝x2＋ax－2a2lnx(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】根据导函数图象可知：当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，在x∈(－3,1)时，f′(x)≥0，
∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,1)上单调递增，故③正确；
－3是函数y＝f(x)的极小值点，故①正确；
∵在(－3,1)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，故②不正确；
∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确．
2.【答案】C
【解析】∵f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，
∴f′(x)≥0恒成立，
即f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，
∵ex>0，
∴a≤0.
3.【答案】B
【解析】∵函数在(0,1)内有极小值，
∴极值点在(0,1)上．
令f′(x)＝3x2－3b＝0，得x2＝b，显然b>0，
∴x＝±，
又∵x∈(0,1)，∴0<<1，∴00，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上为增函数，则f(－1)0，函数单调递增；
当26时，函数无实际意义.
∴x＝2时，体积最大，
此时底面周长为6－2＝4，
该圆柱底面周长与高的比为4∶2＝2∶1.
9.【答案】B
【解析】∵tanα＝3x2－1，
∴tanα∈[－1，＋∞)．
当tanα∈[0，＋∞)时，α∈[0，)；
当tanα∈[－1,0)时，α∈[，π)，
∴α∈[0，)∪[，π)
10.【答案】A
【解析】由曲线y＝x2和直线y＝，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积是＋＝(x－x3)|＋(x3－x)|＝.
11.【答案】B
【解析】y＝＝
＝(－cost－cos 2t)|＝－cosx－cos 2x＋
＝－cosx－(2cos2x－1)＋
＝－cos2x－cosx＋
＝－(cosx＋1)2＋2≤2.
12.【答案】C
【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，
令g(x)＝，∴g(x)为偶函数，
又当x>0时，xf′(x)>f(x)，
∴g′(x)＝>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
又f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，g(1)＝1，
当x>0时，∵不等式f(x)>x，
∴>1，即g(x)>g(1)，
∴有x>1；
当x<0时，∵不等式f(x)>x，
∴<1，即g(x)x不成立，
综上，不等式f(x)>x的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．
13.【答案】ln＋
【解析】∵原式＝
＝(x2＋2x＋lnx)|＝ln＋.
14.【答案】[0，＋∞)
【解析】∵f(x)＝lnx－x，
则f(x)－m＋1≤0恒成立等价于m≥lnx－x＋1.
令g(x)＝lnx－x＋1(x>0)．
则g′(x)＝－1＝.
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，函数g(x)为增函数；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数．
∴当x＝1时，函数g(x)有极大值，也就是最大值．
∴g(x)max＝g(1)＝0，∴m≥0.
故答案为m≥0.
15.【答案】(－2,2)
【解析】f′(x)＝3(x2－1)，所以x＝1和x＝－1是函数的两个极值点，由题意知，
极大值为f(－1)＝2＋a，极小值为f(1)＝－2＋a，
所以要使函数f(x)有三个不同的零点，则有2＋a>0且－2＋a<0，解得－20，所以函数y＝f(x)在区间(－3，－)内不单调，同理，函数y＝f(x)在区间(－，3)内也不单调，故①②均不正确；
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；
由于f′(2)＝0，并且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)>0与f′(x)<0，所以当x＝2时，函数取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均为f′(x)>0，所以x＝－不是函数的极值点，故④⑤均不正确．
17.【答案】(1)解 y′＝(2x)′sin(2x－5)＋2x[sin(2x－5)]′
＝2sin(2x－5)＋2x(2x－5)′cos(2x－5)
＝2sin(2x－5)＋4xcos(2x－5)．
(2)＝(ex＋lnx)|＝(e2＋ln 2)－(e1＋ln 1)＝e2－e＋ln 2＝e(e－1)＋ln 2.
18.【答案】(1)∵y＝x2，∴y′＝2x.
∴直线l的斜率k＝y′|x＝2＝4.
∴l：y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4为所求．
(2)方法一 切线y＝4x－4与x轴的交点为B(1,0)，
则面积S＝＋＝.
方法二 面积S＝＝(y2＋y－×)|＝，
∴曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积为.
【解析】
19.【答案】依题意得，F(x)＝，
(1)函数F(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．
(2）F(x)在（1,3）上的最大值是F(2)＝4/3，无最小值.
20.【答案】(1)f′(x)＝3ax2＋b，
∵函数f(x)＝ax3＋bx＋12在点x＝2处取得极值－4，
∴即解得
(2)由(1)得，f(x)＝x3－12x＋12，
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，
令f′(x)>0，解得x>2或x<－2，
令f′(x)<0，解得－20，∴＋2x≥2，
当且仅当2x＝，即x＝时，取等号，
∵b≤2.
(2)函数k＝g(x)－2f(x)－x2在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程k＝x－2lnx在[1,3]上恰有两个相异实根．
令φ(x)＝x－2lnx，x∈[1,3]，则φ′(x)＝1－，
当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，
φ(x)min＝φ(2)＝2－2ln 2，
φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(1)>φ(3)，
∴φ(2)0.
因此f(x)在(0，－2a)上递减，在(－2a，＋∞)上递增．
②当a>0时，在(0，a)上f′(x)<0，在(a，＋∞)上f′(x)>0.
因此f(x)在(0，a)上递减，在(a，＋∞)上递增．
(2)由(1)知，a<0时，
f(x)min＝f(－2a)＝2a2－2a2－2a2ln(－2a)
＝－2a2ln(－2a)，
由f(x)>0得ln(－2a)<0⇒0<－2a<1⇒－0时，f(x)min＝f(a)＝a2＋a2－2a2lna＝a2－2a2lna，
由f(x)>0得a2－2a2lna>0⇒lna<⇒0
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