辽宁省普通高中2020届高三上学期学业水平测试数学试卷

辽宁省普通高中2020届高三上学期学业水平测试数学试卷

数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．‎ 参考公式：球的表面积公式（其中R为球的半径）．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，然后求解交集即可．‎ ‎【详解】解：，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次方程的解法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知命题，，那么是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题可写出命题的否定．‎ ‎【详解】解：根据全称命题命题，，那么是的否定为特称命题，‎ 即：为，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了全称命题的否定的写法，对量词及结论都要进行否定，属于基础题．‎ ‎3.是的（ ）‎ A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“” “”，反之不成立，例如取．即可判断出结论．‎ ‎【详解】解：由“” “”，反之不成立，例如取．‎ 因此“”是“”的充分而不必要条件．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用偶次根式被开方数非负，求得的定义域.‎ ‎【详解】解：‎ 解得 即函数的定义域为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎5.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果.‎ ‎【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共个 甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共个 甲站在中间的概率：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题.‎ ‎6.如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质判断；‎ 根据幂函数的性质判断；‎ 根据指数函数的性质判断；‎ 根据对数函数的单调性判断．‎ ‎【详解】解：‎ 故错误；‎ 由于在上单调递减，故即错误；‎ 由于在上单调递减，故即错误；‎ 由于在上单调递增，故即正确，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查不等式性质，考查对数函数的单调性，属于基础题．‎ ‎7. 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（ ）‎ A. 660 B. 720 C. 780 D. 800‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，抽样比为，所以有．故选．‎ 考点：随机抽样．‎ ‎8.已知，是第三象限的角，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再根据，最后利用二倍角余弦公式求得可得答案．‎ ‎【详解】解：，‎ 是第三象限的角 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用．属基础题．‎ ‎9.函数的零点个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.‎ ‎【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.‎ ‎10.设M是边BC的中点，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性运算及向量相等的充要条件可得.‎ ‎【详解】解：是边BC的中点，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等的充要条件，属于基础题.‎ ‎11.如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得所求球是棱长为的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．‎ ‎【详解】解：若棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上 则该球是正方体的外接球 球的半径 则球的表面积 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．‎ ‎12.如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ）‎ A. 指数函数： B. 对数函数：‎ C. 幂函数： D. 二次函数：‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过点，得到结果．‎ ‎【详解】解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过点，‎ 图象由指数函数来模拟比较好，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查散点图和两个变量之间的关系，本题解题的关键是看出图象的变化特点和图象所过的特殊点，属于基础题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．‎ ‎13.计算：________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.‎ ‎【详解】解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.‎ ‎14.已知向量，，则________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的坐标运算可得.‎ ‎【详解】解：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎15.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据终边关于轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论．‎ ‎【详解】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据终边关于轴对称的两个角的正弦值互为相反数，属于基础题．‎ ‎16.设x，y为正数，则的最小值为________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值 ‎【详解】解：，为正数，‎ 当且仅当时取得“”‎ 最小值为9‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知向量，．‎ ‎（1）若，求实数x的值；‎ ‎（2）若，求实数x的值．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面向量共线的坐标表示列出方程，解方程求出的值；‎ ‎（2）先求出的坐标，再根据得到方程，解得.‎ ‎【详解】解：（1）因为，，．‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎（2），．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及求向量的模，属于基础题.‎ ‎18.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，，求c．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角；‎ ‎（2）把，，代入，化简后根据一元二次方程的解法求出的值．‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以．‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ 因为，且，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，，‎ 所以由余弦定理，‎ 得，‎ 即．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．‎ ‎（1）求证：平面PDC；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过三角形中位线的性质可得，进而根据线面平行的判定定理可以证明出平面；‎ ‎（2）先分别证明出，，进而根据线面垂直的判定定理证明出平面，即可得出结论．‎ ‎【详解】（1）证明：∵，点分别是，中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面PBC，平面PBC，‎ ‎∴平面PBC．‎ ‎（2）证明：∵四边形是正方形，‎ ‎∴，‎ 又∵底面，底面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，平面,平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．‎ ‎20.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）如果上学所需时间在的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．‎ ‎【答案】(1) ．(2) 96名 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求．‎ ‎（2）计算出新生上学所需时间在的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．‎ ‎【详解】解：（1）由直方图可得到．‎ 所以．‎ ‎（2）由直方图可知，新生上学所需时间在的频率为．‎ 所以估计全校新生上学所需时间在的概率为0.12．‎ 因为．‎ 所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键．‎ ‎21.如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定．‎ ‎（1）求点M的坐标；‎ ‎（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？‎ ‎【答案】(1) ．(2) 将设计为时，折线段赛道MNP最长．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用图象分别求得周期和的值，进而求得最后得到函数解析式，即可求得的坐标．‎ ‎（2）设，利用正弦定理表示出，，即可表示出，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．‎ 当时，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）连接MP，如图所示．‎ 又∵，∴．‎ 在中，，．‎ 设，则，‎ ‎∵．‎ ‎∴，．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴当时，折线段赛道MNP最长．‎ 所以将设计为时，折线段赛道MNP最长．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用．涉及到了三角函数图象的确定及解析式，解三角形问题，两点间距离公式等，综合性特别强．‎ ‎ ‎